2064618478北京海淀区高三数学教研专题教学分析与指导：函数

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1、1对函数思想方法及其观点的理解对函数思想方法及其观点的理解 -函数专题函数专题教学分析与指导教学分析与指导 海淀区2015-2016高三数学教研2一、一、对函数观点的理解对函数观点的理解二、二、对函数思想方法的理解对函数思想方法的理解三、三、教学中注意的几个问题教学中注意的几个问题 主要内容主要内容3一、一、对函数观点的理解对函数观点的理解二、二、对函数思想方法的理解对函数思想方法的理解三、三、教学中注意的几个问题教学中注意的几个问题 主要内容主要内容4一、一、对函数观点的理解对函数观点的理解（一）本专题知识体系的梳理（一）本专题知识体系的梳理函数函数表达表达方式方式观点观点方法方法知识知识内

2、容内容研究研究过程过程 5一、一、对函数观点的理解对函数观点的理解（二二）本专题）本专题的内涵的内涵函数函数表达表达方式方式观点观点方法方法知识知识内容内容研究研究过程过程 6一、一、对函数观点的理解对函数观点的理解（三三）对函数观点的理解对函数观点的理解函数函数观点观点变量、对应变量、对应的观点的观点变量的观点理解数学变量的观点解决问题利用函数的思想方利用函数的思想方法看问题法看问题构造函数函数函数表达表达方式方式观点观点方法方法知识知识内容内容研究研究过程过程 满足特定关系的两个自变量，其对应的函数值之间又具有什么关系呢？（四四）函数观点之函数观点之 利用变量对应的观点看问题利用变量对应的

3、观点看问题 满足特定关系的两个自变量，其对应的函数值之间又具有什么关系呢？ 满足特定关系的两个自变量，其对应的函数值之间又具有什么关系呢？ 函数性质的三种语言表述函数性质的三种语言表述1.函数应用问题；函数应用问题；2.对对“燃油效率燃油效率”新定义的理解；新定义的理解；3.对图象的理解对图象的理解.函数观之函数观之-用变量的对应的观点看问题用变量的对应的观点看问题16利用函数的思想方法看问题不仅是利用函数的思想方法看问题不仅是要求学生对某要求学生对某个给定的函数去判断它是否具有某种性质个给定的函数去判断它是否具有某种性质, 并熟并熟练掌握相应的方法练掌握相应的方法, 而是如何利用函数的概念、

4、而是如何利用函数的概念、性质去分析、转化和解决问题。性质去分析、转化和解决问题。（四四）函数观点之函数观点之 用函数思想方法研究用函数思想方法研究 问题问题17（四四）函数观点之函数观点之 用函数思想方法研究用函数思想方法研究 问题问题导数及其应用18例：设，例：设，则，则“”是是“”的（）的（）（）充分不必要条件（）充分不必要条件（）必要不充分条件（）必要不充分条件（）充要条件（）充要条件（）既不充分也不必要条件（）既不充分也不必要条件解析解析:从函数视角从函数视角看问题，可设（），看问题，可设（），画出函数画出函数（）的图像，如图，显（）的图像，如图，显见（）是上的增函数因此，由直观可知，

5、见（）是上的增函数因此，由直观可知，“”是是“”的充要条件的充要条件（四四）函数观点之函数观点之 用函数思想方法研究用函数思想方法研究 问题问题19的值。y 4x求,04)(3x满足, 已知函数 例55yxxyyx043),()3(即处的函数值相等，处与3在)(是单调奇函数上式表明)( 设x)-(xy)(3x) y (3x原式变为 : 解555yxxyxxfyxfxyxtftttf（四四）函数观点之函数观点之 用函数思想方法研究用函数思想方法研究 问题问题20二、对函数思想方法的理解二、对函数思想方法的理解 -函数专题函数专题教学分析与指导教学分析与指导 清华附中清华附中 赵鸿雁赵鸿雁21一、

6、一、对函数观点的理解对函数观点的理解二、二、对函数思想方法的理解对函数思想方法的理解三、三、教学中注意的几个问题教学中注意的几个问题 主要内容主要内容22二二、对函数思想方法的理解对函数思想方法的理解本专题本专题的内涵的内涵函数函数表达表达方式方式观点观点方法方法知识知识内容内容研究研究过程过程 23函数的函数的思想方法思想方法数形结合的思想数形结合的思想研究函数基本性质研究函数基本性质的方法的方法研究函数的思想方法就是借助数形结合等数学方法研究函数的思想方法就是借助数形结合等数学方法,建立对应关系建立对应关系,分析变量间的联系分析变量间的联系,探究变量变化规律探究变量变化规律的方法的方法.函

7、数函数表达表达方式方式观点观点方法方法知识知识内容内容研究研究过程过程 二二、对函数思想方法的理解对函数思想方法的理解( (一一) )函数的思想方法函数的思想方法xy1xy1xy126 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 1028函数的函数的思想方法思想方法数形结合的思想数形结合的思想研究函数基本性质研究函数基本性质的方法的方法研究函数的思想方法就是借助数形结合等数学研究函数的思想方法就是借助数形结合等数学方法方法,建立对应关系建立对应关系,分析变量间的联系分析变量间的联系,探究变探究变量变化规律的方法量变化规律的方法.函数函数表达表达方式方式观点观点方法方法知识知识内容

8、内容研究研究过程过程 二二、对函数思想方法的理解对函数思想方法的理解( (一一) )函数的思想方法函数的思想方法用用函数变量函数变量的的观点看观点看函数性质函数性质在函数图象的变换中， “左加右减左加右减”38 研究函数基本性质的具体策略与方法研究函数基本性质的具体策略与方法教学策略：教学策略：要能主动地去分析所研究的函数是否具有单调性、奇偶性、周期性等性质,要熟练掌握判断和研究函数基本性质的方法, 树立研究函数性质的意识.研究方法研究方法：（1）如果已知条件中给出了函数的解析式，要会如果已知条件中给出了函数的解析式，要会通过函数的解析式去分析函数的有关性质，并画出能够直观反通过函数的解析式去

9、分析函数的有关性质，并画出能够直观反应函数性质的示意图，进而解决问题；应函数性质的示意图，进而解决问题； （2）如果没有直接给出函数的解析式，还要善于）如果没有直接给出函数的解析式，还要善于根据题目条件去构造函数的解析式；根据题目条件去构造函数的解析式； （3）如果题目中提供了函数的图象，那么也是要）如果题目中提供了函数的图象，那么也是要通过分析函数图象中所体现出来的函数的性质作为解决问题的通过分析函数图象中所体现出来的函数的性质作为解决问题的主要途径主要途径.39运用函数的解析式研究函数的性质的基本思路是：运用函数的解析式研究函数的性质的基本思路是：研究函数的解析式得到函数的性质，首先研究函

10、数具有对称性，如果函数具有对称性，那么就可以简化研究函数的范围，因为只需要研究对称轴或对称点一侧的函数的性质了；之后研究函数的单调性、函数的周期性及函数值的分布；根据所研究的函数性质并画出这个函数的示意图，直观地表达函数的性质；根据函数的示意图并运用函数的性质来解决问题. 40 0,40,4)(22xxxxxxxf2(2)( ),faf aa例.已知函数若则实数的取值范围_. 图像法4243 研究函数基本性质的具体策略与方法研究函数基本性质的具体策略与方法教学策略：教学策略：要能主动地去分析所研究的函数是否具有单调性、奇偶性、周期性等性质,要熟练掌握判断和研究函数基本性质的方法, 树立研究函数

11、性质的意识.研究方法研究方法：（：（1）如果已知条件中给出了函数的解析式，要会如果已知条件中给出了函数的解析式，要会通过函数的解析式去分析函数的有关性质，并画出能够直观反通过函数的解析式去分析函数的有关性质，并画出能够直观反应函数性质的示意图，进而解决问题；应函数性质的示意图，进而解决问题； （2）如果没有直接给出函数的解析式，还要善于）如果没有直接给出函数的解析式，还要善于根据题目条件去构造函数的解析式；根据题目条件去构造函数的解析式； （3）如果题目中提供了函数的图象，那么也是要）如果题目中提供了函数的图象，那么也是要通过分析函数图象中所体现出来的函数的性质作为解决问题的通过分析函数图象中

12、所体现出来的函数的性质作为解决问题的主要途径主要途径.45 研究函数基本性质的具体策略与方法研究函数基本性质的具体策略与方法教学策略：教学策略：要能主动地去分析所研究的函数是否具有单调性、奇偶性、周期性等性质,要熟练掌握判断和研究函数基本性质的方法, 树立研究函数性质的意识.研究方法研究方法：（：（1）如果已知条件中给出了函数的解析式，要会如果已知条件中给出了函数的解析式，要会通过函数的解析式去分析函数的有关性质，并画出能够直观反通过函数的解析式去分析函数的有关性质，并画出能够直观反应函数性质的示意图，进而解决问题；应函数性质的示意图，进而解决问题； （2）如果没有直接给出函数的解析式，还要善

13、于）如果没有直接给出函数的解析式，还要善于根据题目条件去构造函数的解析式；根据题目条件去构造函数的解析式； （3）如果题目中提供了函数的图象，那么也是要）如果题目中提供了函数的图象，那么也是要通过分析函数图象中所体现出来的函数的性质作为解决问题的通过分析函数图象中所体现出来的函数的性质作为解决问题的主要途径主要途径.46研究函数的思想方法研究函数的思想方法: 分析函数图像中体现的函数性质分析函数图像中体现的函数性质47研究函数的思想方法研究函数的思想方法: 分析函数图像中体现的函数性质分析函数图像中体现的函数性质48研究函数的思想方法研究函数的思想方法: 分析函数图像中体现的函数性质分析函数图

14、像中体现的函数性质1、依存关系的把握、依存关系的把握 （对应的观点）（对应的观点）函数关系刻画的是两个变量之间的依存关系，导函数与原函数反映的是两个函数之间的对应关系，借助导数研究函数性质是对原函数性质研究的手段和方法.2、函数概念的理解、函数概念的理解（三种表达方式的结合）（三种表达方式的结合）关注“函数自变量的变化”与“函数值的变化”的联系. 深刻体会函数的本质特征，函数的思维的特征是先看看自变量是如何变化的，再看看它们对应的函数值之间有什么关系，再看看自变量的变化如何影响因变量的变化的，用语言及图形把这个关系说清楚，读懂并能用符号语言表示出来.3、函数性质的本质、函数性质的本质（函数的研

15、究方法）（函数的研究方法）函数性质反映的是两个变化过程中，前一个运动变化过程的某些特征和后一个运动变化过程的某些特征的内在联系及其规律。可以通过研究图象、分析代数结构、研究导函数获得性质，函数 的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、函数的零点、最值、变化趋势等.4、动与静的结合、动与静的结合（变化的观点）（变化的观点）静态的方程和不等式都可以放在动态函数的研究中去把握，含字母系数函数性质的研究，也是在变化观点下完成具体与抽象的结合.49函数的观点及其函数的观点及其思想方法思想方法50三、三、教学中注意的几个问题教学中注意的几个问题 -函数专题函数专题教学分析与指导教学分析与指导 清华

16、附中清华附中 赵鸿雁赵鸿雁51一、一、对函数观点的理解对函数观点的理解二、二、对函数思想方法的理解对函数思想方法的理解三、三、教学中注意的几个问题教学中注意的几个问题 主要内容主要内容52充分利用课堂充分利用课堂揭示数学的本质，提升数学的思维水平，增强学习能力揭示数学的本质，提升数学的思维水平，增强学习能力. 1、 关注函数综合题的分析与研究关注函数综合题的分析与研究2 、增强学生学习的主动性增强学生学习的主动性充分调动学生充分调动学生53指导思想：指导思想：高三阶段的课堂课堂教学一定要能够揭示出数学的本质数学的本质，要能够从观念上启发学生去深入的、科学的思考数学问题，高三数学的复习质量和效率

17、要靠每一节课的高质量高质量来落实；学生的数学思维数学思维水平的提高是要靠教师有思维含量的教学来造就. 从学生实际出发，进一步落实双基，在理解的基础上，建立以问题解决为目的的方法体系，形成主要问题的思维框架。 培养函数意识、掌握函数思维方法、学会运用数学思想方法、提高数学素养。 通过梳理知识，构建网络，明确知识之间的纵横联系，在这一过程中强化学生面对问题检索知识、选择方法的能力；通过一题多解、多题一解等提升转化与化归的能力。一轮复习的主要任务一轮复习的主要任务55充分利用课堂充分利用课堂揭示数学的本质，提升数学的思维水平，增强学习能力揭示数学的本质，提升数学的思维水平，增强学习能力. 1、 关注

18、函数综合题的分析与研究关注函数综合题的分析与研究2 、增强学生学习的主动性增强学生学习的主动性充分调动学生充分调动学生56北京近年高考试题研究北京近年高考试题研究( (以以2010-20152010-2015年年) )年份年份理科解答理科解答文科解答文科解答理科选填理科选填文科选填文科选填201518197、8、143、8201418202、142、6、8201318185、83、12、13201218188、13、145、8、12、14201118186、8、133、8、13、14201018186、7、144、6、9、14、。命题特点：高考对函数概念与表示法的考查是以选择题或填空题为主，解

19、答题以利命题特点：高考对函数概念与表示法的考查是以选择题或填空题为主，解答题以利用导数研究函数性质为主。解答题大多以综合应用函数、导数、方程、不等式等知用导数研究函数性质为主。解答题大多以综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合识，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查，体现了能力立意的命题原则思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查，体现了能力立意的命题原则北京高考导数命题特点：（北京高考导数命题特点：（1）考试内容始终集中在：切线、单调性、极值和最值；）

20、考试内容始终集中在：切线、单调性、极值和最值；（2）导数计算要求较高，导数的四则运算都涉及；（）导数计算要求较高，导数的四则运算都涉及；（3）导数问题都涉及参数的）导数问题都涉及参数的分类讨论；（分类讨论；（4）导数考题从）导数考题从2011年开始在题型上出现变化，由直接讨论单调性、年开始在题型上出现变化，由直接讨论单调性、极值和最值逐步转化到综合应用；极值和最值逐步转化到综合应用；57（二）北京卷考查特点分析（二）北京卷考查特点分析命题特点：命题特点：高考对函数概念与表示法的考查是以选择题或填空题为主，解答题以利用导数研究函数性质为主。解答题大多以综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与

21、数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查，体现了能力立意的命题原则北京高考导数命题特点：北京高考导数命题特点：（1）考试内容始终集中在：切线、单调性、极值和最值；（2）导数计算要求较高，导数的四则运算都涉及；（3）导数问题都涉及参数的分类讨论；（4）导数考题从2011年开始在题型上出现变化，由直接讨论单调性、极值和最值逐步转化到综合应用；（5）今年的导数题18题，更有函数综合题的味道，不仅仅是简单的导数应用。（二）（二）研究北京近年高考试题研究北京近年高考试题 ( (以以2010-20152010-2015年的为主年的为主) )年

22、份年份理科解答理科解答文科解答文科解答理科选填理科选填文科选填文科选填201518197、8、143、8201418202、142、6、8201318185、83、12、13201218188、13、145、8、12、14201118186、8、133、8、13、14201018186、7、144、6、9、14、。求导！求导！求导！61位置关系几何：的描述量化关系代数：的描述构造函数证明不等式构造函数证明不等式62ln101xxxxx 当且时，ln1010 xxxxx 当且时，10(1)lnxxx xx当且时，10(1)ln0 xxx xx当且时，221(21)(1)( )(1)ln ,( )

23、xxxxg xx xxg xxx令=则=代数：不等关系式几何位置关系关注：不等式的等价形式的多样性函数法一：法一：法二：法二： 2,2xxxxcexxce 2222,xxxxxexxxee 22lnln,1xxcxxx一题多解一题多解多题一解多题一解比较辨析比较辨析提升能力提升能力法一：法一：法二：法二：法三：法三：判断函数零点（方程的根）判断函数零点（方程的根） 解：可设切点为)32 ,(0300 xxx,由于36)(2xxf, 所以切线方程为)(36()32(020030 xxxxxy, 如果切线过点), 1 ( tP,则)1)(36()32(020030 xxxxt, 整理得: 0364

24、2030txx 令364)(23txxxg，则“过点), 1 ( tP存在 3 条直线与曲线( )yf x 相切”等价于“)(xg有 3 个不同的零点” ) 1(121212)(2xxxxxg,令0)( xg,则0 x或1x， 所以，(0)3gt 是( )g x的极大值，(1)1gt 是( )g x的极小值 x )0 ,( 0 ) 1 , 0( 1 ), 1 ( )(xg 0 0 )(xg 3t 1t 判断函数零点（方程的根）判断函数零点（方程的根）当(0)30gt ， 即3t时， 此时( )g x在区间1，和(1)，上分别至多有 1 个零点，所以( )g x至多有 2 个零点 当(1)10g

25、t ， 即1t时， 此时( )g x在区间(0)，和0，上分别至多有 1 个零点，所以( )g x至多有 2 个零点 当 00g且 10g，即31t 时，因为 1702110gtgt ，所以 g x 分别在区间10 ，01，和12，上恰有1个零点.由于 g x在区间0，和1，上单调，所以 g x分别在区间0，和1，上恰有 1 个零点. 综上可知，当过点1Pt，存在3条直线与曲线 yf x相切时，t的取值范围是31， . 判断函数零点（方程的根）判断函数零点（方程的根）求导！通过取值判断函数的通过取值判断函数的变化趋势变化趋势通过取值判断函通过取值判断函数的变化趋势数的变化趋势2013 北京文.

26、 已知函数xxxxxfcossin)(2. （）若曲线)(xfy 在点(a,f(a)处与直线 y=b 相切，求 a 与 b 的值。 （）若曲线)(xfy 与直线 y=b 有两个不同的交点，求 b 的取值范围。 通过取值判断函数的变化趋势通过取值判断函数的变化趋势取值判断函数值取值判断函数值的符号的符号取值判断函数值取值判断函数值的符号的符号字母表示函数零点字母表示函数零点74充分利用课堂充分利用课堂揭示数学的本质，提升数学的思维水平，增强学习能力揭示数学的本质，提升数学的思维水平，增强学习能力. 1、 关注函数综合题的分析与研究关注函数综合题的分析与研究2 、增强学生学习的主动性增强学生学习的

27、主动性充分调动学生充分调动学生75( (一一) ) 以培养学生自以培养学生自主主复习能力为目标的复习能力为目标的活动设计活动设计领悟知识梳理知识梳理数学解题数学解题解题反思解题反思思维模式思维模式思维模式测试评析测试评析思维模式数学教学实施的特色课程数学教学实施的特色课程课型课型学生参与群体学生参与群体 实施方法实施方法1数学体验课数学体验课全体全体练习研讨练习研讨2个性化培优个性化培优全体全体课下指导课下指导3尖子生高峰论坛尖子生高峰论坛部分部分讲座讲座4针对于差生的培优课针对于差生的培优课部分部分讲练讲练( (二二) ) 数学教学实施的特色课程数学教学实施的特色课程数学体数学体验课验课一轮

28、复习中一般课堂习惯一轮复习中一般课堂习惯上沿着上沿着单元知识单元知识的主线推的主线推进。在体验课中，可以沿进。在体验课中，可以沿着着思想方法思想方法主线、主线、问题类问题类型型等等主线多个维度复习，主线多个维度复习，有助于学生形成立体的知有助于学生形成立体的知识网络体系，是常规课堂识网络体系，是常规课堂的有益补充。的有益补充。提升学生自学能力，动手提升学生自学能力，动手操作能力和解决综合问题操作能力和解决综合问题能力能力 。提供提供微专题讲义微专题讲义兼课下指导兼课下指导精讲压轴题，增强学生的满分意识精讲压轴题，增强学生的满分意识梳理知识，强化方法，提升基本能力梳理知识，强化方法，提升基本能力点对点点对点 培优培优尖子生高尖子生高峰论坛峰论坛差生的差生的培优课培优课