垫江二中高中级数学竞赛试题

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1、重庆市垫江二中重庆市垫江二中 10-1110-11 学年高二上学期竞赛试题学年高二上学期竞赛试题时间：时间：150150 分钟分钟 满分：满分：150150 分分 命题人：王命题人：王 超超一一. . 选择题：（本大题共选择题：（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分。在各题所给出的四个选项中，有分。在各题所给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的代号填在答题卡上）且只有一个是正确的，请将正确选项的代号填在答题卡上）1. 条件：“直线 在y轴上的截距是在 x 轴上截距的两倍” ；条件：“直线 的斜率为plql2” ，则是的（ pq）A充分

2、不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D非充分也非必要条件2. 已知椭圆的右焦点为,右准线为 ，点，线段交于点.22:12xCyFlAlAFCB若,则= ( )3FAFB |AF A. B.2 C. D.3 w.w.w.k.s.5.u.c.o233. 函数的定义域为 R，若与都是奇函数，则 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( )f x(1)f x(1)f x A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数( )f x( )f x( )(2)f xf x(3)f x4. 已知，则245( )24xxf xx有 （ ）2xA 最大值 1.25 B 最小值 1.25 C 最大值 4

3、D 最小值 15. 已知 A（-1，0）. B（1，0） ，点 C（x，y）满足22(1)142xyx，则ACBC= （ ） A 6 B 4 C 2 D 不能确定6. 已知点)0 , 2()4 , 0(),(BAyxP和到的距离相等，则yx42 的最小值为（ ）A2B4C28D247. 在圆内过点（25，23）有条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列首xyx522n项,最长弦长为，若公差31,61，那么的取值集合 （ 1anadn）A 654 、 B9876、 C543 、 D.6543、8. 已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至22122xy22214xyb2ykx多有一个交点的充要条

4、件是A. B. 1 1,2 2K 11,22K C. D. 22,22K 22,22K 9. 对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，M( )f x12,x xR21xx有下列结论中正确的是 ( )212121()()()()xxf xf xxxA若，则1( )f xM2( )g xM12( )( )f xg xM B若，且，则1( )f xM2( )g xM( )0g x 12( )( )f xMg xC若，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1( )f xM2( )g xM12( )( )f xg xMD若，且，则1( )f xM2( )g xM1212( )( )f x

5、g xM10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图 2 中的 1，4，9，16，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是 （ ）A. 289 B. 1024 C. 1225 D. 1378二二. 填空题：（每小题填空题：（每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上）11. 对于椭圆191622yx和双曲线19722yx有下列命题：椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;双曲线的焦点恰好

6、是椭圆的顶点;双曲线与椭圆共焦点;椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .12. 如图，在平面直角坐标系中，为椭圆xoy1212,A A B B的四个顶点，为其右焦点，直线22221(0)xyababF与直线相交于点 T，线段与椭圆的交点12AB1B FOTM恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .OT13.已知函数.项数为 27 的等差数列满足，且公差xxxftansin)( na22，na.若，则当=_是，.0d0)()()(2721afafafk0)(kaf14. 将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角2462yxx )60(，x，得到曲线.若对于每一个旋转角，曲线都是一个函

7、数的图像，则的)0(CC最大值为_15. 已知数列满足：（m 为正整数） ，若， na1am1,231,nnnnnaaaaa当为偶数时，当为奇数时。6a 1则 m 所有可能的取值为_.三. 解答题：（共 6 题，总分 75 分）16. （本题满分 12 分）垫江县某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：每台空调或冰箱所需资金（百元）资金空调冰箱月资金供应数量（百元）成本3020300工人工资510110每台利润68问：该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量，才能使总利润最大？17. （本题满分 12 分）某地街道呈现东西. 南北向的网格状，相

8、邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点，为报刊零售点.请确定一个格点（除零售)2 , 2() 1 , 3()4 , 3()3 , 2()5 , 4()6 , 6(点外）为发行站，使 6 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.并求出最短路程.18.（本题满分 12 分） 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mma；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为nna.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h和2h，则他对这两种交易的综合满意度为1 2hh. 现假设甲生

9、产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为Am元和Bm元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为h乙，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h乙(1)求h乙和h乙关于Am、Bm的表达式；当35ABmm时，求证：h乙=h乙； (2)设35ABmm，当Am、Bm分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为0h，试问能否适当选取Am、Bm的值，使得0hh乙和0hh乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。19(本题满分 12 分) 设a

10、为实数，函数2( )2()|f xxxaxa. (1)若(0)1f，求a的取值范围； (2)求( )f x的最小值； (3)设函数( )( ),( ,)h xf x xa，直接写出(不需给出演算步骤)不等式( )1h x 的解集.20. （本题满分 13 分）设椭圆 E: （a,b0）过 M（2，） ，N(,1)两点，22221xyab26O 为坐标原点，（I）求椭圆 E 的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。OAOB 21. （本题满分 14 分）已知是公差为的等

11、差数列，是公比为的等比数列. nad nbq(1) 若，是否存在，有说明理由； 31nan*mkN、1?mmkaaa(2) 找出所有数列和，使对一切,并说明理由； na nb*nN1nnnaba(3) 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是115,4,3,adbqp nap数列中的一项，请证明。 nb重庆市垫江二中重庆市垫江二中 10-1110-11 学年高二上学期竞赛试题参考答案学年高二上学期竞赛试题参考答案一.选择题1-5 BADDB 6-10 BCACC二.填空题11. 12. 13. 14 14. 15. 4 5 325722arctan3三.解答题16.设空调和冰箱的月供应量分

12、别为yx,台，月总利润为z百元则yxzNyxyxyx86,1101053002030* 3 分作出可行域6 分843zxy，纵截距为8z，斜率为 k=43，满足2030105k欲z最大，必8z最大，此时，直线843zxy必过图形*,1101053002030Nyxyxyx的一个交点（4，9） ，yx,分别为 4，9空调和冰箱的月供应量分别为 4、9 台时，月总利润为最大. 12 分17.解：设发行站的位置为，零售点到发行站的距离为, x y222231434566zxyxyyyxyxy这六个点的横纵坐标的平均值为，记23324626 214356762 A（2，）27 画出图形可知，发行站的位

13、置应该在点 A 附近，代入附近的点的坐标进行比较可知，在（3,3）处 z 取得最小值.即.22minzz=6x+8y30 x+20y=3005 5x x+ +1 10 0y y= =1 11 10 0y yx x(4,9)o118.解：（1）当时，,35ABmm23535(20)(5)125BBBBBBBmmmhmmmm甲, h乙=h乙235320(5)(20)35BBBBBBBmmmhmmmm乙（2）当时，35ABmm2211=,20511(20)(5)(1)(1)100()251BBBBBBBmhmmmmmm甲由，1115,20, 20 5BBmm得故当即时，1120Bm20,12BAmm

14、甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。105（3）由（2）知：=0h105由得：，010=1255ABABmmhhmm甲12552ABABmmmm令则，即：。35,ABxymm1 ,14xy、5(14 )(1)2xy同理，由得：0105hh乙5(1)(14 )2xy另一方面，1 ,14xy、141xx5、1+4y 2, 5 ,、1+y , 2 ,2当且仅当，即Am=Bm时，取等号。55(1 4 )(1),(1)(1 4 ),22xyxy14xy所以不能否适当选取Am、Bm的值，使得0hh乙和0hh乙同时成立，但等号不同时成立。19.解：（1）若，则(0)1f20| 111aa aaa （2）当时

15、，xa22( )32,f xxaxa22min( ),02,0( )2( ),0,033f a aaaf xaafaa 当时，xa22( )2,f xxaxa2min2(),02,0( )( ),02,0fa aaaf xf a aaa 综上22min2,0( )2,03aaf xaa（3）时，得，( ,)xa( )1h x 223210 xaxa 222412(1)128aaa 当时，；6622aa 或0,( ,)xa 当时，0,得：6622a223232()()033aaaaxxxa讨论得：当时，解集为;26(,)22a( ,)a 当时，解集为;62(,)22a 223232( ,)33a

16、aaaa当时，解集为.22,22a 232,)3aa20.解:（1）因为椭圆 E: （a,b0）过 M（2，） ，N (,1)两点,22221xyab26所以解得所以椭圆 E 的方程为2222421611abab22118114ab2284ab22184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,OAOB ykxm22184xyykxm222()8xkxm即,222(12)4280kxkmxm则=,即222222164(12)(28)8(84)0k mkmkm22840km12221224122812kmxxkmx

17、 xk 22222222212121212222(28)48()()()121212kmk mmky ykxm kxmk x xkm xxmmkkk要使,需使,即,所以,所OAOB 12120 x xy y2222228801212mmkkk223880mk以又,所以,所以,223808mk22840km22238mm283m 即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半2 63m 2 63m ykxm径为,所求的圆为,此时圆21mrk222228381318mmrmk2 63r 2283xy的切线都满足或,ykxm2 63m 2 63m 而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为

18、2 63x 22184xy或满足,2 62 6(,)332 62 6(,)33OAOB 综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点2283xyA,B,且.OAOB 因为,12221224122812kmxxkmx xk 所以,22222212121222224288(84)()()4()41212(12)kmmkmxxxxx xkkk 2222222121212228(84)|()(1)()(1)(12)kmABxxyykxxkk ,422424232 45132134413441kkkkkkk当时0k 22321|11344ABkk因为所以,221448kk2

19、21101844kk所以,223232111213344kk所以当且仅当时取”=”.46 | 2 33AB22k 当时,.0k 4 6|3AB 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时2 62 6(,)332 62 6(,)33,4 6|3AB 综上, |AB |的取值范围为即: 46 | 2 33AB4| 6,2 33AB 21.解法一（1）由，得， 2 分1mmkaaa6531mk整理后，可得，.，为整数， 423kmmk N2km不存在.，使等式成立。 4 分mk N（2）若，即， （*）1nnaba1111(1)nandbqand（）若则。 0,d 111nnbqb当为非零常

20、数列，为恒等于 1 的常数列，满足要求。 6 分nanb（）若， （*）式等号左边取极限得， （*）式等号右边的极限0d 11lim1(1)nandand只有当时，才能等于 1。此时等号左边是常数，矛盾。1q 0d综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于 1 的常数列，满足要求。 8 分nanb【解法二】设 1,nnnnnaandcbba若且为等比数列则*221211/,nnnnnnnaaqnNa aqaaa对都成立，即2()(2)()dnc dndcq dndc*22.7nNaqd对都成立，分（i）若 d=0，则 *0,1,nnacbnN（ii）若（常数）即，则 d=0，矛盾0,d 则q=1,nbmdndcmdnc综上所述，有， 8 分nnnnnbaaNbca1*,n, 1, 0使对一切（3） *,3, 14Nnbnannn设.NmNkpbaakkpmmm,3a*21、，kppmm321)(41) 1(4. 10 分NspNpppmk,3*,k,33245、取 12 分, 03) 14(2) 14(33234 , 232222ssssmsk由二项展开式可得正整数 M1.M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1, , 2) 1(8) 14(22ssM., 21) 1()2(4421满足要求存在整数mMMms故当且仅当 p=3s,sN 时，命题成立. 14 分