高考数学复习资料：抛物线经典例题讲解+高考数学选择题十大万能解题技巧

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1、高考数学复习资料：抛物线经典例题讲解（1）抛物线二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.【例1】P为抛物线 上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ）相交 相切 相离 位置由P确定【解析】如图，抛物线的焦点为 ，准线是.作PH 于H，交y轴于Q，那么 ，且 .作MNy轴于N则MN是梯形PQOF的中位线， .故以PF为直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论

2、则分别是相离或相交的.（2）焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】 过抛物线 的焦点F作直线交抛物线于 两点，求证：（1） （2）【证明】（1）如图设抛物线的准线为 ，作，.两式相加即得：（2）当ABx轴时，有成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为： .代入抛物线方程：.化简得：方程（1）之二根为x1，x2， .故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有 成立.（3）切线抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明：过抛物线 上

3、一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）【证明】对方程 两边取导数：.由点斜式方程：y0y=p（x+x0）（4）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线 上，且动圆恒与直线 相切，则此动圆必过定点 （ ）显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2.抛物线 的通径长为2p；3.设抛物线 过焦点的弦两端分别为 ，那么：以下再举一例【例4】设抛物线 的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的

4、通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为 ，那么：设抛物线的准线交x轴于C，那么.这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点. 通法 特法 妙法（1）解析法为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.【例5】（07.四川文科卷.10题）已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ）A.3 B.4 C.3 D.4【分析】直线AB必与

5、直线x+y=0垂直，且线段AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】点A、B关于直线x+y=0对称，设直线AB的方程为： . 由设方程（1）之两根为x1，x2，则 .设AB的中点为M（x0，y0），则 .代入x+y=0：y0=.故有 .从而 .直线AB的方程为： .方程（1）成为： .解得：，从而 ，故得：A（-2，-1），B（1，2）. ，选C.（2）几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】（07.

6、全国1卷.11题）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积（ ）A. B. C. D.【解析】如图直线AF的斜率为 时AFX=60.AFK为正三角形.设准线 交x轴于M，则且KFM=60， .选C.【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的面积用公式 计算.（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.（3）定义法追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线的

7、左准线为 ，左焦点和右焦点分别为 和 ；抛物线 的线为 ，焦点为 与 的一个交点为 ，则 等于（ ）A. B. C. D.【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c，离心率为e，作 ，令.点M在抛物线上，这就是说： 的实质是离心率e.其次， 与离心率e有什么关系?注意到：.这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于 .选 A.（4）三角法本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施

8、“九九归一”达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.【例8】（07.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线 的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。（）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。【解析】（）焦点F（2，0），准线 .（）直线AB：代入（1），整理得：设方程（2）之二根为y1，y2，则 .设AB中点为AB的垂直平分线方程是： .令y=0，则故于是|FP|-|FP|cos2a=，故为定值.（5）消去法合理减负的常用方法.避免解析几

9、何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线 ：（1） 与抛物线 有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线 ：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线 的方程.【解析】假定在抛物线 上存在这样的两点线段AB被直线 ：x+5y-5=0垂直平分，且.设线段AB的中点为 .代入x+5y-5=0得x=1.于是：AB中点为 .故存在符合题设条件的直线，其方程为：（6）探索法奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就

10、得冷静分析，探索规律，不断地猜想证明再猜想再证明.终于发现“无限风光在险峰”.【例10】（07.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1，P2，Pn-1，过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形Q1OP1， Q2P1P2， Qn-1Pn-1Pn-1，当n时，这些三角形的面积之和的极限为 .【解析】设OA上第k个分点为第k个三角形的面积为：.故这些三角形的面积之和的极限抛物线定义的妙用对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高思维能力。

11、现举例说明如下。一、求轨迹（或方程）例1. 已知动点M的坐标满足方程 ，则动点M的轨迹是（ ）A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对解：由题意得：即动点 到直线 的距离等于它到原点（0，0）的距离由抛物线定义可知：动点M的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线 为准线的抛物线。故选C。二、求参数的值例2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点 到焦点距离为5，求m的值。解：设抛物线方程为 ，准线方程：点M到焦点距离与到准线距离相等解得：抛物线方程为把 代入得：三、求角例3. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为 ，则 _。

12、A. 45 B. 60 C. 90 D. 120图1解：如图1，由抛物线的定义知：则由题意知：即故选C。四、求三角形面积例4. 设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若 ， 。求OPQ的面积。解析：如图2，不妨设抛物线方程为 ，点 、点图2则由抛物线定义知：又 ，则由 得：即又PQ为过焦点的弦，所以则所以，点评：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。五、求最值例5. 设P是抛物线 上的一个动点。（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线 的距离之和的最小值；（2）若B（3，2），求 的最小值。解：（1）如图

13、3，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是由抛物线的定义知：点P到直线 的距离等于点P到焦点F的距离。于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小。显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为 ，即为 。图3（2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点 ，则，则有即 的最小值为4图4点评：本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。六、证明例6. 求证：以抛物线 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。证明：如图5，设抛物线的准线为 ，过A、B两点分别作A

14、C、BD垂直于 ，垂足分别为C、D。取线段AB中点M，作MH垂直 于H。图5由抛物线的定义有：ABDC是直角梯形即 为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证。抛物线与面积问题抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解。例1. 如图1，二次函数 的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0）。点C（0，5）、点D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点。图1（1）求抛物线的解析式；（2）求MCB的面积。解：（1）设抛物线的解析式为，根据题

15、意得，解得所求的抛物线的解析式为（2）C点坐标为（0，5），OC=5令 ，则 ，解得B点坐标为（5，0），OB=5 ，顶点M的坐标为（2，9）过点M作MNAB于点N，则ON=2，MN=9例2. 如图2，面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上，二次函数 的图像过原点、A点和斜边OB的中点M。图2（1）求出这个二次函数的解析式和对称轴。（2）在坐标轴上是否存一点P，使PMA中PA=PM，如果存在，写出P点的坐标，如果不存在，说明理由。解：（1）等腰直角OAB的面积为18，OA=OB=6M是斜边OB的中点，点A的坐标为（6，0）点M的坐标为（3，3）抛物线 ，解得解析式为 ，对称轴

16、为（2）答：在x轴、y轴上都存在点P，使PAM中PA=PM。P点在x轴上，且满足PA=PM时，点P坐标为（3，0）。P点在y轴上，且满足PA=PM时，点P坐标为（0，-3）。例3. 二次函数 的图像一部分如图3，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。图3（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由。（2）设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c，当AMC的面积为ABC面积的 倍时，求a的值。解：（1）由图象可知： ；图象过点（0，1），所以c=1；图象过点（1，0），则 ；当 时，应有 ，则当 代入得 ，即所以，实数a的取值范围为 。（2）此时函数 ，要使，可求得 。例4

17、. 如图4，在同一直角坐标系内，如果x轴与一次函数 的图象以及分别过C（1，0）、D（4，0）两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7。图4（1）求K的值；（2）求过F、C、D三点的抛物线的解析式；（3）线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动（点P不重合于点C），过P点作直线PQCD交EF于Q。当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围。解：（1）点A、B在一次函数 的图象上，且四边形ABDC的面积为7 。（2）由F（0，4），C（1，0），D（4，0）得（3）PD=1t=tOP=4-t即 。抛物线1已知

18、抛物线D：y2=4x的焦点与椭圆Q： 的右焦点F1重合，且点 在椭圆Q上。（）求椭圆Q的方程及其离心率；（）若倾斜角为45的直线l过椭圆Q的左焦点F2，且与椭圆相交于A，B两点，求ABF1的面积。解：（）由题意知，抛物线 的焦点为（1，0）椭圆Q的右焦点F1的坐标为（1，0）。 又点 在椭圆Q上， 即 由，解得 椭圆Q的方程为 离心离（）由（）知F2（-1，0）直线l的方程为 设由方程组 消y整理，得又点F1到直线l的距离 2如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为（5，0），倾斜角为 的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程，

19、并求AMN的最大面积解法一 由题意，可设l的方程为y=x+m，其中-5-4）x+m2=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式=（2m-4）2-4m2=16（1-m）0，解得m0必成立，设M（x1，y1），N（x2，y2）则y 1+ y 2=4，y 1?y 2=-4m，S=4=4S8 ，当且仅当 即m=1时取等号故直线l的方程为y=x-1，AMN的最大面积为83已知O为坐标原点，P（ ）（ ）为 轴上一动点，过P作直线交抛物线 于A、B两点，设SAOB=，试问： 为何值时，t取得最小值，并求出最小值。解：交AB与 轴不重叠时，设AB的方程为合 消y可得：设A B 则 ， 交AB与x

20、轴重叠时，上述结论仍然成立又 当 时 取“=”， 综上 当高考数学选择题十大万能解题技巧数学考试解题四项注意1.审题与解题的关系有的考生对审题重视不够，匆匆一看急于下笔，以致题目的条件与要求都没有吃透，至于如何从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路就更无从谈起，这样解题出错自然多。只有耐心仔细地审题，准确地把握题目中的关键词与量?如“至少”，“a0”，自变量的取值范围等，从中获取尽可能多的信息，才能迅速找准解题方向。2.“会做”与“得分”的关系要将你的解题策略转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言表述，这一点往往被一些考生所忽视，因此卷面上大量出现“会而不对”“对而不全”的情况，考生自己的估分与实

21、际得分差之甚远。如立体几何论证中的“跳步”，使很多人丢失1/3以上得分，代数论证中“以图代证”，尽管解题思路正确甚至很巧妙，但是由于不善于把“图形语言”准确地转译为“文字语言”，得分少得可怜；再如去年理17题三角函数图像变换，许多考生“心中有数”却说不清楚，扣分者也不在少数。3.快与准的关系只有“准”才能得分，只有“准”你才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时训练的结果，不是考场上所能解决的问题，一味求快，只会落得错误百出。如去年第21题应用题，此题列出分段函数解析式并不难，但是相当多的考生在匆忙中把二次函数甚至一次函数都算错，尽管后继部分解题思路正确又花时间去算，也几乎得不到分，这与考生的

22、实际水平是不相符的。适当地慢一点、准一点，可得多一点分；相反，快一点，错一片，花了时间还得不到分。4.难题与容易题的关系拿到试卷后，应将全卷通览一遍，一般来说应按先易后难、先简后繁的顺序作答。近年来考题的顺序并不完全是难易的顺序，因此在答题时要合理安排时间，不要在某个卡住的题上打“持久战”，那样既耗费时间又拿不到分，会做的题又被耽误了。这几年，数学试题已从“一题把关”转为“多题把关”，因此解答题都设置了层次分明的“台阶”，入口宽，入手易，但是深入难，解到底难，因此看似容易的题也会有“咬手”的关卡，看似难做的题也有可得分之处。所以考试中看到“容易”题不可掉以轻心，看到难题不要胆怯，冷静思考、仔细

23、分析，定能得到应有的分数。高中数学选择题十大万能解题技巧1.特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。2.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。3.剔除法：利用已知条件提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点

24、代入验证即可排除。4.数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。5.递推归纳法：通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。6.顺推法：利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。7.逆推验证法（代答案入题验证法）：将所有选择答案代入进行验证，从而否定错误答案而得出正确答案的方法。8.正难则反法：从题的正面解决比较难时，可从答案出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。9.特征分析法对题设和选择答案的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。10.估值选择法：有些问题，由于题目条件限制，无法（或没有必要）进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。