常用的一些矢量运算公式

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1、常用的一些矢量运算公式常用的一些矢量运算公式1 .二重标量积如a, b和c是二个矢量，组合(axb).c叫做他们的二重标量积o二重标量积等于这二个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直附”标系中，设坐 标轴向的三T单位毛量标记为.；:心，令三个矢量 的分量记为 a(a1，a2，a3 (WbE )及。， )贝有ala2a3 bib2b3* c1i c2 j c3k =GC2c3ala2a3 bib2b3因此)三重标量积必有如下关系式： :):=:)二(:)即有循环法则成立，这就是说 不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。2 .三重矢量积如a, b和c是三个矢量，组合(axbkc叫做他们

2、的 三重标量积)因有a (b c)=一a (c b) =(c b) a故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。 重要的性质(证略)三重标量积有一个 a (b c)=(a.b)can(1-209)将矢量作重新排列又有：.黑)=嬴Q)+3却(1-210)I3 .算子(a ).是哈密顿算子，它是一个矢量算子。(av)则再 一个标量算子，将它作用于标量:即康泗是,在a 与向的变化速率的a倍。如以无穷小的位置矢量，代替以上矢量a,理.(，是,在位移方向的变化率的dr倍，即川。d = (dr? ) = dr 3苕将(右作用于矢量则(去)v就是%位移方.向 屋变化率的dr倍，既为

3、速度矢量的全微分dv=(dr7)v 应用三重矢量积公式 (1-209 )、 a b = a b0 厂 ,a0 b = (b 1 )a -(a 1 )b -b(1 *a) a。*b)应用三重矢量积公式(1-210)又有4 44 44444 4444*4、a *b = 、ao *b 广 ia 此0 = a (- b) (a )b b (. a) (、*b)a将以上两式结合(相减)后可得*1；,(a、)b =3 4 a *b ia b -b ( a) - a ( b)-b( *a) a( *b).一个重要的特例，令a=b=V,因(H0则有 441 . O 4,4(V )v = 3、v -v (、v)

4、4.算子的应用 ，令是标量，a是矢量，a;b为并矢量，则有 (a )，( 0a) ( a = ( .a) a ( )( a) - ( a0)+ ( 0a) -a 。 a) t . 24 ( a)=Y( *a) - a * T， 一，寸 444(a;b) = i(%;b0)(a0;b)=bG *a) (a)b在直角坐标中，令a 但 jaykazdd -* c* c* = i j k .x y zz.一二 1ax - ay ：az , a = x - zx2y；z出Iijk11Li L|c c cOx3也axayaz；：2 -；：2 -2. 2.2xcy二 za =arrc. c对一组正交曲线坐标

5、每3”3),其单位矢量 (2内，将任意位置矢量R变分写为Tc R = h1d ；但 h2d 2e2 h3d 3e3其中；h3由尺鼻目子(拉美系数)。因在直角坐 标中，/xi+dxj+dxk邛以 32小工在柱坐标,) 中 因/=筛招叱3 所以h1=h3 = 1，h2 = r。在球坐标R = drerrd照、r sine_.(/*中，因、TThi =1,h2 = r,h3 = rsin uo争”意哼押线坐标系中，令.是标量，矢量 a =a1e也弓+a3Q 贝()有一.二曳二,包二,备丁hl ： 1卜2 ： 2h13 ： 3*a =1：“2卜34) 2(h3ho)：12八34)hih2h3，1、a.

6、1hihhh儿时2班363L,L、L、CGG单位矢量的旋度和散度为W ： = e2 的e 1;3hiah2a2h3a3 h3h1- 1- 3h2h3- 2 仇(1,2,3轮换)h1h3 丁3 h1h2 21：:(h2h3)V .e =(1,2,3轮换)hhh二 121?h2h3 ; j h3h1;h1h2 ：；： Ih/iru.u 兀豆).u n(n1,n2,n3)方向梯度方作用于矢量a为n-ma1 丘(n1 音一 n2#三hh，a3 ,- h2力2、a3 ,- h2(n2-n3) (n2-n1 h2h3二 30 2h3h11 1;、a1 /：力3汁1a2 /：:hbem、%(n3n1)(n3

7、n2笛卡尔张量1 .求和约定.克罗尼克尔符号.轮转符号以苗=123)表示笛卡尔直角坐标系的坐标，-23) 表示三个坐标轴方向单位矢量。令如1,定义出 对 例 出求和约定的写法为时=晟dx100 IB11W I十瓦dxI = 010 =口=（耳） 一001.B31632S33。当i, j,k中有两个相同时% =11，当i, j,k为1,2,3顺序轮转排列时1,当i, j,k为非1,2,3轮转顺序排列时例如423=%31=%2=1户132 = /21 =13=-1。采用轮转符号 徐可+碗dX3=d式中重复下标称为哑指标，表示求和约定。哑指标字 母可以任意更换，区dxj和反dxi具有相同的效果。使用

8、求和约定时规定在每一单项中同一指标使用不能超过两次。0,i=j克罗克尼尔(Kroneker)符号定义为 厂1LjXic单位矩阵也可以表示为轮转符号定义为在笛卡尔直角坐标系中，有1112、五、,ij=3,ijXi=Xj使运算的书写简化，如i1i2i3二彳jk ajbkijaa2a3bib2 b3或(a b)i = ijkajbkii3L,L、L,dec:X ； x 2 :x/ k X； yivivv 32 .笛卡尔张量定义在直角坐标系中张量称为笛卡尔张量， 而张量本 身与所取的坐标无关。如一个标量在任何坐标系 中都为同一个量，标量亦称为零阶张量。如一个 适量在任何坐标系中以为同一个量。 但他在三

9、维 空间中由三个分量组成，在不同的坐标系中这三 个分量则不同，但他们都有一定的变换关系，矢 量亦称为一阶张量。若有一仁里n （如应力）在 任一点处有三个矢量分量MH即这个量具有九 个分量。1这个量在任何坐标系中都为一个量， 而它们的9个分量在不同的坐标系中有不同的分量，但它们存在一定的变换关系，则 口这个量 称为二阶张量，常简称为张量。在三维空间中被 称为零阶张量，一阶张量，二阶张量等等，是因012. 一为它们分别有3,3,3个分量，而称之为零阶，一阶, 二阶张量，并可由此类推到 n阶张量。笛卡尔二阶张量口所确定的三个矢量的分解式I 4T WT甲 iy i33P =i1P11 i2 P12 i

10、3 P13/J p2 - 11P2112P2213 P2314 T 4 P3 = i1 P31 i2 P32 3 P33则张量n可用9个张量元素来定义，可写成如下的矩阵形式LlP12 p13 1 口 = p21 p22 p23-p31 p32 p33 _或写成张量的九项式：、用pjJL1,2,3pipi3ipj=0),则为单位张量I如果张两分两满足条件Pj=Pji,则这个张量叫对称 张量。如果张两分两满足条件则这个张 量叫反对称张量。若将张量 n的分量M与*互易 位置后的张量，则称该张量的共轲张量，并以表示：P11P21P31 1P12 P22 P32-P13 P23 P33 _3.并失为区别

11、两个矢量的点乘，可将两个矢量的并失ab写成 a;b 令 a = kai+i2a2+i3a3,b=iih+12b2十|3均 贝|j并失亦有 9aa个分量，写成矩阵形式为ab=a;b= a2b1a2b2a2b3,并失四便3b2 a3b3 _为二阶张量。必须注意，并失菰与温是不同的.4 bb1a2ba3b; a - b?aib2a2b2a3，寸，Raha2b3a3，由此可见b；a是并失a；b的共轲张量。矢量的梯度梯度为一并失，故是一个二阶张量: !西市2 ca3 Ixi二 xi；xigrad a = a =2012al 邑 .:x2：:x2：:x2.:a1：:a2：:a3/% ,因可考虑矢量a（r）

12、=a（xi，x2，x3）的无穷小增量，因da1 =色 dx1 但 dx2 但 dx3:xi%X：a2:a2：a2da2= -2 dx12 dx2-2 dx3：xi：x2：x3：a3：a3：a3X2da故da/dr为具有九个分量的二阶张量常FxiFxi”123fx2 : X2: x22 al：:a2：:a3da3 =dx1 一dx2 dx3/X3 6X3 GX3 1因可将da表示为张量d d与矢量dr的点乘,dad a = 1 *dr = d r *grad a = dr( a ) dr应用并失运算法则又有da =dr=（dr： ）;a =（dr 对标量函数舶）类似的有ddr-gradd-7*并

13、失运算服从如下四个运算法则（1）结合律法则a；b；C =（a；b）；C = （b；C）连续的并失积可以任何方式加上括号而不改变结果。（2）标量率法则需b=（高b=Ma；b）标量入在并失运算中可以提到任何一个位置。（3）缩并率法则 两个矢量点乘为一个标量，一 个并失（张量）与一个矢量点乘则为一个矢量， 表示通过点乘将并矢量积的阶降低了两阶，这个 过程叫做缩并。如利用结合率和标量律后，可知 并失与矢量的点乘后为一矢量：（a；b） ,c=a；3cx （b，C）a 如利用标量律后，可知两个并失点乘后仍未一并 失（a；b），（c；d） =a；（b，c）；d =（b，c）（a；d）（4）分配律法则 a；（

14、b c）=a；b a；c4.张量的梯度，散度和格林定理定乂 -Xk Aj零阶张量（标量）的梯度是矢量，一阶张量（矢 量）的梯度是二阶张量，一次类推，二阶张量的 梯度必为三阶张量。设A是二阶张量，其分量Aj=Aji（Xl,X2,X3）表示Aj对xk求偏导数。梯度符号是矢量算子gradA = t =，= J X1 二X2 ;x3 IJ xk,k =1,2,3故张量A的梯度可写gradA =. A = = . Aj k ，,张量A的梯度具有27个分量i,j =1,2,3, k =1,2,3的量，即33个分量，属于三阶张量。一阶张量(矢量)的散度是一个标量，二阶张量的散度将是一个矢量。散度的定义为FA

15、 divA = *A =-：A1 汽1 洱1/2八2汛2队34 -T- -T- T -T- T -T x1二 X2; X3; X1二 X2; X3; X1; X2二 X3在正交坐标系(2百中，拉美系数为 C时,阶张量的散度和变形率张量分量Dij的公式为I A A 3divA = *A =Aka dlnhkIk=1Dl2Dl2v3 hzh3：Dl22D11h_、h3 ： 3(1 ：V2h2 - 2.2hh1h2h3Aikf In IAkT( )h2 1 2 h1.一(当h3 二 3 h2h ； -V31”3炉1hi 二 1h321 % v：力1V :：h|=r!_v_&_v_ 退 1 D, _ D 33 h2h)3 二 3hih2 1 1 2hh22 八3,：31: V3 , V1: h3. V2: h3丁中 卜卜一芦 卜卜弋 h3 ： 3卜3打：1 h2h)3: 2,则有张量形式,则又可写为若令x=v;a为一并失/二阶里内 的高斯定理为,(v;a)d = An(v:a)dA 故将二阶张量分量记为品，风.，-I 一d - - f ATij nidA ex