高等数学教案(1—7章)

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1、章节题目第一章 函数课时数： （包括习题课 学时）内容提要重点分析难点分析备注章节题目第一节 函数的概念内容提要回顾实数、集合、区间、邻域与绝对值等概念；介绍函数的概念；函数的表示方法；函数的图形；重点分析邻域；函数的概念；难点分析邻域；函数概念的数学语言描述；上（下）确界；习题布置习题册备注教 学 内 容一、实数与数轴 简单介绍：数轴、有理点、无理点、有序性、完备性；二、数集与界1、 数集：以上数为元素的集合；N-自然数集 Z-整数集 Q-有理数集 R-实数集2.区间:.开区间：= 闭区间：= 半开区间：、 无限区间：、 区间长度 .3.邻域:设，称开区间为点的邻域记作：4、界定义：对数集X

2、，若有常数M(m),使得 则说数集X有上（下）界，并称M(m)为数集X的一个上（下）界。公理：有上界的数集X一定有最小上界，称为数集X的上确界，记为下确界：最大的下界三、绝对值1、 ；2、绝对值的性质；四、函数的概念1、常量与变量 常量：在一过程中，保持数值不变的量； 变量：在一过程中，数值有变化的量；2、 客观事物间变量关系举例（函数数学定义的导入）例1：自由落体过程中，位移与时间的关系；例2：金属杆受热时，杆长与温度的关系；例3：某地某日的气温T与时间t的关系图；例4：某公司的季度销售量表；3、 函数1）函数概念定义： 设两个变量和之间有一个对应规律,使变量在可取值的数集内每取一个值时，变

3、量按照这个规律总有确定的数值和它对应，则称是的函数， 记作，因变量自变量数集叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合称为函数的值域。 注：函数的三要素: 定义域、对应法则和值域.2） 关系的表示方法：公式法、图形法、表格法。分段函数：在定义域的不同部分由不同的公式来表达一个函数关系 例1、国家税收例2、符号函数例3、狄利克雷函数3）函数的定义域 例：确定的定义域；a) 函数值的记号b) 函数的图形平移作图、放大压缩作图、叠加作图章节题目第二节 几个常用的概念内容提要函数的特性：奇偶性、周期性、单调性和有界性；隐函数和参数方程；单值函数与多值函数、反函数；重点分析函数的特性；隐函数和参数方程、

4、反函数；难点分析习题布置习题册备注教 学 内 容一、函数的特性1函数的奇偶性:2函数的周期性:设函数的定义域为X，若有常数，使得当时，必有且则说是周期函数，并称T为他的一个周期。（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.3函数的单调性:设是区间I上的任意两点，若恒有 则称函数在区间I上单调增加（单调减少）。4函数的有界性:设函数在区间上有定义，若存在常数A, 有否则称无界。 二、隐函数和参数方程表示的函数1、 隐函数：若变量之间的函数关系是由一个含的方程给定，则说是的隐函数。相应地，把自由变量的算式表示因变量的函数叫做显函数2、参数式的函数：两个变量之间的关系，通过参数方程 给出，这样的函数称

5、为参数式的函数，t叫做参变量三、单值函数与多值函数、反函数1、单值函数：设函数在定义域内每取一个值，函数都仅有一个对应值。否则称为多值函数2、反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.章节题目第三节 初等函数内容提要讲授基本初等函数及其性质讲授复合函数和初等函数的概念介绍双曲与反双曲函数重点分析基本初等函数及其性质复合函数和初等函数的概念难点分析习题布置习题册备注教 学 内 容一、基本初等函数1.幂函数2.指数函数 3.对数函数 4.三角函数5.反三角函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。二、复合函数 初等函数1.复合函数定义: 设函数，, 而又是的函数，且,

6、 则称函数为由函数和复合成的复合函数.把叫做中间变量。注意:不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.三、双曲函数与反双曲函数1.双曲函数 奇函数. 偶函数. 奇函数, 有界函数,2.双曲函数常用公式 章节题目第二章 极限与连续课时数： （包括习题课 学时）内容提要重点分析难点分析备注章节题目第一节 数列的极限内容提要研究数列及其变化规律；讲授极限思想,精确定义及几何意义；子数列及数列收敛的充要条件；重点分析极限思想,精确定义,几何意义;.难点分析极限思想,精确定义习题布置习题

7、册备注教 学 内 容一、极限概念的引入例1、抛物线，直线及轴围成的曲边三角形的面积的计算二、数列的定义定义 :定义在正整数集上的函数称为数列，记为 (1)其中的每个数称为数列的项，称为通项(一般项)。数列(1)记为。三、数列的极限当无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值的描述（导出极限的定义）定义 设a为常数，若对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正数，使得对于时的一切，恒有称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为 或如果数列没有极限，就说数列是发散的.几何解释:四、用定义证明极限 例2：试证五、数列收敛的充要条件定理：数列收敛于a的充要条件是他的所有子列均收敛于a .例5：试证数

8、列不收敛。章节题目第二节 函数的极限内容提要自变量趋向无穷大时函数的极限；自变量趋向有限值时函数的极限；重点分析自变量趋向无穷大时函数的极限的定义与几何解释；自变量趋向有限值时函数的极限的定义与几何解释；难点分析函数极限的定义描述；极限的局部保号性；习题布置习题册备注教 学 内 容一、时函数的极限1、定义定义：设在上有定义，A为常数。若,使得恒有 则称 时函数有极限为A。记为 说明几何意义：2.另外两种情形: 情形 注： 例1 二、时函数的极限1、 导入例3求自由落体在时的瞬时速度2、 定义定义: 设在的某一去心邻域上有定义，A为常数。则说时函数有极限 , 极限为 A记作 几何解释：例4例53

9、.单侧极限:左极限 右极限 定理：例6：试证函数 当时，无极限章节题目第三节 极限的性质、无穷大与无穷小内容提要极限的性质：唯一性、保序性和局部有界性；无穷小与无穷大的概念；无穷大与无穷小的关系；重点分析无穷小的运算性质难点分析无穷小的概念习题布置习题册备注教 学 内 容一、极限的性质1.唯一性定理 若存在,则极限唯一.2.不等式性质定理 (保序性)：。（1）（2）推论 (保号性)：设（1）若使得当时 （2）若有使得当时，则3、局部有界性定理：如果，则存在使函数在的去心邻域 内有界。推论：收敛的数列必定有界.二、无穷小与无穷大1、定义：若对， (或), 使得当(或),恒有 ,则说函数是(或)时

10、的无穷小2.无穷小的运算性质:定理2.6 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小。定理2.7 有界函数与无穷小的乘积是无穷小量。推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小.定理2.8 一个有极限、但极限不为零的函数去除无穷小所得的商为无穷小。定理2.9 其中是当时的无穷小3、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.定义：若对于(不论它多么大), 都(或), 使得当(或),恒有, ,则称函数为(或)时的无穷大,记作 特殊情形：正无穷大，负无穷大注意:1.无穷大是变量，不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.三、无穷小与无穷大

11、的关系定理2.10： (1) 若，则； (2) 若，且，则章节题目第四节 极限运算法则内容提要极限的四则运算法则及其推论;极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限;复合函数的极限重点分析极限的四则运算法、求法复合函数极限难点分析消去零因子法求极限无穷小因子分出法求极限利用无穷小运算性质求极限复合函数极限习题布置习题册备注教 学 内 容一、极限运算法则定理：推论1（常数因子可以提到极限记号外面.）推论2推论3 对多项式及有理函数当时，有，。（）二、求极限举例例： 多项式与分式函数代入法求极限 （） 消去零因子

12、法求极限 无穷小因子分出法求极限 利用无穷小运算性质求极限三、复合函数的极限定理：设是由和 复合成的函数，如果，且在的某去心邻域内，又，则推论1：设是由和 复合成的函数，如果，又 ，则推论2：若，则例： （根式转移法） 1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.思考题在某个过程中，若有极限，无极限，那么+是否有极限？为什么？思考题解答没有极限假设+有极限，有极限, 由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误章节题目第五节 极限存在准则

13、，两个重要极限内容提要两个准则：夹逼准则; 单调有界准则 .两个重要极限： 、 重点分析两个准则：夹逼准则、 单调有界准则 两个重要极限： 难点分析两个准则的使用方法利用两个重要极限求极限习题布置习题册备注教 学 内 容一. 夹逼准则1、夹逼准则准则 如果数列及满足下列条件:则.上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则 如果当(或)时,有那末=.准则 I和准则 I称为夹逼准则.2、利用夹逼准则求重要极限1 3、利用重要极限1和夹逼准则求极限例1 例2. ,例3. 例4 例5. 例6. 设, 求例7. 设, 试证:对任何正整数k 有二、.单调有界准则1. 准则 单调有界数列必有极限.几何解

14、释:利用单调有界准则证明 收敛，得到重要极限22. 利用重要极限和极限准则求极限 例8. 例9 例10 例11. 例12 试证有极限, 并求出该极限例13. 设,且试证数列收敛, 并求其极限.章节题目第六节 无穷小的比较内容提要无穷小的比较等价无穷小的替换 重点分析等价无穷小的替换难点分析利用等价无穷小替换求极限时注意自变量条件习题布置习题册备注教 学 内 容一、无穷小的比较定义: 常用等价无穷小:定理2.16 的充要条件是（或）定义： 设为两个无穷小，若，则称是的主部。二、等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理)例1 注意: 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换.例2

15、错解: =0章节题目第七节 函数的连续性与间断点内容提要区间上的连续函数；间断点的分类与判别；函数连续性的判定定理；连续在极限运算中的应用；闭区间上连续函数的性质；重点分析间断点的分类与判别；闭区间上连续函数的性质；难点分析分段函数连续的判别；函数间断点的判别；闭区间上连续函数的性质的应用；习题布置习题册备注教 学 内 容一、函数的连续性1.函数的增量2.连续的概念定义:设函数在内有定义, 且,那末就称函数在点连续,并称为的连续点.否则称为的间断点.3.单侧连续4.连续函数与连续区间例1 已知函数 讨论 1）为何值时，存在；2）为何值时在连续。5、函数的间断点跳跃间断点可去间断点.第一类间断点

16、:跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 第二类间断点二、函数连续性的判定定理定理2.18 如果和都在点连续，则都在连续。定理2.19：如果在处连续，又在点处连续，则复合函数在处连续。定理2.20 严格单调的连续函数的反函数是严格单调的连续函数。定理2.21 初等函数在其有定义的“区间内”处处连续。三、连续在极限运算中的应用定理2.22 设在点处连续，又则。例8试证 例9 试证例10 试证四、闭区间上连续函数的性质1、有界性定理2.23 （有界性）闭区间上的连续函数必有界2、最值性定义2.11 如果在区间I上存在点，使得当时，恒有则称为在区间I上的最小（大）值。定理2.24 （最大最小值存

17、在定理）闭区间上的连续函数必有最小值和最大值。3、介值性定理2.25 （零点存在定理）设函数闭区间a,b上的连续，且，则至少存在一点使得。定理2.26 （介值定理）闭区间上的连续函数一定能取得介于最小值和最大值之间的任何值。章节题目第三章 导数与微分课时数： （包括习题课 学时）内容提要重点分析难点分析备注章节题目第一节 导数的概念内容提要导数的实质: 增量比的极限;导数的几何意义: 切线的斜率;函数可导一定连续，但连续不一定可导;求导数最基本的方法: 由定义求导数.判断可导性重点分析导数的概念、几何意义函数可导与连续的关系利用导数的定义判断函数的可导性难点分析利用导数的定义判断分段函数的可导

18、性习题布置备注教 学 内 容一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题取极限得2.切线问题割线的极限位置切线位置如图：如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即：二、导数的定义定义，即其它形式关于导数的说明： 注意: 2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.单侧导数1.左导数: 2.右导数: 函数在点处可导左导数和右导数都存在且相等.如果在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导. 则在点可导，三、由定义求导数步骤:四、导数的几何意义与物理意义1.几何意义切线方程为：法线方程为：2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运

19、动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.交流电路:电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.五、可导与连续的关系定理 凡可导函数都是连续函数.证： 详证注意: 该定理的逆定理不成立.连续函数不存在导数举例六、小结1. 导数的实质: 增量比的极限;2. 3. 导数的几何意义: 切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.6. 判断可导性不连续,一定不可导. 连续，直接用定义;或看左右导数是否存在且相等.思考题函数在某点处的导数与导函数有什么区别与联系思考题解答由导数的定义知，是一个具体的数值

20、，是由于在某区间上每一点都可导而定义在上的一个新函数，即 ，有唯一值与之对应，所以两者的区别是：一个是数值，另一个是函数两者的联系是：在某点处的导数即是导函数在处的函数值章节题目第二节 导数的基本公式与四则运算求导法则内容提要函数的和、差、积、商的求导法则重点分析函数的积、商的求导法则分段函数求导难点分析分段函数在分段点处可导的判定、及其导数的求法习题布置备注教 学 内 容一、导数的基本公式 掌握16个基本公式二、四则运算求导法则证(1)、(2)略，（3)详证 推论： 三、例题四、小结注意: 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.思考题求曲线上与轴平行的切线方程.章节题目第三节 其他求导法

21、则内容提要反函数的求导法则复合函数的求导法则隐函数求导法则: 直接对方程两边求导对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率重点分析复合函数的求导法则隐函数求导法则参数方程求导难点分析利用复合函数的求导法则时注意函数的复合过程、合理分解、正确使用链导法抽象函数求导利用对数求导法求导由参数方程确定的函数的高阶导数求法习题布置备注教 学 内 容一、反函数的导数定理即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证明：详证二、复合函数的求导法则定理即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间

22、变量对自变量求导.(链式法则)证明：详证推广：三、隐函数的导数定义: 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.对数求导法观察函数方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.-对数求导法适用范围: 一般地四、由参数方程所确定的函数的导数若参数方程确定与间的函数关系称此为由参数方程所确定的函数。例如消去参数问题: 消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得，五、小结反函数的求导法则（注意成立条件）;复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与

23、基本初等函数的和、差、积、商.隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;思考题1若在不可导，在可导，且，则在处（ 3 ）（1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导；思考题2设，由 可知，对吗？思考题2解答：不对章节题目第四节 高阶导数内容提要高阶导数的定义及物理意义；高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式)；n阶导数的求法：直接法、间接法；重点分析高阶导数的求法难点分析利用莱布尼兹公式求高阶导数利用定义求高阶导数习题布置备注教 学 内 容一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.定义：记作二阶导

24、数的导数称为三阶导数, 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二、 高阶导数求法举例1.直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)2. 高阶导数的运算法则: 莱布尼兹公式3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.常用高阶导数公式 三、小结高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);n阶导数的求法;1.直接法; 2.间接法.思考题设连续，且 ，求思考题解答可导不一定存在，故用定义求， （）章节题目第五

25、节 函数的微分内容提要微分的定义、可微的条件、几何意义；微分的求法；微分形式的不变性；导数与微分的联系与区别；计算函数增量的近似值；计算函数的近似值；误差估计；重点分析微分的几何意义；微分的形式不变性；可导与可微的关系；计算函数的近似值；难点分析利用微分形式的不变性求微分；计算函数的近似值；习题布置备注教 学 内 容一、问题的提出问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?二、微分的定义1.定义2.(微分的实质)由定义知:三、可微的条件定理证：详证 四、微分的几何意义五、微分运算求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式16个基

26、本公式2. 函数和、差、积、商的微分法则4个公式六、微分形式的不变性结论：（微分形式的不变性）七、计算函数增量的近似值八、计算函数的近似值常用近似公式 九、误差估计十、小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题导数的概念函数的增量问题微分的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学. 导数与微分的联系: =0近似计算的基本公式 思考题因为一元函数在的可微性与可导性是等价的，所以有人说“微分就是导数，导数就是微分”，这说法对吗？思考题解答 说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比

27、的极限，它们是完全不同的概念.章节题目第四章 中值定理课时数： （包括习题课 学时）内容提要重点分析难点分析备注章节题目第一节 微分中值定理内容提要罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理重点分析三个中值定理之间的关系、及其几何解释三个中值定理的应用难点分析应用中值定理证明时辅助函数的构造习题布置0备注教 学 内 容一、罗尔(Rolle)定理罗尔（Rolle）定理 如果函数在闭区间 上连续,在开区间内可导,且在区间端点的函数值相等，即,那末在内至少有一点,使得函数在该点的导数等于零， 即 例如, 几何解释:物理解释: 变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.证： 注意:若罗尔定理的三个条件中有

28、一个不满足,其结论可能不成立.例如, 又例如, 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数f(x)在闭区间上连续,在开区间内可导,那末在内至少有一点，使等式 成立.几何解释:证：分析: 弦AB方程为作辅助函数注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.（）拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉格朗日中值定理又称有限增量定理. （微分中值定理）推论：三、柯西(Cauchy)中值定理柯西（Cauchy）中值定理 如果函数及在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零，那末在内至少有一点,使等式成立.几何

29、解释:证：作辅助函数 四、小结罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.章节题目第二节 洛必达法则内容提要洛必达法则重点分析利用洛必达法则求未定式的极限洛必达法则的适用条件难点分析洛必达法则与其它求极限方法结合使用求极限习题布置备注教 学 内 容例如, ，定理定义 ：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法

30、称为洛必达法则.证：定义辅助函数则有三、小结洛必达法则思考题设是不定型极限，如果的极限不存在，是否的极限也一定不存在？举例说明.思考题解答不一定例 显然 极限不存在但 =1极限存在章节题目第三节 泰勒（Taylor）公式内容提要泰勒(Taylor)公式麦克劳林(Maclaurin)公式泰勒中值定理与拉格朗日中值定理的联系函数的展开利用泰勒公式求极限重点分析泰勒(Taylor)公式、麦克劳林(Maclaurin)公式的应用难点分析求函数的n阶泰勒公式、麦克劳林公式习题布置备注教 学 内 容一、问题的提出1.设在处连续,则有 2.设在处可导,则有例如, 当很小时, , （如下图）不足: 1、精确度

31、不高；2、误差不能估计。问题: 寻找函数,使得误差 可估计设函数在含有的开区间内具有直到阶导数,为多项式函数误差 二、和的确定分析:1.若在点相交2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好假设 得 代入中得三、泰勒(Taylor)中值定理泰勒(Taylor)中值定理 如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数,则当在内时, 可以表示为的一个次多项式与一个余项之和:其中(在与之间).证明: 由假设,在内具有直到阶导数,且两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得 两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得如此下去,经过次后,得(,也在与之间)则由上式得 称为

32、按的幂展开的n次近似多项式称为按的幂展开的n阶泰勒公式拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项注意:1、当时,泰勒公式变成拉氏中值公式 2.取, 在与之间,令 则余项 麦克劳林(Maclaurin)公式四、小结1.Taylor公式在近似计算中的应用;2.Taylor公式的数学思想-局部逼近.思考题 利用泰勒公式求极限思考题解答，章节题目第五章 不定积分课时数： （包括习题课 学时）内容提要重点分析难点分析备注章节题目第一节 原函数与不定积分内容提要原函数与不定积分的概念基本积分表(1)求微分与求积分的互逆关系不定积分的性质重点分析不定积分的概念利用基本积分表求不定积分难点分析利用基本积分表求不定积分

33、习题布置备注教 学 内 容一、原函数与不定积分的概念定义：如果在区间内，可导函数的导函数为，即，都有或，那么函数就称为或在区间内原函数. 例：，是的原函数.，是在区间内的原函数.原函数存在定理：如果函数在区间内连续，那么在区间内存在可导函数，使，都有.简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1) 原函数是否唯一？(2) 若不唯一它们之间有什么联系？例，（C为任意常数）关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数C，都是的原函数.（2）若和都是的原函数，则（C为任意常数）证：（C为任意常数）不定积分的定义：在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分，记为.任意常数积分号被积函数被积

34、表达式积分变量二、 基本积分表实例 基本积分表是常数);说明： 简写为 三、 不定积分的性质 证： 等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况） （是常数，四、 小结原函数的概念：不定积分的概念：基本积分表(1)求微分与求积分的互逆关系不定积分的性质思考题符号函数在内是否存在原函数？为什么？思考题解答 不存在.假设有原函数， 但在处不可微，故假设错误所以在内不存在原函数.结论：每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.章节题目第二节 换元积分法内容提要第一类换元法： 第二类换元法：重点分析利用第一类换元法求不定积分时如何凑微分利用三角代换、倒代换、根式代换求不定积分难点分析凑微分法求不定

35、积分习题布置备注教 学 内 容一、第一类换元法问题：解决方法：利用复合函数，设置中间变量.过程：令在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理定理1：设具有原函数，可导，则有换元公式 第一类换元公式（凑微分法）说明：使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.二、第二类换元法问题：解决方法：改变中间变量的设置方法.过程：令 （应用“凑微分”即可求出结果）定理2设是单调的、可导的函数，并且，又设具有原函数，则有换元公式其中是的反函数.证：设为的原函数,令则 说明为的原函数, 第二类积分换元公式基本积分表三、小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(

36、2)思考题求积分思考题解答 章节题目第三节 分部积分法内容提要两个函数乘积的求导法则：分部积分法重点分析合理选择，正确使用分部积分公式难点分析利用分部积分公式求不定积分时如何选择接连几次应用分部积分公式时，应选择为同类型函数习题布置备注教 学 内 容一、基本内容问题：解决思路：利用两个函数乘积的求导法则.设函数和具有连续导数, 则 （分部积分公式）二、小结合理选择，正确使用分部积分公式思考题在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？思考题解答注意前后几次所选的应为同类型函数.例如：，第一次时若选 第二次时仍应选章节题目第四节 几类函数的积分内容提要有理函数的积分三角函数有理式的积分简单无理函数

37、的积分重点分析有理函数的积分难点分析如何将有理函数化为部分分式之和习题布置备注教 学 内 容一、有理函数的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.其中、都是非负整数；及都是实数，并且，.假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例 难点：将有理函数化为部分分式之和.有理函数化为部分分式之和的一般规律：分母中若有因式 ，则分解后为其中都是常数.特殊地：分解后为（2）分母中若有因式，其中则分解后为其中都是常数.特殊地：分解后为 真分式化为部分分式之和的待定系数法说明：将有理函数化为部分分式之和后，只出现

38、三类情况：多项式； 讨论积分 令记 则 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.结论：有理函数的原函数都是初等函数二、三角函数有理式的积分三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为 令，（万能置换公式） 三、简单无理函数的积分讨论类型：解决方法：作代换去掉根号.四、小结有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）简单无理式的积分.思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式.章节题目第六章 定积分课时数： （包括习题课 学时）内容提要重点分析难点

39、分析备注章节题目第一节、定积分的概念与性质内容提要定积分的定义定积分的性质定积分的存在定理定积分的几何意义重点分析定积分的实质：特殊和式的极限利用定义求定积分估值性质积分中值定理的几何意义及应用难点分析利用定义求定积分利用估值性质估计积分的值习题布置备注教 学 内 容一、问题的提出实例1 （求曲边梯形的面积）曲边梯形由连续曲线、轴与两条直线、所围成.abxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为实例2 （求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上的一个连续函数，且，求物体在这段时间内所经过的路程.思

40、路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值（1）分割，（2）求和（3）取极限路程的精确值二、定积分的定义定义 设函数在上有界，在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为，在各小区间上任取一点（），作乘积 并作和，记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和总趋于确定的极限，我们称这个极限为函数在区间上的定积分，记为注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关. （2）定义中区间的分法和的取法是任意的.（3）当函数在区间上的定积分存

41、在时，称在区间上可积.三、存在定理定理1 当函数在区间上连续时，称在区间上可积.定理2 设函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积.四、定积分的简单性质性质1.证明：（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质2 (为常数).证明：性质3 假设，.补充：不论的相对位置如何, 上式总成立.例 若则（定积分对于积分区间具有可加性）性质4.性质5如果在区间上，则. 证： 性质5的推论：（1）如果在区间上，则 . 证明： 于是 .性质5的推论：（2）.证明：即.说明：|在区间上的可积性是显然的.性质6设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 .证明：（此性质可用于估计积分值的大致范围）

42、性质7（定积分中值定理）如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点 ，使. (积分中值公式)证明：由闭区间上连续函数的介值定理知：在区间上至少存在一个点，使得即.积分中值公式的几何解释：在区间上至少存在一个点，使得以区间为底边，以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积。五、定积分的几何意义 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值几何意义：五、小结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：3定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）4典型问题（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小分割化整为零求和积零为整取极限精确值定积分求近似以直（不变）代曲（变）

43、取极限思考题将和式极限：表示成定积分.思考题解答原式章节题目第二节、微积分学基本定理内容提要积分上限函数及其导数积分上限函数的性质牛顿莱布尼茨公式重点分析利用微积分基本公式求定积分难点分析和积分上限函数有关的计算习题布置备注教 学 内 容一、问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上的一个连续函数，且，求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为，另一方面这段路程可表示为 二、积分上限函数及其导数设函数在区间上连续，并且设为上的一点，考察定积分 如果上限在区间上任意变动，则对于每一个取定的值，定积分有一个对应值，所以它在上定义了一个函数，记

44、积分上限函数积分上限函数的性质定理 如果在上连续，则积分上限的函数在上具有导数，且它的导数是 证明： 由积分中值定理得 补充如果连续，、可导，则的导数为 证 定理2（原函数存在定理）如果在上连续，则积分上限的函数就是在上的一个原函数.定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.三、牛顿莱布尼茨公式定理 3（微积分基本公式）如果是连续函数在区间上的一个原函数，则。证 已知是的一个原函数，又 也是的一个原函数, 令 令 牛顿莱布尼茨公式微积分基本公式表明：一个连续函数在区间上的定积分等于它的任意一个原函数在区间上的增量.求定积分问题转化

45、为求原函数的问题.注意：当时，仍成立.四、小结1.积分上限函数2.积分上限函数的导数3.微积分基本公式牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系思考题设在上连续，则与是的函数还是与的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？思考题解答与都是的函数，章节题目第三节、定积分的计算内容提要定积分的换元法：几个特殊积分、定积分等式定积分的分部积分公式重点分析利用换元公式计算定积分定积分的分部积分公式与不定积分的区别利用分部积分公式求定积分几个特殊定积分的递推公式难点分析利用换元公式计算定积分时积分上下限的确定利用分部积分公式求定积分习题布置备注教 学 内 容一、换元公式定理：假设（1）在上连续；（2

46、）函数在上是单值的且有连续导数；（3）当在区间上变化时，的值在上变化，且、，则 有.证明:设是的一个原函数， 是的一个原函数. 、注意：当时，换元公式仍成立.应用换元公式时应注意:1.用把变量换成新变量时，积分限也相应的改变.2.求出的一个原函数后，不必象计算不定积分那样再要把变换成原变量的函数，而只要把新变量的上、下限分别代入然后相减就行了.二、分部积分公式设函数、在区间上具有连续导数，则有.（定积分的分部积分公式）推导： 三、小结1. 定积分的换元法2. 定积分的分部积分公式（注意与不定积分分部积分法的区别）3. 几个特殊积分、定积分的几个等式思考题1. 指出求的解法中的错误，并写出正确的

47、解法.解：令 2. 设在上连续，且，求.思考题解答1.计算中第二步是错误的. 正确解法是 2. 章节题目第四节 反常积分内容提要无穷限的广义积分无界函数的广义积分（瑕积分）重点分析无穷限广义积分的计算无界函数广义积分的计算难点分析无界函数广义积分的计算中内部瑕点的判断习题布置备注教 学 内 容一、无穷限的广义积分定义1 设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分，记作. 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.类似地，设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分，记作. 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限

48、不存在时，称广义积分发散.设函数在区间上连续,如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数在无穷区间上的广义积分，记作. 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.二、无界函数的广义积分定义2 设函数在区间上连续，而在点的右邻域内无界取，如果极限存在，则称此极限为函数在区间上的广义积分，记作. 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.类似地，设函数在区间上连续，而在点的左邻域内无界.取，如果极限存在，则称此极限为函数在区间上的广义积分，记作.当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.设函数在区间上除点外连续，而在点的邻域内无界.如果两个广义积分和都收敛，则定义否则，就称广义积分发散.定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.三、小结无穷限的广义积分，无界函数的广义积分（瑕积分）（注意：不能忽略内部的瑕点）思考题积分的瑕点是哪几点？思考题解答积分可能的瑕点是不是瑕点,的瑕点是- 74 -