上海市虹口区高考二模文科数学试题及答案

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1、虹口区2013年数学学科高考练习题(文科)（时间120分钟，满分150分） 2013.4一、填空题（每小题4分，满分56分）1、函数在上单调递减，则的取值范围是 2、已知复数，则 3、已知，则 4、设展开式中二项式系数之和为，各项系数之和为，则 5、已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且渐近线方程为，则此双曲线方程为 6、如果，则的最小值为 7、数列的通项，前项和为，则 8、设、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积等于 9、从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个，所取出的子集中含数字1的概率是 10、对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是 11、在中，则面积等于 12、将边长为2的正方形

2、沿对角线折起，以，为顶点的三棱锥的体积最大值等于 13、设，称为整数的为“希望数”，则在内所有“希望数”的个数为 14、已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合，如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则实数的取值范围是 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知不等式组，则目标函数的最大值是（ ）1 5 7 816、在正方体中与异面直线，均垂直的棱有（ ）条1 2 3 4 17、已知函数与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，则等于（ ） 18、若，如果有，则值为（ ） 0 1三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，平面，矩形的边长，为的中点（1）求异面直线与所成

3、的角的大小；（2）求四棱锥的侧面积20、（本题满分14分）在中，角，所对的边长分别为，向量，且（1）求角；（2）若，成等差数列，且，求的面积21、（本题满分14分）已知复数，其中，是虚数单位，且，（1）求数列，的通项公式；（2）求和：；22、（本题满分16分）已知抛物线：，直线交此抛物线于不同的两个点、（1）当直线过点时，证明为定值；（2）当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）记，如果直线过点，设线段的中点为，线段的中点为问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由23、（本题满分18分）定义域

4、为的函数，如果对于区间内的任意两个数、都有成立，则称此函数在区间上是“凸函数”（1）判断函数在上是否是“凸函数”，并证明你的结论；（2）如果函数在区间上是“凸函数”，求实数的取值范围；（3）对于区间上的“凸函数”，在上的任取，证明： 虹口区2013年数学学科高考练习题答案（文）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、； 2、2； 3、； 4、； 5、； 6、1； 7、7； 8、1； 9、； 10、； 11、； 12、； 13、9； 14、或；二、选择题（每小题5分，满分20分）15、； 16、； 17、； 18、；三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1）取的中点，连、，的大小等于异

5、面直线与所成的角或其补角的大小2分由，平面，是矩形，得，5分异面直线与所成的角的大小等于6分（2）平面，平面，9分连，由，得，同理，又，由勾股定理逆定理得，.四棱锥的侧面积为12分 20、（14分）解：（1），5分又，7分（2），又，即10分将代入得，得，从而，三角形为等边三角形12分14分21、（14分）解：（1），由得，3分数列是以1为首项公比为3的等比数列，数列是以1为首项公差为2的等差数列，6分（2）由（1）知，10分令， （）将（）式两边乘以3得 （）将（）减（）得，.14分22、（16分）解：（1）过点与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，设，其中（若时不合题意），由得，4分注：

6、本题可设，以下同（2）当直线的斜率存在时，设，其中（若时不合题意）由得，从而6分假设直线过定点，则，从而，得，即，即过定点8分当直线的斜率不存在，设，代入得，从而，即，也过综上所述，当时，直线过定点10分（3）依题意直线的斜率存在且不为零，由（1）得点的纵坐标为，代入得，即12分设，则消得14分由抛物线的定义知存在直线，点，点到它们的距离相等16分23、（18分）解：（1）设，是任意两个实数，则有函数在是“凸函数”4分（2）若对于上的任意两个数，均有成立，即，整理得7分若，可以取任意值若，得，综上所述得10分（3）当时由已知得成立假设当时，不等式成立即成立那么，由，得即时，不等式也成立根据数学归纳法原理不等式得证18分虹口区高三数学文科本卷共4页第10页