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1、等差数列及其性质应用等差数列及其性质应用1. 通过课前预习，使学生理解等差数列的概念通过课前预习，使学生理解等差数列的概念了解等差数列了解等差数列 与一次函数的关系与一次函数的关系2通过课堂探究，使学生通过课堂探究，使学生掌握等差数列的通项公式与前掌握等差数列的通项公式与前n项和公项和公式式及其性质及其性质3通过课堂探究，使学生通过课堂探究，使学生能用有关知识解决相应的问题能用有关知识解决相应的问题【学习目标】【学习目标】【重、难点】【重、难点】1. 等差数列的判断与证明等差数列的判断与证明;2. 等差数列的通项公式与前等差数列的通项公式与前n项和公式项和公式;3. 等差数列的性质及应用等差数
2、列的性质及应用课前预习课前预习一、【知识回顾】一、【知识回顾】1 1等差数列的概念与公式等差数列的概念与公式等差中项d （ 常 数 ）11()and12()nn aa112()n ndna2abAd （常数） 若若an为等差数列，则为等差数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n，仍为等差数列，仍为等差数列，公差为公差为 .2、等差数列的性质、等差数列的性质an为等差数列为等差数列,则则 若若m，n，p，qN*，且，且mnpq，an为等差数列，为等差数列，则则 ._nmaadnm)(qpnmaaaannaaas.21nnnnnaaass2212.nnnnnaaass3221223.dn2()mna
3、am n d注意下标的关系注意下标的关系naqpnanqp,0p,743 ,724 , 5nsnsn二、【回扣课本】二、【回扣课本】1 1、-401-401是不是等差数列是不是等差数列-5-5，-9-9，-13-13，的项？如果是，是的项？如果是，是第几项？（第几项？（4343页例页例1 1）2 2、已知数列、已知数列的通项公式为的通项公式为, ,其中其中为常数为常数，, ,那么这个数列一定是等差数列吗那么这个数列一定是等差数列吗? ? （4444页例页例3 3）4 4、已知等差数列、已知等差数列的前的前n n项和为项和为，求使得，求使得最大的序号最大的序号的值（的值（5151页例页例4 4）
4、且且3 3、已知一个等差数列、已知一个等差数列 前前10项的和是项的和是310，前，前20项的和是项的和是1220，有这些条件能确定这个等差数列吗，有这些条件能确定这个等差数列吗? （50页例页例2）na三、双基自测三、双基自测答案： 1. C 2. C 3. B 4. C 5. 13思考思考1：这几道题有什么共同的解决策略？：这几道题有什么共同的解决策略？思考思考2：知道什么量就可以确定一个等差数列？：知道什么量就可以确定一个等差数列？基本量：首项基本量：首项 与公差与公差1ad高考展示与预测高考展示与预测 从近两年的高考试题来看，等差数列的判定，等差数列的通项公式、前n项和公式以及与前n项
5、和有关的最值问题等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，客观题突出“小而巧”，主要考查性质的灵活运用及对概念的理解，主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查了函数方程、等价转化、分类讨论等思想方法【预测【预测2013年高考会这样考】年高考会这样考】重点考查运算能力与逻辑推理能力。1考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题2考查等差数列的性质及综合应用na1052aana*mNna27mmbmbmS【20122012高考山东文高考山东文2020】 ( (本小题满分本小题满分1212分分) )已知等差数列已知等差数列的前的前5 5项和为项和为105105，且，且(
6、)()求数列求数列的通项公式；的通项公式；，将数列，将数列中不大于中不大于的项的个数记为的项的个数记为求数列求数列的前的前 项和项和. .()对任意对任意m【2012高考重庆文高考重庆文16】已知为等差数列】已知为等差数列 ，且，且（）求数列）求数列 的通项公式；的通项公式；（）记）记 的前的前 项和为项和为 ，若，若 成等比数列，成等比数列， 求正整数求正整数 的值。的值。na13248,12,aaaannS12,kka a Sknana1na是等差数列 na是等差数列2na是等差数列2nna是等差数列+2nna是等差数列1=+(12)naan111=+(11)nnaa221=+(12)na
7、an1=+(1322)nnaan11+2 =( +2)+(1 2)nnaan 课堂探究课堂探究考点一：等差数列的判断与证明考点一：等差数列的判断与证明【例1】完成下表1122nnnnaa因此因此bn是公差为是公差为1的等差数列的等差数列122122nnnnnaa思考思考4：证明等差数列还有什么方法？：证明等差数列还有什么方法？思考思考3：通过上面表格，你知道怎样证明一个数列是等差数列吗？：通过上面表格，你知道怎样证明一个数列是等差数列吗？小结：小结： 证明一个数列是等差数列只需证明后项减去前项是常数即可。证明一个数列是等差数列只需证明后项减去前项是常数即可。小结：小结： 利用等差中项证明利用等
8、差中项证明112nnnaaa判断或证明数列判断或证明数列 为等差数列，常见的方法有以下几种：为等差数列，常见的方法有以下几种：1利用定义：利用定义：2利用等差中项：利用等差中项：4利用前利用前 项和公式：项和公式： 当当 时，时，数列的前数列的前 项和为关于的二次函数且不含常数项，若项和为关于的二次函数且不含常数项，若 ，则此，则此数列为常数数列。数列为常数数列。3利用通项公式：利用通项公式： ， 为公差当为公差当 时，时，数列数列 的的通项公式是关于通项公式是关于 的一次函数；的一次函数； 时为时为常常数数列数数列，也是等差数列；，也是等差数列；1nnaadN*()常数（n111naandd
9、nad()() na122nnnaaa; nad0d 0d nn2111222nn nddsnadnan()()0d n0d 思考思考5：判断或证明等差数列还有什么方法？：判断或证明等差数列还有什么方法？ 注：注： 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题项和公式法主要适合在选择题中简单判断中简单判断思考思考6：你可以有什么准备工作？：你可以有什么准备工作？解析：方法一解析：方法一101100191009910aadaad11091ad 11011090aad方法二：方法二：10
10、010901009010aadd1d 110101000aad na10010a10100a110_a【练习2】(1)在等差数列中， ,则（2）(2011重庆高考重庆高考)在等差数列在等差数列an中，中，a3a737，则，则a2a4a6a8_.方法二：方法二：由等差数列的性质知由等差数列的性质知a2a4a6a82(a3a7)23774.解析：解析： 方法一：求基本量方法一：求基本量解析：解析：11()2()2nnnnn aaSn bbT11nnaabb88ab8822ab115115aabb3 15 142 1533（4）已知等差数列）已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且S101
11、0，S2030，则则S30_.方法二：方法二：S10，S20S10，S30S20成等差数列，成等差数列，2(S20S10)S10(S30S20)4010S3030，S3060.解析：方法一：求基本量解析：方法一：求基本量1等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题2应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系特别要注意下标的关系。特别要注意下标的关系。3. 性质 为等差数列，若 ，且 ，则 往往与公式 结合应用。 na*,Nqpnmqpnmqpnmaaaa1()2nnn aas思考
12、思考7：你可以有什么准备工作？：你可以有什么准备工作？思考思考8：这个数列有什么特点？什么数加起来最大？：这个数列有什么特点？什么数加起来最大？思考思考9：有没有其它方法？：有没有其它方法？思考思考10：有其它方法吗？：有其它方法吗？思考思考11：还有其它方法吗？：还有其它方法吗？巩固练习巩固练习1若若an是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有（是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有（ ）an3an2an1an2an2annA1个个B2个个 C3个个 D4个个解析：解析：an为等差数列，则由其定义可知为等差数列，则由其定义可知，仍然是等差数列仍然是等差数列答案：答案：D2.【201
13、2高考真题辽宁理6】在等差数列 中，已知则该数列前11项和 ( ) (A)58 (B)88 (C)143 (D)176,1684 aa na11s【解析】在等差数列中，1114816,aaaa1111111 ()882aas答案：答案：B na. 9, 5103aa na na4.4.设等差数列设等差数列满足满足(1)(1)求求的通项公式；的通项公式；的前的前n n项和项和 及使得及使得 最大的序号最大的序号n n的值的值(2)求求nsns作业作业* * *选作选作5.5.nTnb数列数列的前的前n n项和为项和为na(1) (1) 求数列求数列的通项公式；的通项公式；nT(3)(3)求求4T9T和和(2)求求设设 ，na.9, 5103aa满足满足设等差数列设等差数列思考思考12： 通过这节课，解决等差数列问题你有几种策略？通过这节课，解决等差数列问题你有几种策略？
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