江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市高三上学期期中抽测数学试题（含选做题）及答案

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1、- 1 -江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市 2015-20162015-2016 学年度第一学年度第一学期高三期中抽测数学试题学期高三期中抽测数学试题 数学数学 参考公式：参考公式：1.1.样本数据样本数据的方差的方差其其nxxx,21,)(1212 niixxns中中;11 niixnx2.2.锥体的体积公式：锥体的体积公式：其中其中S S是锥体的底是锥体的底,31ShV 体 体体 体面积，面积，h h是高是高 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小小题，每小题题 5 5 分，共计分，共计 7070 分请把答案填写分请把答案填写在答题卡

2、相应位置上在答题卡相应位置上1 1已知集合已知集合则则 ,11 xxA ZA2.2.若复数若复数为虚数单位）是为虚数单位）是iimiz)(2)(1( 纯虚数，则实数纯虚数，则实数的值为的值为 m注注 意意 事事 项项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 本卷满分160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后请将答题卡交回2答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效作答必须用 0

3、5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整笔迹清楚4如需作图须用 2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗5请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔1, 2nS8 nY输出 S结束开始SS11 1 nn第 6 题图- 2 -3 3数据数据 1010，6 6，8 8，5 5，6 6 的方差的方差 2s4 4抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1 1，2 2，3 3，4 4的正四面体，记底面上的数字分别为的正四面体，记底面上的数字分别为，则，则为整数的概为整数的概yx,yx率是率是 5 5已知双曲线已知双曲线的一条渐近线

4、方程为的一条渐近线方程为则则)0( 1222 mmyx, 03 yx m6 6执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 7 7底面边长为底面边长为 2 2，侧棱长为，侧棱长为的正四棱锥的体积为的正四棱锥的体积为 . . 38 8在等比数列在等比数列中，若中，若则则 na),1(4, 14531 aaaa 7a9 9已知已知则向量则向量的夹角为的夹角为 ),2, 1(, 2, 1 bababa,10.10.直线直线被圆被圆截得的弦长为截得的弦长为 2 2，则实，则实01 yax0222 aaxyx数数 的值是的值是 a1111将函数将函数则不等式则不等式的

5、解集为的解集为 ,2)(2xxxf )2()(log2fxf 1212将函数将函数的图象向左平移的图象向左平移个单位，若所得图个单位，若所得图xy2sin )0( 象过点象过点，则，则 的最小值为的最小值为 )23,6( 1313在在中，中，角角 的平分线与的平分线与边上的中线交边上的中线交ABC , 3, 2 ACABAAB于点于点 ，若，若则则的值为的值为 O),(RyxACyABxAO yx 1414已知函数已知函数为自然对数的底数）为自然对数的底数） ，exexfx(2)(1 若存在实数若存在实数，使得，使得且且, 3)(2 aaxxxg21, xx, 0)()(21 xgxf- 3

6、-则实数则实数 的取值范围是的取值范围是 , 121 xxa二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分请在答题卡指定分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤骤15.15.（本小题满分（本小题满分 1414 分）分）在锐角在锐角中，角中，角所对的边分别为所对的边分别为且且ABCCBA, 6, 4, cbcba.32sin Ba（1 1）求角求角 的大小；的大小；A（2 2）若若为为的中点，求线段的中点，求线段的长的长. .DBCAD- 4 -16.16. （本小题满分（本小题满

7、分 1414 分）分）如图，在四棱锥如图，在四棱锥中，中，与与交于点交于点ABCDP ACBDACCDAB,/ BD且平面且平面,O平面平面为棱为棱上一点上一点. . PACEABCD,PA（1 1）求证：求证：;OEBD （2 2）若若求证：求证：平面平面 ,2,2EPAECDAB /EO.PBC17.17.（本小题满分（本小题满分 1414 分）分）已知数列已知数列满足满足，且，且na),(2*21RkNnkaaannn . 4, 2531 aaa（1 1）若若求数列求数列的前的前 项和项和, 0 knan;nS（2 2）若若求数列求数列的通项公式的通项公式, 14 ana.naPEABC

8、DO第 16 题图- 5 -18.18. （本小题满分（本小题满分 1616 分）分）如图，墙上有一壁画，最高点如图，墙上有一壁画，最高点 离地面离地面 4 4 米，最低点米，最低点 离地面离地面AB2 2 米，观察者从距离墙米，观察者从距离墙米，离地面高米，离地面高米的米的 处观处观)1( xx)21( aaC赏该壁画，设观赏视角赏该壁画，设观赏视角. ACB（1 1）若）若问：观察者离墙多远时，视角问：观察者离墙多远时，视角 最大？最大？, 5 . 1 a （2 2）若）若当当 变化时，求变化时，求,21tan a的的x取值范围取值范围. . 19.19. （本小题满分（本小题满分 161

9、6 分）分）a24xABC （第 18 题图）- 6 -如图，椭圆如图，椭圆的上、下顶点分别为的上、下顶点分别为，右焦，右焦)0( 1:2222 babyaxCBA,点为点为点点 在椭圆在椭圆 上，且上，且,FPC.AFOP （1 1）若点若点 坐标为坐标为求椭圆求椭圆 的方程；的方程；P),1 ,3(C（2 2）延长延长交椭圆交椭圆 于点于点 ，若直线，若直线的斜率是直线的斜率是直线的的AFCQOPBQ斜率的斜率的 2 2 倍，求椭圆倍，求椭圆 的离心率；的离心率；C（3 3）求证：存在椭圆求证：存在椭圆 ，使直线，使直线平分线段平分线段CAF.OP 20.20.（本小题满分（本小题满分 1

10、616 分）分）已知函数已知函数., 1cos)(2Raaxxxf （1 1）求证：函数求证：函数是偶函数；是偶函数；)(xf（2 2）当当求函数求函数在在上的最大值和最小值；上的最大值和最小值；, 1 a)(xf, OAPFBQxy第 19 题图- 7 -（3 3）若对于任意的实数若对于任意的实数 恒有恒有求实数求实数 的取值范围的取值范围. .x, 0)( xfa徐州市徐州市 2015201520162016 学年度高三第一学期期中质量抽测学年度高三第一学期期中质量抽测 数学数学(附加题附加题) )- 8 -21.【21.【选做题选做题】本题包括本题包括四个小题，请选定其中两个四个小题，请

11、选定其中两个DCBA,小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .A.A.选修选修 4 41 1：几何证明选讲：几何证明选讲 （本小题满分（本小题满分 1010 分）分）如图，如图，是是 的直径，的直径，与与 相切于点相切于点为线段为线段上上ABOCBOEB,CB一点，连结一点，连结分别交分别交 于于两点，连结两点，连结并延长交并延长交, AEACOGD,DG于点于点若若求线段求线段的长的长. .CB,F, 3, 1,3 GA

12、EGEFEBCEB.B.选修选修 4 42 2 ：矩阵与变换：矩阵与变换 （本小题满分（本小题满分 1010 分）分）注注 意意 事事 项项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 本卷满分160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后请将答题卡交回2答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效作答必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整笔迹清楚4如需作图须用 2B 铅笔绘、

13、写清楚线条、符号等须加黑、加粗5请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔AFBGDOEC第 21A 图- 9 -已知矩阵已知矩阵向量向量，若，若求实数求实数,1211,121 BxA y2 , BA 的值的值. .yx,C.C.选修选修 4 44 4 ：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 （本小题满分（本小题满分 1010 分）分）已知直线已知直线 的参数方程为的参数方程为为参数）为参数） ，以坐标原点为，以坐标原点为lttytx(22221 极点，极点， 轴的非半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴的非半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方的极坐标方xC程为程为

14、若直线若直线 与曲线与曲线 交于交于两点，求线段两点，求线段,cos2sin2 lCBA,的长的长. .AB【选做题选做题】第第 2222 题、第题、第 2323 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分分. .请在请在答题卡指定区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程答题卡指定区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤或演算步骤. . 22.22.（本小题满分（本小题满分 1010 分）分）已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有 2 2 名男生、名男生、3 3名女生，乙组有名女生，乙组有 3 3 名男生、名男生、1 1

15、名女生，学校计划从两兴趣小名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选组中随机各选 2 2 名成员参加某项活动名成员参加某项活动 . .（1 1）求选出的求选出的 4 4 名选手中恰好有名选手中恰好有 1 1 名女生的选派方法数；名女生的选派方法数；（2 2）记记X X为选出的为选出的 4 4 名选手的人数，求名选手的人数，求X X的概率分布和数的概率分布和数学期望学期望. .- 10 -23.23. （本小题满分（本小题满分 1010 分）分）已知抛物线已知抛物线过点过点，直线，直线 过点过点与抛物线与抛物线:C)0(22 ppyx)1 , 2(l)1, 0( P交于交于两点，点两点，点 关于关于

16、 轴的对称点为轴的对称点为，连接，连接. .CBA,AyABA（1 1）求抛物线求抛物线 标准方程；标准方程；C（2 2）问直线问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，BA请说明理由请说明理由. .BPAAO（第 23 题图）xy- 11 -徐州市徐州市 2015-20162015-2016 学年度高三年级摸底考试学年度高三年级摸底考试数学数学 I I 参考答案及评分标准参考答案及评分标准一填空题：本大题共一填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分请分请把答案填写在答题卡相应位置把答案填写在答题卡相应

17、位置1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1,0,12165123317 7438 84 4 9 9 1010 1111 1212 1313232(0,1)(4,)6 1414582,3二解答题：本大题共二解答题：本大题共 6 6 小题，小题，15151717 每小题每小题 1414 分，分，18182020 每小题每小题 1616 分，共计分，共计 9090 分分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤过程或计算步骤1515 （1 1）由正弦定理，得）由正弦定理，得，sinsinaBbA22 分分- 12

18、 -因为因为b b4 4，所以，所以，sin2 3aB 3sin2A44 分分又又，所以，所以02A3A66 分分（2 2）若）若b b4 4，c c6 6，由余弦定理得，由余弦定理得a a2 2b b2 2c c2 22 2bcbccoscos A A16163636224224 2828， 12所以所以a a2 788 分分又因为又因为，所以，所以，从而，从而，sin2 3aB 21sin7B 2 7cos7B 1010 分分因为因为 为为的中点，所以的中点，所以DBCBDDC7在在由余弦定理，得由余弦定理，得，ABD2222cosADABBDAB BDB即即，所以，所以，1414 分分2

19、2 7367267197AD 19AD 1616 （1 1）因为因为平面平面底面底面，平面，平面底面底面，PACABCDPACABCDAC，BDAC平面平面，所以所以平面平面，又又因为因为平面平面，BD ABCDBD PACOE PAC所以所以66 分分BDOE（2 2）因为因为，与与交于交于 ，所以所以/ABCD2ABCDACBDO，:1:2CO OACD AB又又因为因为，所以所以，所以所以，又又因为因为2AEEP:CO OAPE EA/EOPC平面平面，平面平面，所以所以平平PC PBCEO PBC/EO面面1414 分分PBC1717 （1 1）当）当时，时，即，即，0k 122nnn

20、aaa211nnnnaaaa所以，数列所以，数列是等差数列是等差数列22 分分 na设数列设数列公差为公差为 ，则，则解得解得44 nad112,264,aad 12,4.3ad 分分所以，所以，6621(1)(1)4282()22333nn nn nSnadnnn 分分（2 2）由题意，）由题意，即，即，所，所4352aaak24k - 13 -以以88 分分2k 又又，所以，所以，由，由，4322122326aaaaa23a 1222nnnaaa得得，211()()2nnnnaaaa 所以，数列所以，数列是以是以为首项，为首项，为公差的等差数为公差的等差数1nnaa211aa2列列所以所以

21、，1010 分分123nnaan 当当时，有时，有，2n12(1)3nnaan 于是，于是，122(2)3nnaan ，232(3)3nnaan ，32223aa ，212 13aa 叠加得，叠加得，12(12(1)3(1),(2)naannn 所以所以，2(1)23(1)241,(2)2nn nannnn 1313 分分又当又当时，时，也适合也适合1n 12a 所以数列所以数列的通项公式的通项公式 na为为1414 分分2*41,nannn N1818 （1 1）当）当时，过时，过 作作的垂线，垂足为的垂线，垂足为 ，1.5a CABD则则，且，且，0.5BD ACDBCD 由已知观察者离墙

22、由已知观察者离墙 米，且米，且，x1x 则则，22 分分0.52.5tan,tanBCDACDxx所以，所以，tantan()ACDBCD，222.50.52222 52.5 0.51.251.25551124xxxxxxx当且仅当当且仅当时，取时，取“ ” 66 分分512x 又因为又因为在在上单调增，所以，当观察者离墙上单调增，所以，当观察者离墙米时，米时，tan(0,)252视角视角 最大最大88 分分（2 2）由题意得，）由题意得，又，又，24tan,tanaaBCDACDxx1tan2BaACD42x（第 18 题图）- 14 -所以所以，221tantan()(2) (4)2xAC

23、DBCDxaa1010 分分所以所以，22684aaxx 当当时，时，所以，所以，12a20683aa2043xx即即，解得，解得或或，2240430 xxxx01x34x1414 分分又因为又因为，所以，所以，1x 34x所以所以 的取值范围为的取值范围为1616 分分x3,41919 （1 1）因为点）因为点，所以，所以，( 3,1)P13OPk又因为又因为AFAF OPOP，113bc 所以，所以，所以，所以，3cb2234ab22 分分又点又点在椭圆上，所以在椭圆上，所以，( 3,1)P22311ab解之得解之得故椭圆方程故椭圆方程221313,34ab为为44 分分221131334

24、xy（2 2）由题意，直线）由题意，直线AFAF的方程为的方程为，与椭圆，与椭圆 方程方程1xycbC22221xyab联立消去联立消去 ，得，得， y2222220acxxa cc解得解得或或，所以，所以 点的坐标为点的坐标为，0 x 2222a cxacQ22222222()(,)a cb caacac77 分分所以直线所以直线的斜率为的斜率为，BQ22222222()2BQb cabbcacka caac由题意得，由题意得，所以，所以，99 分分22cbcba222ab所以椭圆的离心率所以椭圆的离心率1010 分分22212cbeaa（3 3）因为线段）因为线段OPOP垂直垂直AFAF，

25、则直线，则直线OPOP的方程为的方程为，cxyb- 15 -与直线与直线AFAF的方程的方程联立，解得两直线交点的坐标联立，解得两直线交点的坐标( (1xycb) )2222,b c bcaa因为线段因为线段OPOP被直线被直线AFAF平分，所以平分，所以P P点坐标为点坐标为( () )，222222,b cbcaa1212 分分由点由点P P在椭圆上，得在椭圆上，得，4224642441b cb caa b又又, ,设设，得，得222bac22cta224(1)1ttt (*)14(*)14 分分令令，2232( )4(1) 14()1f ttttttt ，所以函数，所以函数单调增，又单调

26、增，又，2( )4(221)0fttt( )f t(0)10f ，所以，所以，在区间在区间上有解，即上有解，即(*)(*)式方程有式方程有(1)30f( )0f t (0,1)解，解，故存在椭圆故存在椭圆 ，使线段，使线段OPOP被直线被直线AFAF垂直平垂直平C分分1616 分分2020 （1 1）函数）函数的定义域为的定义域为 R R，( )f x因为因为，22()cos()()1cos1( )fxxaxxaxf x 所以函数所以函数是偶函数是偶函数 ( )f x33 分分（2 2）当）当时，时，则，则，1a 2( )cos1f xxx( )sin2fxxx 令令，则，则，所以，所以是增函

27、数，是增函数，( )( )sin2g xfxxx ( )cos20g xx ( )fx又又，所以，所以，所以，所以在在00，上是增函数，上是增函数，(0)0f( )0fx ( )f x又函数又函数是偶函数，是偶函数，( )f x故函数故函数在在，上的最大值是上的最大值是2 222，最小值为，最小值为( )f x0 088 分分（3 3），( )sin2fxxax 令令，则，则，( )( )sin2g xfxxax ( )cos2g xxa 当当时，时，所以，所以是增函数，是增函数，12a( )cos20g xxa ( )fx又又，所以，所以，所以，所以在在00，+)+)上是增函数，上是增函数，

28、(0)0f( )0fx ( )f x而而，是偶函数，是偶函数，(0)0f( )f x- 16 -故故恒成立恒成立1212 分分( )0f x 当当时，时，所以，所以是减函数，是减函数，12a( )cos20g xxa ( )fx又又，所以，所以，所以，所以在在(0(0，+)+)上是减函数，上是减函数，(0)0f( )0fx ( )f x而而，是偶函数，所以是偶函数，所以，与，与矛盾，故舍矛盾，故舍(0)0f( )f x( )0f x ( )0f x 去去1414 分分当当时，必存在唯一时，必存在唯一 (0(0，)，使得，使得，1122a0 x0()0g x因为因为在在00，上是增函数，上是增函

29、数，( )cos2g xxa 所以当所以当x x(0(0，x x0 0) )时，时，即，即在在(0(0，x x0 0) )上是减函上是减函( )0g x ( )fx数，数，又又，所以当，所以当x x(0(0，x x0 0) )时，时， ，即，即在在(0(0，x x0 0) )上上(0)0f( )0fx ( )f x是减函数，是减函数，而而，所以当，所以当x x(0(0，x x0 0) )时，时，与，与矛盾，矛盾，(0)0f( )0f x ( )0f x 故舍去故舍去综上，实数综上，实数a a的取值范围是的取值范围是 ，+)+)1 12 21616 分分- 17 -江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四

30、市江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市 2015-20162015-2016 学年度第一学期学年度第一学期高三期中抽测数学试题高三期中抽测数学试题数学数学参考答案及评分标准参考答案及评分标准2121 【选做题选做题】 A A因为因为, ,所以所以, ,又因为又因为2EG EAEB，1,3EGGA4EAEGGA则则2EB，又，又，所以，所以23EF，43FB， 3EBEF44 分分连结连结（BD，则，则ABDAGD，90ABDDAB，90CCAB，所以所以 CAGD，所以，所以180CDGE，所以所以,C E G D四点共圆四点共圆 88 分分- 18 -所以所以2FBFCFEFDFG，所以，所以8

31、3FC， 2CECFEF1010 分分B B， 222yxyA 24yyB44 分分由由得得解得解得 A = B22224yyxyy，142xy ，1010 分分C C由由，可得，可得2 22 2sinsin 2 2coscos ，2sin2cos所以曲线所以曲线C C的直角坐标方程为的直角坐标方程为x x2 2y y2 22 2y y2 2x x， 标准方标准方程为程为( (x x1)1)2 2( (y y1)1)2 22 2直线直线l l的方程为化成普通方程为的方程为化成普通方程为x xy y1 10 0 44 分分圆心到直线圆心到直线l l的距离为的距离为，1 1 1222d 所求弦长所

32、求弦长 222 2()62L 1010 分分D D要证要证)()(abfaabf，只需证，只需证|1|abab，只需证只需证22)() 1(abab， 66 分分而而0) 1)(1(1)() 1(22222222bababaabab，从而原不等式成立从而原不等式成立 1010 分分- 19 -2222 （1 1）选选出出的的4 4 名名选选手手中中恰恰好好有有一一名名女女生生的的选选派派方方法法数数为为种种33 分分1121233321CCCC（2 2）的可能取值为的可能取值为 X0,1,2,355 分分， ，23225431(0)10620CP XC C1121233322542 3 337

33、(1)10620C C CCP XC C ，213322543 33(3)10620C CP XC C (2)1(0)(1)(3)P XP XP XP X 92088 分分的概率分布为：的概率分布为：XX0123P120720920320 179317()01232020202010E X 1010 分分2323 （1 1）将点）将点代入抛物线代入抛物线C C的方程得，的方程得，(2,1)2p 所以，所以，抛物线抛物线C C的标准方程为的标准方程为4424xy分分（2 2）设）设直线直线l l的方程为的方程为，又设，又设，则，则1ykx1122(,), (,)A x yB xy，11(,)Ax y 由由 得得，则，则，21,41,yxykx2440 xkx2121216160,4,4kxxxxk 所以所以， 22212121211244()4A Bxxyyxxkxxxx - 20 -于是直线于是直线的方程为的方程为， A B22212()44xxxyxx88 分分所以，所以，2212212()1444xxxxxyxxx当当时，时，所以直线，所以直线过定点过定点 0 x 1y A B(0,1)1010 分分