双曲线的渐近线

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1、双曲线的渐近线授课教师 周 平教学设计与实施过程点评剖析教材处理本节课是在学过双曲线的范围、顶点、对称轴、离心率、准线方程等性质之后，探讨双曲线与椭圆相比的一个全新的性质渐近线，进一步理解双曲线的性质及研究性质的方法与原理，并应用双曲线的渐近线，辅助画出双曲线，理解离心率的大小对双曲线张口大小的影响。传统的教材处理是把双曲线的渐近线结合在双曲线性质内，与椭圆性质进行类比的方法来教学，我认为双线的渐近线是双曲线的特性，并且它的发现和方程的求法体现特殊的思维方式，很适合在网络环境下自主合作探究学习。所以把这部分内容作为单独的研究性学习的课程来进行教学。教师不仅是在对教材的重组与深入挖掘。通过教师与

2、教材的相互作用，提供到课堂上与学生交流的课程内容已经不再是教材静态的、单一的内容，而是内容更为丰富，思想更为鲜活，内涵更为深刻，更重要的是改变传统数学课堂中教师不厌其烦的反复讲解的教学方式，而是通过问题情境，让学生进行思考、探究、合作、交流，激发学生的理性思维，说理有据，不但学生之间讨论的热情增高，同时，学生之间的知识也得到了互相补充，互相促进，加强了对知识的理解。教学目标经历从与形不同角度来发现、探究、证明双曲线与其渐近线的内在联系，理解双曲线渐近线的定义，掌握双曲线渐近线的方程及其求法，并能利用渐近线较准确地画出双曲线的草图，体验用曲线方程研究其性的基本方法与曲与直转化的策略，感悟有限与无

3、限，曲与直个性与共性等辨证思想与美学思想。提倡知识与技能、过程与方法（在过程中培养能力、形成意识）、情感态度价值观的有机整合，强调过程与结果的有机结合。教师首先要把学生看成是发展中的人，关注学生全面和谐的发展，每个学生都有其发展的潜力，数学教育的最终目的是育人，利用数学的特点提高学生的数学素养，提高整体素质，而对学生发展的正确认识也真体表现在我们在教学中要教什么、给学生一些什么东西、给学生留下什么东西，如果过分强调知识点，过多的反复强化训练，而缺乏对学生在学习中需要的学习策略、学习方法的具体指导，缺乏对“双基”发展的认识，缺乏对学生潜力的认识，缺乏对哪些是学生发展中需要的基本数学素养的认识，那

4、么，我们的教学就会失去方向。问题情境（1）用列表描点法分别画出双曲线 与椭圆 。显然，椭圆被框在一个矩形框内，而双曲线都在框外，向左右上下近伸，但这种延伸与函数 的图象一样吗？（2）一位同学在抄上面题目时，把 的等号右边的1误写为0，他画出的曲线是什么？对比两种曲线的形状与位置关系，你发现了什么？由此你能得到双曲线的那种特性？（3）再观察反比例函数 ，指数函数y=2x，对数函数 ，正切函数y=tanx的图象，它们与双曲线 有何共同之处。问题情境是以学生自身周围环境中的现象、自然、社会和其他科学或数学中的问题为知识学习的切入点，是教学得以展开的起点，是我们为了实现教学目标而营造的特定背景，是数学

5、学习、数学思维和数学活动产生的具体条件。在教师指导或引导下，让学生经历“数学化”、“再创造”的活动过程，正是为学生的感受、体验和思考提供了有效的途径。让学生置身于适当的学习活动中，学生从自己的经验和认知基础出发，在教师的指导或引导下，通过观察、实验、归纳、类比、抽象概括等活动，用数学的思想与方法去组织、去发现或猜测数学概念或结论，迸一步去证实或否定他们的发现或猜测。教学过程上课开始，学生点击相关栏目，明确学习目标、利用已制作的“几何画板”上的“双曲线图形”，移动鼠标，观察动态图形，发现变化规律，形成感性认识，置身问题情境，网上寻求解答。问题一，双曲线的渐近线是怎样被发现的?(不同小组，不同学生

6、可以有不同的途径与方法)你是如何理解“渐近”两字的含义？生答：（课本中是从图中可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近故称之“渐近”，按目前水平理解：就是一条曲线和一条直线无限靠近，但永不相交。也可以这样理解，当双曲线上动点M沿着双曲线无限远离中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小，而无限趋近于零。我们把两条直线叫做双曲线的渐近线（课本P109）我们阅读课外参考书时，知道渐近线有比较严格的定义：若曲线的上的某点到某直线的距离为d，当点趋向无穷远时d能趋近于0，则这条曲线称为该曲线的渐近线。按我们目前水平理解：就是一条曲线和一条直线无限靠近，但永不相交，这就是渐近线的特点。当双曲线的各支

7、向外延伸时，与渐近线逐渐接近，接近的程度是无限的，要多近有多近；也可以这样理解：当双曲线上的动点M沿着双曲线无限远离双曲线中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小，而无限趋近于0我们在初中学过的反比例函数y=1/x图像，其中x轴即为它的渐近线；还有正切函数y=tanx的图像，也是其中一条渐近线，又如函数y=x+1/x的渐近线中，有一条是直线y=x.问题二，如何用量化的方法来证明一条直线是双曲线的渐近线？为什么课本中渐近线不按定义来证明？在证明过程中，哪些地方体现了数学的“化归思想”？生答：如果按定义来证明，若把曲线看成点的轨迹，就要证明动点到直线的距离d越来越近。这就需要把曲线上任意一点到直线的距

8、离表示出来，即通常所说的目标函数，然后看它是否趋向于零。但是目前我们还无法求解，因此，我们把倾斜的线段MQ的计算，转化成竖直线段MN的计算。 先取双曲线第一象限内的部分进行整理，这部分方程可写为y=（xa）,设M（x,y）是它上面的点，N(x,Y)是直线y=x上与M有相同横坐标的点，即Y=x。这是投射法，体现了数学中降维的转化思想（这在第七章学习点到直线距离公式时就已学过）这是第一点； 为了让|MN|更简单，即把绝对值符号去掉，又进行了一个估计，Y与y的大小问题。 由y=xx=Y，这是第二点。 第三点在计算|MN|=Y-y时，为了便于计算，又一次运用了转化思想，技巧是分子有理化，就是|MN|=

9、Y-y=(x-)= = 对于目标函数|MN|来说，当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，x+也无限增大，|MN|接近于0，而|MQ|是RTMNQ的斜边，|MQ|MN|也随之接近于O，即证明了，双曲线在第一象限部分的射线ON的下放逐渐接近于射线ON。在其他象限内也可证明类似的情况。问题三，从上节课布置的作业，“列表描点，画双曲线”时，如何检验画出的图形是否正确？（特别是表格外的其余点是否画得对），由此你能得出双曲线的渐近线在画图时起了什么重要的作用？生答：利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图，具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，

10、然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线。问题四，双曲线渐近线的斜率，与离心率e存在着怎样的数量关系？由此，你发现了离心率e的双曲线张口大小有何影响？生答：，e越大，也越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口越大。问题五，根据双曲线的标准方程怎样尽快正确地写出渐近线方程生答：根据双曲线的标准方程写出渐近线方程的方法有两种：（1）画出以实轴长，虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意对角线的斜率的确定。（2）如果给出的双曲线方程为（a0,b0）。将双曲线标准方程等号

11、右边的1改为0，即得双曲线的渐近线方程，再由此推出y=kx的形式。其渐近线方程为，但是对于（a0,b0）来说，其渐近线方程则为。从某种意义上说，当双曲线的两个焦点无限靠近时，双曲线退化成它的渐近线。问题六，已知双曲线的渐近线方程，其对应的双曲线方程是唯一的吗？若不是，它们有何共同特点，请用曲线系方程表示。生答：双曲线的渐近线方程是，但是以为渐近线的双曲线方程不一定是，而可以是。所以为渐近线的双曲线，焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，而且有无数多个。类似直线系方程这些双曲线称为共渐近线的双曲线系。问题七，你能发现双曲线的渐近线有哪些特殊的性质？等轴双曲线的渐近线、共轭双曲线（实轴与虚轴对换）的渐

12、近线有何特点？双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离与那个基本几何量有关？（b） 与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线交点有几个？生答：（1）等轴双曲线(即实轴和虚轴等长的双曲线)，其渐近线方程为xy=0，它们互相垂直，且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，离心率为（P114习题5）（2）共轭双曲线双曲线与双曲线（a0,b0）实轴与虚轴对换。它们有相同的渐近线，是互为共轭的，课外参考书称为共轭双曲线。它们的四个焦点共圆，且它们的离心率，满足=1。 （3）课本P114习题6 ，从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴的长b。利用数形结合RtORTOH |H|=|=b （4）与双曲线的渐近线平行的直线与

13、双曲线交点有几个？解：设双曲线（a0,b0）直线代入得，化简得x= 仅有一解，即双曲线与直线仅有一个交点，但并非切线！问题八，请再举出一些与双曲线渐近线有关的命题，并加以证明。因时间关系，作为研究形学习的问题，留给同学们带回去课外思考解决，学有余力的同学可自己去寻找有关渐近线的命题，以下举几个例子（共同学们参考）（1）设双曲线（a0,b0）的两条渐近线所夹的角为，则它的离心率是cos证明：，e=或用数形结合证明之。（2）双曲线上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个常数。 证明：设M（x0-y0）是双曲线的任意一点，则 即b2x02- a2y02=a2b2。双曲线的两渐近线方程为bxay=0 M

14、点到两渐近线的距离的乘积为 =（常数）。（3）过双曲线的一个焦点F作它的渐近线的垂线，则垂足H在此焦点相对应的准线上。 略证明：取一渐近线bx-ay=1，则自焦点F（c,0）作为它的垂线的方程为ax+by-ac=0联立两方程得xH=，原命题得证！亦可用平几知识相似三角形中得H=（4）过双曲线上任意一点M作平行于实轴的直线交渐近线于P、Q，则|MP|.|MQ=a2 y=y0 略证：设M（x0,y0）由 得xp=,xQ= - |MP|.|MQ=|xP-xq|.|xP-x |=通过学生自主学习、独立思考、获取新知，各合作学习小组对问题讲座对网页上的例题分析，点评内容，消化，通过交流，共同提高认识，取

15、长补短，相互促进，教师在各小组走动巡视，及时发现问题，启发、帮助学生解决问题，提醒学生按程序完成任务，把握时间与进度。小组合作学习在于交互、共享、感悟、生生互动，师生互动。在这期间，教师深入到学生中，成为“平等中的首席”和学生共同探究，启发引导，促进合作探究学习。利用几何画板制作双曲线及其渐近线的直观、形象、动态的功能，让学生自己动手拖动鼠标、观察双曲线的点沿着曲线变化的规律，从而发现其渐近线的存在并寻找其方程。教师充分利州网络的环境下的现代信息技术动感、直观的效果，激发学习主动探索与思考的积极性。教师在网络环境下的引导作用应通过导学引思，使学生目标明确、任务清楚、程序有条不紊，过程具体落实。

16、这八个问题，层层递进，环环相扣，逐步把对渐近线的研究探索推向纵深，学生在教师设计的问题情境中，不断地提升认识、深入探究，主动建构对新知识的理解。我们的教学应该在促进学生有意义的数学活动中进行，我们要通过创设反映数学事实的恰当情境，要通过逻辑或实证的方法，通过对话与多种方式的交流，在思想交锋中激活学生的思维，使学生主动地参与到数学教学活动中。无论是让学生经历“数学化”、“再创造”过程，还是帮助学生构建和发展认知结构，都需要在师生的互动过程中进行。在师生的互动（这种互动也包括生生互动）过程中完成。反思传统意义上的数学教学，强调的是知识的传授，技能的训练，教师的主导（实际上是教师的控制）课堂教学方式

17、基本上是灌输式的讲授法，学生的学习基本上是听讲、模仿、记忆、再现教师传授的知识，因此，是一个被动接受知识、强化储存的过程，忽视了学生在学习过程 的主体性，也就缺乏师生之间生生之间的互动。对于抽象程度很高的数学学习来说，这样一种数学教学活动导致的一个直接结果就是扼制了学生学习数学的积极情感，使学生觉 得学习数学枯燥无味，对数学学习畏惧、没有兴趣，或越学越没有兴趣，认为数学就是做题，数学没有什么用处，学数学也就 没有用，这就 不仅在客观上由于教师的控制太多影响了学生的主体参与，而且在学生主观上也缺乏主体参与的意向。建构主义教学论认为：合作学习是必要的，因为学习者需要同其他人联系，以便对客观世界如何

18、建构的方式方法取得共识。同时，在学习过程中集体学习具有重要意义，因为只有通过集体对复杂的学习情境、个人提出的假设或学习者自己关于问题解决的可能性的个人设想进行讨论，才能有助于学习者更好地对自己的思考进行建构。学习者在这种意义上才能更好地调节自己的学习，并把学习持续进行下去。因此应当把学习活动置于一个社会环境中，使学生自主地从情境中和互动中形成知识。在教学中教师应当多多采用谈话交流作为教学中的重要形式，以利于教师和学生及学生之同更好地互动。教学过程中，要发扬教学民主，让学生成为课堂教学的主人，充分发挥其主动性，给予其一定的自主选择参与的权力；同时，要改变过去教学中直接告诉学生结论的简单做法，把课

19、堂教学的重心放在引导学生探索上，使学生参与和体验知识技能由未知到已知或由不掌握到掌握的过程，鼓励学生向教师挑战，质疑闷难，允许学生发表与教师不同的意见和观点。强调师生互动的教学活动是对学习本质认识不断深化的必然结果。因为学生需要在活动中通过互动、通过交流中的思想交锋来激活思维、建构他们的数学知识的。为此，教师要设计一系列具有可操作性的、而且能体现数学内涵的活动，通过丰富的情境信息和数学关系，引导和组织学生经历观察、实验、比较、分析、抽象概括、推理等活动，在活动中、在真实情境中，在互相之间的交流中，使学生去认识、理解、获得数学概念和结果，建构他们的数学知识。在上述这些活动中，教师不仅是设计者、组

20、织者，而且是学生的合作者。当学生遇到困难时，要数学上给予启发指导，要在情感上给予鼓励和充分肯定，帮助学生树立克服困难的自信心。同时教师利用现代信息技术网络环境要给学生创设一个互动的良好环境，要主动了积极思考学生在活动过程中出现的种种问题，包括心理上的、数学上的、认知上的，针对学生的问题给予帮助，更好地、更有效地在师生互动的过程中帮助学生构建和发展认知结构。教师以丰富的情感，人性化的语言，对双曲线的渐近线作描述，这些诗一般的语言，生动、形象，给学生留下深刻的印象。数学教育作为教育的重要组成都分，在发展和完善人的教育活动中，起着别的学科不能替代的作用，在学校教育中，数学教育主要是在课堂中通过数学教

21、学活动来进行的。因此，很重要的是，我们应该认识到数学教学不仅是知识的教学，还应该体现数学的价值、数学的教育价值，应该促进学生全面和谐的发展，而在知识教学中要努力体现数学的思想和本质。我们在数学教学活动中要以发展的观点来认识和进行基本知识和基本技能的教学，有意识地通过数学知识的学习过程使学生感悟 数学的思考方式；要通过数学推理过程培养学生说理、批判、置疑、求真求实的理性恩维和理性精神；通过数学问题的解决培养学生提出问题、分析和解决问题的能力，进而发展学生的应用意识和创新精神，以及在解决挑战性大的问题中培养学生克服因难的顽强意志和锲而不舍的精神；等等。这，我们的学生在未来的人生历程中，即使有很多不

22、是以数学为事业，也不从事数学或数学教育的作，会忘记具体的数学内容，但是，数学留给他们的思考方式、留给他们的精神和态度、意识和观念，他们终身受益，使他们学会认知（学习）、学会合作、学会生存、学会做事，为促进他们终身学习和终身发展奠定良好的基础。课后结束语渐近线，这是圆锥曲线中双曲线所特有的一道靓丽的风景线。 他像一位正直慈爱的师长，呵护指引着双曲线成长的人生轨道，循规蹈矩走向遥远的未来而从不对他强制干涉。 有了渐近线，双曲线的轨道有了可靠的护栏； 有了渐近线，我们不难了解到离心率对双曲线张口大小的影响;有了渐近线，我们可以较准确的画出双曲线的草图;有了渐近线，我们对“曲”“直”之间存在着这种和谐统一之美，有了更深刻的认识和理解。