有限元基础平面问题有限单元法教学PPT

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1、平面问题的有限单元法平面问题的有限单元法12一、结构离散化一、结构离散化把弹性体划分为有限个且不重叠的三角形单元，相邻把弹性体划分为有限个且不重叠的三角形单元，相邻单元仅在角点相连。单元仅在角点相连。3F2F1F离散模型离散模型(三角形单元三角形单元)xy0ijmmvmujujviuive取典型单元取典型单元e1.1 三角形常应变单元三角形常应变单元SP悬臂深梁3在在oxy坐标下，取三角形的三个顶点为结点坐标下，取三角形的三个顶点为结点（i，j，m），），每个结点有每个结点有2个结点位移分量，整个单元有个结点位移分量，整个单元有6个分量，个分量，单元位移列阵写为单元位移列阵写为 TTmTjTi

2、eTmmjjiivuvuvu（1-11）1单元试函数为线性函数单元试函数为线性函数yxyxu321),(1，2，3，1，2，3为待定常数。为待定常数。2用结点位移作为待定系数表示函数用结点位移作为待定系数表示函数 和和 ),(yxu),(yxv式（式（1-12）在节点）在节点iiyx ,处成立。处成立。，yxyxv321),(（1-12）二、位移二、位移4123iiiuxy123mmmuxy123jjjuxy（1-13）由（由（1-13）的左三式解出）的左三式解出1，2，3，再代入（，再代入（1-12）得）得1()2iiiijjjjmmmmuabx cy uab x c y uab x c y

3、 uA(1-16a) 其中其中A为三角元面积为三角元面积ijmmjax yx y，ijmbyy，()ijmcxx ，123iiivxy，123jjjvxy，123mmmvxy同理同理1()2iiiijjjjmmmmvab xc y vab xc y vab xc y vA(1-16b) yxyxu321),(xy0ijmmvmujujviuivimj5令令1()2iiiiNab xc yA(1-18)矩阵形式矩阵形式 eeijmuIIIv fNNNN(1-20)即用结点位移表示单元位移场，即用结点位移表示单元位移场，N称形函数矩阵。称形函数矩阵。则（则（1-16a）、（）、（1-16b）写成）

4、写成iijjmmuN uN uN uiijjmmvN vN vN v（1-19），1()2iiiijjjjmmmmuab xc y uab xc y uab xc y uA(1-16a) 1()2iiiijjjjmmmmvab xc y vab xc y vab xc y vA(1-16b) 6 eB 00010002xijmeyijmxyiijjmmuxbbbvcccyAcbcbcbuvyx(1-24) ijmBBBB0102iiiiibBcAcb(1-26)式(1-24)是用结点位移 e表示应变 ，由于 B均为常量，因此，在单元内，的元素 也为常量，故称为常应变单元。 eeijmuIIIv

5、 fNNNN三、应变三、应变7由物理方程由物理方程 D eeD BS（1-28） ijmSSSSD B（1-29） S称为应力矩阵，此时也为常量矩阵，平面应力称为应力矩阵，此时也为常量矩阵，平面应力 22 11122iiiiiiiibcESBbcAcbD( , ,)i j m（1-31）2整个单元应力为常量，则相邻单元的应力在邻边有整个单元应力为常量，则相邻单元的应力在邻边有突变，这因线性模式所致。突变，这因线性模式所致。，1注意：注意：对平面应变问题，将（对平面应变问题，将（1-31）式中的）式中的21EE1。 eB四、应力四、应力8一、一、 形函数的性质形函数的性质111()1221iii

6、ijjmmxyNab xc yxyAAxy( , ,)i j m其中，1211iijjmmxyAxyxy1. 形函数形函数iN在结点处具有在结点处具有0，1性质性质2. 在单元内任一点在单元内任一点, ,1iijmi j mNx yNx yNx yNx y因为 1,2iijmijmijmNx yaaabbbxcccyA可见三个形函数中只有二个是独立的。可见三个形函数中只有二个是独立的。1()2iiiijjjjmmmmuab xc y uab xc y uab xc y uA(1-16a) 1()2iiiijjjjmmmmvab xc y vab xc y vab xc y vA(1-16b)

7、1,0ijjjiNxyjiijmmvmujujviuiv1.2 形函数的性质和面积坐标形函数的性质和面积坐标91对单元对单元ijm的的ij边，形函数为边，形函数为,1iijixxNx yxx ,ijjixxNx yxx，0mN，证明证明:即即ij边的形函数与第三个顶点坐标无关边的形函数与第三个顶点坐标无关在在ij边边1iijjmmiijjuN uN uN uN uN u1iijjvN vN v，可见12uu12vv即交界处的位移是连续的。即交界处的位移是连续的。jim0nyx3. 相邻常应变单元的位移是连续的。相邻常应变单元的位移是连续的。111()1221iiiijjmmxyNab xc y

8、xyAAxy( , ,)i j m,iiAL x yA，,jjALx yA,mmALx yA，(3-21)1. 面积坐标性质面积坐标性质1 显然显然ijmAAAA，即1ijmLLL(3-22)2iL在结点处具有在结点处具有0，1性质性质在三角元在三角元ijm中任一点中任一点P(x,y)定义面积坐标定义面积坐标0 xymjiPPxyiAjAmA1,0ijjjiL xyji即三个量即三个量足以描述足以描述P点在单元中的位置。点在单元中的位置。,iL,jLmLxyoijmmvmujujviuiv二、二、 面积坐标面积坐标11三角形三角形pjm的面积的面积1111221ijjiiimmxyAxyab

9、xc yxy可见1()2iiiiiALab xc yAA( , ,)i j m（3-24）恰有,iijjmmLN LNLN3. 面积坐标与直角坐标关系面积坐标与直角坐标关系由,iiiiu x yN uLu对于1,u ,uxuy上式定能精确描述，即0 xymjiPPxyiAjAmA2. 面积坐标恰为三角形常应变元的形函数面积坐标恰为三角形常应变元的形函数121iijjmmiijjmmijmxx Lx Lx Lyy Ly Ly LLLL可见三个面积坐标只有两个独立的。可见三个面积坐标只有两个独立的。4. 面积坐标与直角坐标的导数关系面积坐标与直角坐标的导数关系, ,2ii j mibxA L，,

10、,2ii j mjcyA L（3-26）5. 面积坐标的积分值面积坐标的积分值面积分面积分 ! ! !22 !ijmAL L L dxdyA (3-27)A为三角域面积，为三角域面积， ，为整常数；为整常数；线积分线积分! !1 !ijlL L dsl (3-28)1()2iiiiiALab xc yAA( , ,)i j m0 xymjiPPxyiAjAmA13单元等效结点力和结点位移之间的关系单元等效结点力和结点位移之间的关系单元存在集中力单元存在集中力 G，表面力表面力 sP，体积力体积力 vP假定单元假定单元e内各点发生虚位移内各点发生虚位移 ef N（a） e是单元是单元e上三个结点

11、上三个结点i，j，m的虚位移的虚位移 eTiijjmmuvuvuv（b）1. 单元的虚应变：（由几何方程）单元的虚应变：（由几何方程） e*B一、单元刚度矩阵一、单元刚度矩阵xy0ijmmvmujujviuive1.3 刚度矩阵刚度矩阵14 TTTSVTTTTeSVTeeffhdsfhdxdyhdshdxdyGPPNGNPNPF3. 单元内，应力在虚应变上所做的功单元内，应力在虚应变上所做的功 TTTeehdxdyhdxdy BDB虚位移原理：外力在虚位移上的功虚位移原理：外力在虚位移上的功=应力在虚应变上的功应力在虚应变上的功 TTTeeeehdxdyFBDB2. 单元上外力在虚位移上所做的

12、功单元上外力在虚位移上所做的功(单元厚度为单元厚度为h)+eeeecsvFPPP TevvhdxdyPNP ,TecPNG ,TesShdsPNP ef N, e*BeF， 称为单元等效结点力称为单元等效结点力xyoijmm yFmxFjxFjyFixFiyFe15 TTTeeeehdxdyFBDB由于e是任意的（线性无关的），得 TeehdxdyFBDB记 TeThdxdyhAkBDBB DB(1-42) eeeFk1式中 ek称为单元刚度矩阵。 B D, 均为已知的， B是x，y的函数，ek可由积分得出xyoijmm yFmxFjxFjyFixFiyFexyoijmmvmujujviuiv

13、e虚位移原理：外力在虚位移上的功虚位移原理：外力在虚位移上的功 应力在虚应变上的功应力在虚应变上的功162 eeeFk称为单元刚度矩阵方程，表征单元结点力和结点位移的关系 6 6iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkk（1-43）对平面应力问题： 21122114 122rsrsrsrsTrsrsrsrsrsrsb bc cb cc bEhhAAc bb cc cb bkBDB对平面应变问题，(将E换为21E，换为1。 TeThdxdyhAkBDBB DB(1-42)xyyxxyyxE210001011217中3刚阵元素的物理意义，如11122122ijk12j 结点沿y方向发

14、生单位位移时引起 i 结点力在x方向分量为 12表征了4单元的结点力eF，结点位移 e，ek形状、大小、方位和弹性常数，仅取决于单元的不随单元或坐标的平移而改变（因为平移只加刚体位移，在求导时消失）单刚方程也可以用最小势能原理导得5()0UV 112212TTAAeTTeAUdhdxdyhdxdy D B DB令eTAhdxdykB DB,则12eTeeU k 又eTeV F12eTeeTeUV k Fxy0ijmmvmujujviuiv()0UV eeeFk18弹性体被划分为弹性体被划分为en个单元和个单元和n节点节点1. 弹性体的节点位移列阵弹性体的节点位移列阵 1221TTTTnn Ti

15、iiuv(1,2, )in2. 相应的结点等效载荷相应的结点等效载荷 1221TTTTnnFFFF,(1,2, )iniF注：注： 是是i 结点的等效结点力。结点的等效结点力。3F2F1F离散模型离散模型(三角形单元三角形单元) 11eeTnnTeeiixiyixiyeeFFFFFxy0ijmmvmujujviuive二、二、 整体刚度矩阵整体刚度矩阵193. 各单元的6 1eF扩大为21n阶列阵 2100TTTeeeeijmnFFFF其中 eF为单元e的等效结点力，单元刚度矩阵6 6扩大为22nn阶000000eTeeeiiiijimieTeeejjijjjmjeTeeemmimjmmmkk

16、kkkkkkk FFF3F2F1F离散模型离散模型(三角形单元三角形单元) 6 16 66 1eeeFkxyoijmmvmujujviuive20结点力的迭加 121enTeTTTneFFFFF(n)（I）式代入（n）得 11eenneeeeFkFK(2-34)11121212221222nnnnnnnnkkkkkkkkkk ,其中子矩阵2 21enersrsekk( ,1,2, )r sn对于一组下标r，s只有r=s或r，s同属于一个单元才有rsk非零。11eenneTeetdxdyKKB DB整体刚度矩阵整体刚度矩阵1eneeFF结构整体等效节点力结构整体等效节点力4. 单元刚度方程迭加为

17、整体刚度方程单元刚度方程迭加为整体刚度方程21因此，因此，K 在非对角线上很多零元素。上式为弹性体的在非对角线上很多零元素。上式为弹性体的刚度（平衡）方程，刚度（平衡）方程，2n个代数方程解个代数方程解2n个未知量个未知量 。 注意：注意： 各单元结点力各单元结点力 求和时，因为相邻单元的相互作用的求和时，因为相邻单元的相互作用的结点力已互相抵消，无须迭加，剩下的荷载仅为各单元上结点力已互相抵消，无须迭加，剩下的荷载仅为各单元上外力等效的结点力，但概念上记住一个单元的刚度方程中外力等效的结点力，但概念上记住一个单元的刚度方程中结点力列阵需包括相邻单元对结点的作用力。结点力列阵需包括相邻单元对结

18、点的作用力。eFFK(2-34)3F2F1F离散模型离散模型(三角形单元三角形单元)111212122212nnnnnnkkkkkkkkkk ,221. K 中每一列元素的物理意义：弹性体仅在某个结点中每一列元素的物理意义：弹性体仅在某个结点沿沿 x （或（或y）方向发生单位位移时，所有各结点上需要）方向发生单位位移时，所有各结点上需要施加的结点力。施加的结点力。2. K 的主元素总是正的的主元素总是正的22k由性质由性质1知：知： K 中中 元素表示结点元素表示结点2在在x方向产生单位方向产生单位位移时，在结点位移时，在结点2的的x方向需施加的力，自然与位移方方向需施加的力，自然与位移方向同

19、向，向同向， 必为正值。必为正值。22k3. K是对称阵是对称阵仅需证仅需证Tsrrskk11eeTnnTTeTTrsrsrssrsreekkB DBhAB DBhAk4. K沿主对角线呈带状稀疏阵沿主对角线呈带状稀疏阵xy0ijmmvmujujviuiv三、整体刚度矩阵的性质三、整体刚度矩阵的性质235. K是一个奇异阵：在消除刚体位移后，它是正定阵。是一个奇异阵：在消除刚体位移后，它是正定阵。因因F 的各分量应满足三个静力平衡方程，反映的各分量应满足三个静力平衡方程，反映K存在三存在三个线性相关的列或行。对等式个线性相关的列或行。对等式1eneeKK 同乘同乘T11eennTTTTeehA

20、hA kB DB D由于由于 B TTTB因为因为 t A为正值为正值, D为正定阵，据矩阵代数知识为正定阵，据矩阵代数知识右边右边0,when0rigid displacement0when0（），故知左边故知左边T0rigid displacement0no rigid displacement kFK(2-34)24因为e1=eneFF, 其中eF仅需考虑单元上的集中力，表面力和体力向结点等效仅需考虑单元上的集中力，表面力和体力向结点等效eTVvAhdxdyPNpeTSslhdlPNp ,eciiCPNGijm，+eeeecsvFPPPiCNiN为为 在集中力在集中力 作用点作用点 处的

21、值。处的值。CCxy， GeeTeTe TccicjcmPPPP1集中力等效的集中力等效的ecP000d000TijmSxeSlijmSyNNNPhlNNNP PxyxyxyTeeTeTe TeeeeeessisjsmsisisjsjsmsmPPPPPPPPPP2表面力的等效表面力的等效eTSslhdlPNpijmm yFmxFjxFjyFixFiyF1.4 等效结点力荷载列阵等效结点力荷载列阵25例例1：重力密度为重力密度为，方向为，方向为y 轴负向。轴负向。0=-vxvvyppP有得得10101013TevhA P，3个节点各均担个节点各均担1/3重量。重量。结论：结论：对三角形常应变单元

22、对三角形常应变单元(线性模式线性模式)，其虚功相等的等，其虚功相等的等效原则与静力等效的数值相同。效原则与静力等效的数值相同。0000000TijmeVAijmNNNhdxdyNNN P000000TijmVxeVAijmVyNNNPhdxdyNNNP PeeTeTe TvvivjvmPPPP3体力的等效体力的等效eTVvAhdxdyPNp1()2iiiiNab xc yAxyoijmm yFmxFjxFjyFixFiyFe2610000(1)d01000(1)00003600003622110023333TSxeSlSySxSySxSySxSysssPlllhssssPlllllPhPllh

23、lPPPP P引用局部坐标，右图中在引用局部坐标，右图中在ij边边1=1SxSSysplpsplij边上形函数：边上形函数：1isNl，jsNl，0mN1()2iiiiNab xc yAyOmPslsijxeTSxSypp在结点在结点i 的面力集度为的面力集度为例例2：单元单元ij 边受三角形分布力，边受三角形分布力，27 =y f x对对 用函数逼近。用函数逼近。1. f x用多项式插值逼近用多项式插值逼近 2012npxaa xa x项数取得多， npxf x，如果弃去0a项， npx那么 无法 f x例：例： 1,f x 1,1 ,x 212npxa xa x（无法） f x23xxx可

24、见可见 不是完备的函数列。不是完备的函数列。 npx2. 的项数越多，未必能逼近的项数越多，未必能逼近 龙格现象，龙格现象， f x数值不稳定，为了得到稳定，收敛的插值函数数值不稳定，为了得到稳定，收敛的插值函数用分段低用分段低阶多项式来逼近阶多项式来逼近 ，如分段线性、抛物线。，如分段线性、抛物线。 f x1.6 收敛准则、位移函数的选择收敛准则、位移函数的选择28有限元法实质按单元（子域）对位移有限元法实质按单元（子域）对位移,u x y，,v x y用插值函数逼近，为了保证有限元解的收敛性，位移用插值函数逼近，为了保证有限元解的收敛性，位移模式需满足三个条件：模式需满足三个条件：1.位移

25、模式必须包含单元的刚体位移位移模式必须包含单元的刚体位移例：例：矩形单元矩形单元如0ijmkuuuuu则440011,iiiu x yN uuNu2.位移模式必须包含单元的常应变位移模式必须包含单元的常应变在求应变时，用了偏导yuxvxu/,/,/，实质上,u v的插值函数须包含一切线性项,反映力学意义为常应变。如三角形常应变单元中 项。11,yxyxu321),(，yxyxv321),(（1-12）一、收敛准则一、收敛准则29当单元逐渐细化，当单元逐渐细化，则变应变部分将很小则变应变部分将很小应变常应变变应变=+3. 位移模式在单元内要连续，位移模式在单元内要连续，并使相邻单元间的位移必须并

26、使相邻单元间的位移必须协调。协调。 单元间的协调性要求单元单元间的协调性要求单元之间不开裂也不重叠之间不开裂也不重叠(位移连续位移连续)在梁、板、壳中，要求斜率（位移的导数）在边界上连续。在梁、板、壳中，要求斜率（位移的导数）在边界上连续。一般当相邻单元在交界面上的位移取决于交界面上结点的一般当相邻单元在交界面上的位移取决于交界面上结点的位移时，可以保证位移的协调性（连续），如矩形单元，位移时，可以保证位移的协调性（连续），如矩形单元，常应变单元。常应变单元。30l 在有限元法中，满足在有限元法中，满足1，2的单元，称为的单元，称为完备单元完备单元；满；满足足3，称为，称为协调单元协调单元。同

27、时满足。同时满足1，2，3称为称为完备的协完备的协调单元调单元。（例：三角形常应变单元是完备的协调元）。（例：三角形常应变单元是完备的协调元）l 在某些梁、板、壳单元，满足条件在某些梁、板、壳单元，满足条件3较难，有时放弃条较难，有时放弃条件件3，故称为，故称为非协调单元非协调单元。l 用插值函数代替真实位移，相当于人为对原结构加了用插值函数代替真实位移，相当于人为对原结构加了一些约束，使结构变一些约束，使结构变“刚刚”，因此有限元法的位移解，因此有限元法的位移解必然小于真解。而非协调单元放松了必然小于真解。而非协调单元放松了“刚度刚度”，因此，因此，有些非协调元收敛更快。有些非协调元收敛更快

28、。1. 位移模式必须包含单元的刚体位移；位移模式必须包含单元的刚体位移；2. 位移模式必须包含单元的常应变；位移模式必须包含单元的常应变；3. 位移模式在相邻单元间的位移必须协调（连续）。位移模式在相邻单元间的位移必须协调（连续）。311. 位移模式需包含常数项、一次项。位移模式需包含常数项、一次项。2. 模式应与局部坐标系的方位无关，即不能偏惠一个方向，模式应与局部坐标系的方位无关，即不能偏惠一个方向， 所以在选择高次项时，应对称选取所以在选择高次项时，应对称选取 1 x y x2 xy y2x3 x2y xy2 y3.如果一个方向细致（阶高），另一方向形函数阶低，则低如果一个方向细致（阶高

29、），另一方向形函数阶低，则低的方向所带来的误差已抹杀了阶高方向的高精度效果。的方向所带来的误差已抹杀了阶高方向的高精度效果。二、多项式位移模式阶次的选择二、多项式位移模式阶次的选择32一、对称性利用一、对称性利用二、结点的选择和单元的划分二、结点的选择和单元的划分 1. 集中力或荷载突变处应取为结点集中力或荷载突变处应取为结点 2. 单元的三条边长度相当，避免过钝、锐角单元的三条边长度相当，避免过钝、锐角 3. 单元疏密分布要恰当单元疏密分布要恰当三、结点的编号三、结点的编号 尽量缩小刚阵带宽，平面问题半带宽为尽量缩小刚阵带宽，平面问题半带宽为21Bd, d为相邻结点的最大差值为相邻结点的最大

30、差值刚阵存储量刚阵存储量241NnBn d, n为总结点数为总结点数四、单元结点四、单元结点i，j，m的顺序的顺序为使为使A0, i，j，m须逆时针转向。须逆时针转向。ijmm yFmxFjxFjyFixFiyF3F2F1F1.7 有限元法实施步骤注意事项有限元法实施步骤注意事项1.8 边界位移条件边界位移条件KK总刚阵总刚阵 奇异，排除弹性刚体位移后，奇异，排除弹性刚体位移后， 才非奇异。才非奇异。321321333231232221131211FFFuuukkkkkkkkk01u323233322322FFuukkkk01u;FFuuukkkk3232133322322000001如已知如

31、已知 ，则，则11u112122232231323333100;ukkkuFkkkuF131312123233322322kFkFuukkkk11u 1. 划行划列法划行划列法 最终形式最终形式划行划列法减少了方程数目，便于手算。划行划列法减少了方程数目，便于手算。 01u例说例说：已知：已知 ，引入代数方程，引入代数方程 33对对 引入已知位移。引入已知位移。FK2. 乘大数法乘大数法FK 3210111321333231232221131210111010FFkuuukkkkkkkkk第第1个方程为个方程为10111313212110111010kukukuk1、2 效果一样，都保持了的稀

32、疏，效果一样，都保持了的稀疏， 带状和对称性。带状和对称性。K如已知如已知 ，则，则11u乘大数法不改变方程维数乘大数法不改变方程维数, 便于编程。便于编程。引入结构的已知位移后，总体刚度方程是非奇异的。引入结构的已知位移后，总体刚度方程是非奇异的。解之，获得结构总体节点位移解之，获得结构总体节点位移 。34321321333231232221131211FFFuuukkkkkkkkk35nnnnnnnnbbbxxxaaaaaaaaa2121212222111211Gauss消去法解XBAX 解解n 阶线性方程组阶线性方程组不妨设011a，导出nnnnnnnbbbxxxaaaaaaa21212

33、2221121100111211122222000000nnnnnnaaabxxaabxab,jmjmimjiiiaaa aa,jjijiiibbbaanimj, 1,nnnnxba1,niijiiijj ixba xa 1 , 1 ni1-9 线性方程组求解线性方程组求解36解总体刚度方程解总体刚度方程FK 得到总结点位移列阵得到总结点位移列阵TTnTT211. 从中取出各单元的位移列阵从中取出各单元的位移列阵TTmTjTie 2. 代入几何方程，得单元应变代入几何方程，得单元应变 eeB3. 代入代入eeeDBD 得单元应力得单元应力xyyx212132322212221222222622

34、zxyzxyxzzyyx4. 单元的单元的Mises应力应力1对平面应力问题对平面应力问题212223xyyxyx2对平面应变问题对平面应变问题2122423xyyxxy0ijmmvmujujviuive1.10 计算单元应力计算单元应力37xy1.01.01.01.045613P=12单元：3，1，2单元：5，2，4单元：2，5，3单元：6，3，5解：解：计算单元：单元面积 A=1/2,1,0,10,1,1ijmijmbbbccc 单元、的值同单元计算单元，单元面积 A=1/21,0,10,1,1ijmijmbbbccc ，的各单元刚阵，并迭加求总刚阵。1,h 0,2E 。用三角形常应变单元

35、计算结构取例题例题:38单刚：10001000.50.500.50.500.50.500.50.500010110.50.501.50.500.50.510.51.5 ek10001000.51010.5010.500.50.5000101110.501.50.500.50.510.51.5 ek单元刚阵装配规则：iiijimejijjjmmimjmmkkkkkkkkkkxy1.01.01.01.045613P=12395555(2)22224444eXuYvXuYvXuYvk6666(4)33335555eXuYvXuYvXuYvk3333(1)11112222eXuYvXuYvXuYvk，

36、2222(3)55553333eXuYvXuYvXuYvk，xy1.01.01.01.045613P=12单刚方程：40逐节点力平衡，在结点2平衡：2220YYY2222XXXX，迭加后总刚度：1122334455660.500.50.500.50000000101000000000.5030.510.50.50.500.5000.510.530.51110.50000010.530.XYXYXYXYXYXY+50010.500.50.500.510.53000.5200000.50001.50.510.500000.51000.51.500.5000000.510.51030.510.500

37、0.500.520.50.50.5300.500000000101000000.50000.50.500.5112233445566uvuvuvuvuvuv 123456xy1.01.01.01.045613P=12411244560uuuvvv按照划行划列法引入边界条件后，按照划行划列法引入边界条件后，总体方程成为总体方程成为112233335566110000130.510.5000.530.510,010.530.5000.510.531000011YvYvXuYvXuXu代入代数方程求解器进行计算，获得未知的节点位移值代入代数方程求解器进行计算，获得未知的节点位移值123356,v v u v u uxy1.01.01.01.045613P=12123356100000YYXYXX已知位移已知位移42谢谢谢谢 请多提宝贵意见！请多提宝贵意见！