圆的内接四边形

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1、二二. .圆内接四边形的圆内接四边形的性质与判定定理性质与判定定理CODBA圆周角定理：圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半的圆心角的一半圆心角定理圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数推论推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等推论推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，的圆周角所对的弦是直径例例2如图，如图，AB与与CD相交于圆内一点相交于圆内一点P求证：求证： 的度数与的度数与 的度数和的一半等于的度数和的一半等于APD的度数的度数ADBCDABPCE分析：由于分析：由于APD既不是

2、既不是圆心角圆心角，也不是也不是圆周角圆周角，为此我们需要构造，为此我们需要构造一个与一个与APD相等的圆心角或圆周相等的圆心角或圆周角，以便利用定理角，以便利用定理证明：如图，过点证明：如图，过点C作作CE/AB交交圆于圆于E，则有，则有APD C.OACDEBABCOOC CA AB BD DABCFEDO 定义：定义：如果多边形的所有顶点都如果多边形的所有顶点都在一个圆上在一个圆上,那么这个多边形叫做那么这个多边形叫做圆内圆内接多边形接多边形,这个圆叫做这个圆叫做多边形的外接圆多边形的外接圆.一一 定理的探究定理的探究 思考思考:探究：观察下图，这组图中的四边形都内接于圆你能发现这些四边

3、形的共同特征吗？特殊到一般的方法特殊到一般的方法!（1 ） 任意三角形都有外接圆吗？任意三角形都有外接圆吗？那么任意四边形有外接圆吗那么任意四边形有外接圆吗?（3）任意矩形是否有外接圆）任意矩形是否有外接圆?（2）一般地）一般地,任意四边形都有外接圆吗任意四边形都有外接圆吗?CODBA1.1.如图：圆内接四边形如图：圆内接四边形ABCDABCD中，中， 弧弧BCDBCD和弧和弧BADBAD所对所对的圆心角的的圆心角的和和是周角是周角. .AACC 180 同理同理B BDD1801802 圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的圆内接四边形的性质定理性质定理：圆的内接四边形的

4、对角互补圆的内接四边形的对角互补2.2.圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理C CO.O.D DB BA AE圆内接四边形的圆内接四边形的性质定理性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角圆内接四边形的外角等于它的内角的对角圆内接四边形的圆内接四边形的性质定理性质定理：圆的内接四边形的对角互补圆的内接四边形的对角互补圆内接四边形的圆内接四边形的性质定理性质定理2：圆内接四边形的外角等于圆内接四边形的外角等于它的内角的对角它的内角的对角3 四边形存在外接圆的判定定理四边形存在外接圆的判定定理 OC CA AB BD DE已知已知：四边形：四边形ABCD中，中，B+D=180,求证求

5、证：A、B、C、D在同一圆周上（简称四点共圆）在同一圆周上（简称四点共圆）. OC CA AB BD D分析：分析：不在同一直线上的三点确定一个圆不在同一直线上的三点确定一个圆经过经过A、B、C三点三点作作 O，如果能够由条件得到如果能够由条件得到 O过点过点D，那么就证明了命题，那么就证明了命题显然，显然， O与点与点D有且只有三种位置关系有且只有三种位置关系:(1)点点D在圆外；在圆外；(2)点点D在圆内；在圆内；(3)点点D在圆上在圆上只要证明在假设条件下只有只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题成立，也就证明了命题OC CA AB BD DOC CA AB BD D分类讨论

6、思想分类讨论思想反证法反证法3 四边形存在外接圆的判定定理四边形存在外接圆的判定定理 圆内接四边形圆内接四边形判定定理判定定理：如果一个四边形的对角互补，那：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆么这个四边形的四个顶点共圆说明：说明：在此判定定理的证明中，用到了在此判定定理的证明中，用到了分类讨论的思想分类讨论的思想和和反证法反证法又当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种又当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种情形分别讨论，最后获得结论的方法，称为情形分别讨论，最后获得结论的方法，称为穷举法穷举法于是于是圆内接四边形判定定理的圆内接四边形判定定理的推论推论：如果四边形的一个

7、外角等：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆ABCDOEOC CA AB BD D应用格式：应用格式：在四边形在四边形ABCD中，中，A+C=180,四点四点A,B,C,D共圆共圆应用格式：应用格式：在四边形在四边形ABCD中，中，A=DCE,四点四点A,B,C,D共圆共圆3 四边形存在外接圆的判定定理四边形存在外接圆的判定定理 1、如图，四边形ABCD为 O的内接四边形，已知BOD=100,则BAD= ,BCD= .练习 ：ABCDO2、圆内接四边形ABCD中,A:B:C=2:3:4,则A= B= C= D=501306090120903、如图，四边形ABCD内接于 O， DCE=75，则BOD=150ABCDOE设A=2x,则C=4x. A+C=180, x=30.二二 定理的应用定理的应用