33垂径定理（2）

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1、定理：垂直于弦的直径平分弦定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧. O A B C D M CDAB,CDAB, 如图如图 CDCD是直径是直径, , AM=BM,AM=BM, AC =BC,AC =BC, AD =BD.AD =BD. 条件条件 CD为直径为直径 CDAB CD平分弧平分弧ADB CD平分弦平分弦AB CD平分弧平分弧AB 结论结论 垂径定理的逆命题是什么？垂径定理的逆命题是什么？ 想一想想一想 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的 两两 条弧条弧. 条件条件 结论结论1 结论结论2 逆命题逆命题1 1

2、：平分弦的直径垂直于弦。：平分弦的直径垂直于弦。 逆命题逆命题2 2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。 . O A E B D C 已知：已知：O O的的直径直径CDCD交弦交弦ABAB（不是直径）于点（不是直径）于点E E，且，且AE=BE.AE=BE. 求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC. 定理定理1 1：平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦，并且）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧平分弦所对的弧. . 证明：连结证明：连结OAOA，OBOB，则，则OA=OBOA=OB AOBAOB是等腰三角形是等腰三角形 AE=BE,AE=BE, CDAB

3、CDAB （等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一） （垂径定理）（垂径定理） AD=BDAD=BD，AC=BCAC=BC 请同学们独立证明定理请同学们独立证明定理2 2 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧对的弧 逆定理逆定理 定理定理1 1：平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧弦，并且平分弦所对的弧 定理定理2 2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 垂径定理垂径定理 （1 1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧. . （2

4、 2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心圆心. . （3 3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分. . （4 4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. . （5 5）圆内两条非直径的弦不能互相平分）圆内两条非直径的弦不能互相平分. . 辨一辨辨一辨 （6 6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （7 7）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。 （8 8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那

5、么这）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。 A B C D O (1) A B C D O (2) A B C D O (3) （9 9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。）弦的垂直平分线一定是圆的直径。 （1010）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。 （1111）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 A B C O (4) A B C D O (5) A B C D O (6) E 练一练练一练 O O P P M M 1、已知：如图、已知：如图,O的直径的直径PQ分别交弦分别交弦AB

6、,CD 于点于点M,N,AM=BM,ABCD.求证：求证：DN=CN. O O E E M M 2、如图、如图,O的直径的直径EF交弦交弦AB于点于点M,且且 . 若若OE=5,AB=8,求求MF的长的长. AF=BF 例例1 1、13001300多年前多年前, ,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥( (如图如图) )的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对是弦的长弧所对是弦的长) )为为 37.2 37.2 m,m,拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离, ,也叫弓形高也叫弓形高) )为为7.23m,7.23m,求求桥拱的半径桥拱的半径( (精

7、确到精确到0.01m).0.01m). A A B B O O C C D D ABAB表示桥拱，设表示桥拱，设ABAB所在的圆的圆心为所在的圆的圆心为O O，半径为半径为R R，C C为为ABAB的中点，连结的中点，连结OCOC，交，交ABAB于点于点D.D. R R 解：解： OCAB.OCAB. OCOC就是拱高就是拱高. . AD=1/2AB=0.5AD=1/2AB=0.537.02=18.51,37.02=18.51, OD=OCOD=OC- -DC=DC=（R R- -7.237.23）. . 在在RtRtOADOAD中，中，OAOA2 2=OD=OD2 2+AD+AD2 2 RR

8、2 2=18.51=18.512 2+(R+(R- -7.23)7.23)2,2, 解得解得R27.31.R27.31. 答答: :赵州桥的桥拱半径约为赵州桥的桥拱半径约为27.31m.27.31m. CC是是ABAB的中点的中点, , O C D A B 当两条弦在圆心的同侧时当两条弦在圆心的同侧时 O C D A B 解解: 当当两条弦在圆心的两侧时两条弦在圆心的两侧时 作业题作业题:4. 已知圆已知圆O的半径为的半径为5cm,ABCD,AB=6cm,CD=8cm, 则则AB与与CD距离是距离是_cm F E 过过O作作OEAB于于E点点,连接连接OB, 由垂径定理得由垂径定理得:AE=B

9、E=0.5AB=3 延长延长EO交交CD于于F,连接连接OC 3 3 5 OB=5,由勾股定理得由勾股定理得:OE=4 又又ABCD OFCD 由垂径定理得由垂径定理得: CF=DF=0.5CD=4 OC=5,由勾股定理得由勾股定理得:OF=3 则则EF=OE+OF=7 4 4 4 5 3 3 4 5 5 F E EF=OE-OF=1 提示提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况: O A A B B C C D D （1）两条弦在圆心的同侧）两条弦在圆心的同侧 O A A B B C C D D （2）两条弦在圆心的异侧）两条弦在圆心的异侧 垂径定理的推论：垂径定理的

10、推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等. 5 5、求证、求证: :如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行, ,那么这两条弦那么这两条弦所夹的弧相等所夹的弧相等 E E F F E E 课堂小结课堂小结: : 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。为应用垂径定理创造条件。 . C D A B O M N E . A C D B O . A B O 1 1、 如图如图, ,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥, ,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米, ,拱顶高出水面拱顶高出水面2.42.4米米. .现有一艘宽现有一艘宽3 3米、船米、船舱顶部为长方形并高出水面舱顶部为长方形并高出水面2 2米的货船要经过这米的货船要经过这里里, ,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？