数学归纳法的教法再探——从知识的产生过程中诠释递推思想

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1、数学归纳法的教法再探从知识的产生过程中诠释递推思想 数学归纳法作为数学的一种方法，蕴涵了非常深刻的数学思想，而我们在教学中往往将它形式化.但高中数学课程标准明确指出：“在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只局限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的.因此，高中数学课程应该反璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质数学课程要讲究逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法.”所以没有对数学本质的

2、理解，就不可能有应用和创新这就要求我们在教学中必须阐明问题产生的背景、抽象的过程以及结果的表述，体现其内在本质，决不能做表面文章 事实告诉我们，学生学习数学归纳法的主要困难有两点：其一是对方法本身不理解，第一步的意义和第二步的本质分别是什么？其二是由归纳假设成立推导成立时，变形过程有困难.老师为了解释两个步骤的必要性， 常见的教学方法往往是举“多米诺”骨牌的游戏，由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推倒第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下，如此传递下去，所有的骨牌都会倒下.老师提出问题：要使块多米诺骨牌全体依次倒下，须满足什么条件？最后通过讨论得出结论：第一块要倒下.

3、当前面一块倒下时，后面一块必须倒下.老师把这两个条件迁移到具体的数学问题中，引出数学归纳法证题的步骤，最后让学生套用这个模式解题.虽然多米诺骨牌这个例子学生确实比较容易理解，但无论你如何解释，这只是对数学归纳法思想的一个直观认识，它决不能替代其丰富的理性内涵. 数学教学是思维过程的教学，若把现成的结论直接抛给学生，好象课堂密度增大了，但事实上，由于学生缺乏思考，很难在头脑中形成一个有效的认知结构，于是学生对它的掌握仅仅停留在被称作“表象”的水平上，即没有真正掌握. 人教版普通高中课程标准实验教科书指出数学方法与数学思想的起源都是自然的，如果感到某个数学思想不自然，那么只要想一下它的形成过程，就

4、会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物本着这样的理念，就要求在教学过程中让学生学到的不仅仅是形式和抽象的理论，而是让数学归纳法的思想真正走入学生的内心世界，我是这样呈现它的：（）设置障碍，激发学生自主探索的欲望在这一环节问题的选择很重要，如果选能用其它方法解决的问题，就很难激起学生学习数学归纳法的兴趣于是我选了这样一个用其它方法证明比较困难的题目：“证明：当的一切自然数时都有成立”，让学生在愤悱状态中学习，形成一个欲罢不能的追求目标从而激发学生自主探索的欲望学生互相讨论了片刻觉得无从着手，这时我启发他们从特殊值入手， 来验证时，原不等式为成立时，原不等式为，通过计算成立时，原不等式为，通过计

5、算成立时，原不等式为，通过计算成立时，原不等式为 （二）通过比较，引出递推思想（学生窃窃私语）觉得计算太繁了，此时我把握时机引导学生怎样由繁化简呢？激发了学生的学习兴趣学生通过观察比较时的两个不等式的左边，不难发现都有这个项，自然就想到利用“”来证明“”这个不等式，（由于学生已掌握了放缩法，于是此问题引发了他们探索的兴趣和热情），马上有学生讲“可以，因为.”那时怎么证呢？（学生自己动手操作），接着下面有学生说难道我们一个一个验证？马上又有人说“这验证得完啊，有无限多个自然数呢”（这时学生对这个难题产生了强烈的求知欲望和高涨的学习热情，学生觉得那怎么办呢？）对，很好！验证过程是无限的，但我们观察

6、一下上面的过程就会发现：时结论成立推出时结论也成立，时结论成立也可以推出时结论成立，而且推导方法是一样的，此时学生就想到能否把这个过程一般化，由时结论成立推出时结论也成立呢？这样的教学设计就给学生的自主探索留下了充分的空间（三）从特殊到一般，引出数学归纳法同学们分组讨论得出 “可以，因为，所以接着要求学生对时不通过计算，用这种推导方法推出结论成立由以上过程可以发现时结论成立时结论成立 时结论成立时结论成立时结论成立，而且推导方法都是一样的问学生怎样把这件事情叙述清楚？（四）总结归纳，得出数学归纳法证题的步骤第一步应该做什么？有学生回答:“假设时，不等式成立，即，再证明时结论也成立”这样证明对吗

7、？ 根据这位同学的想法那对（或）成立能不能依靠前一个式子成立的结果呢？显然不能，所以必须独立验证，于是第一步应验证（或）成立下面请同学们把证明过程写完整教师指出这种证明方法叫做数学归纳法，并指出数学归纳法中的递推思想在我们的身边到处可见，例如多米诺骨牌的游戏，也可以请学生举一些例子；最后请学生写出用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题步骤课后反思：首先，通过这样的教学过程，一方面使学生体会到了在问题的探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想的归纳推理方法，这对提高学生的数学能力十分重要这里有两处归纳：由“时结论成立时结论成

8、立”归纳出一般的“假设时结论成立，则时结论也成立”；由“时结论成立时结论成立”的推导方法，归纳出每一步的推导方法都与它一样，如果学生对证明时的结论成立有一定难度时，可以探究、模仿时的证明方法，这样上面的困难二就可以解决了另一方面，也让学生真正认识到了数学归纳法的两个步骤的实质：第一步验证的意义是归纳假设的基础（没有这一步的验证，第二步的假设就失去了支撑）；第二步的实质则是证明题目本身所蕴涵的数学关系的传递性（或称递推性），由于的任意性，从而保证了这种数学关系的“永恒”性其次，在本设计中对数学归纳法思想的呈现注意了以下几点：（1）注意了反映数学发展的规律，以及人们的认知规律，体现从具体到抽象、特

9、殊到一般的规律（2）为引导学生自主探索留了比较充分的空间，这样有利于学生经历观察、猜测、推理、归纳、交流、反思等过程（3）有人说，一节好课只有一个衡量标准：思维含金量要使含金量提高，提出好的问题是关键，好问题的背后必然蕴含着高质量的思维，而且好的问题必然会引发学生的独立思考，并在独立思考的基础上产生思维的碰撞苏霍姆林斯基说在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是发现者，研究者，探索者，而在学生的精神世界中这种需要特别强烈在这个教学设计中，提出了一个用其它方法解决比较困难的好问题，从而激发了学生自主探索的欲望，并在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对数学

10、较为全面的体验和理解（4）在这一教学设计中，最核心的就是拉长学生思维爬坡的过程，使得思维在更加复杂的情境中得到细腻的省察、从容的舒展、脚踏实地的进步从具体实例出发，展现数学思想的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉并让学生参与到探索、发现数学归纳法原理的过程中来，这样不仅使学生真正理解了数学归纳法的原理，而且培养了学生的自主探索精神、创新意识和独立实践的能力在教学过程中适度的形式化是必要的，但是凸现数学本质还要依靠数学本身，我们不必急于得出形式化，而应努力追求水到渠成的教学效果只有这样，才能增长学生学力、培养学生个性、提高学生素质，促使学生全面发展，也真正能体现普通高中数学课程标准（实验）的理念 参考文献1 普通高中数学课程标准（实验）人民教育出版社，2003，42 沈新权，沈志荣.高中数学探究式教学的策略.中学教研（数学），2005，113 陈云平，数学教学应是数学本质的教学中学数学教学参考，2005,10