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1、初中数学教学中变式训练的实践再研究成果报告一、我研究的教学问题在我个人教学过程中，常常困惑于以下问题：学生在课堂上对数学问题的解决能力远远超出了在课后或者回家完成的能力。并不是课后或回家的作业难度有多高，有的题只不过是数字变换了一下，或者符号有所变化，或者叙述方法有所改变，甚至有些题目在老师看来虽有变化，但难度却低于了课堂教学中的题目，学生的错误却千奇百怪。回顾自己的课堂教学，总认为自己已经把公式特征、题目涉及到的主要知识内容都对学生进行了分析，并进行了一定量的练习，为什么学生遇到相关题目还是不能解决呢?二、研究的理性分析1.原因分析从多年教学来看，学生课堂上能正确完成教师布置的作业，课后完成
2、的同类型作业质量却很差的现象一直存在。一是教师对学生的了解不够。学生的学习基础和认知能力不同，造成对知识的理解掌握程度不同。同一班级的学生，学习基础和能力参差不齐，教师在课堂教学中，对学生不同的基础，不同的理解方式，不同的学习能力了解不够。二是教师对知识内涵和外延的把握不够。教师对知识的变式应用研究不多，造成学生单一模仿例题，甚至依葫画瓢。虽然一直在提 “减负”，但是在升学仍要从高分到低分的大环境下，学校、教师在还没有探索出更有效的提高学习成绩的方法前，很多教师仍然是采用 “狂轰乱炸”的“题海”战术，这种“重复低效”的数学课堂教学，使相当一部分学生“丧失”了数学学习的兴趣。许多实例也表明，大量
3、单一的、重复的机械性练习，达到的不是“生巧”，而是“生厌”，它不仅对学生知识与技能的掌握无所裨益，而且还会使学生逐步丧失学习数学的兴趣，这正是“题海战术”的最大弊端。许多教师曾意识到此类问题，因此在课堂教学中频频提醒学生解题学习要触类旁通，懂一题会解一片。但究竟如何对数学问题进行举一反三，深入挖掘，充分演变，教师自己也很困惑。长期单一模式教学，使学生思维变的狭窄，对所学知识往往只注重数学表象，而忽视了数学知识的核心。这些促使我们思考：实施怎样的数学课堂教学，既能让学生理解数学知识（概念系统）、数学思想与数学方法，又能深刻体会数学思想的核心作用，提高数学能力呢？ 因此，我认为，教师要进一步了解学
4、生学习知识的方法和能力，在例题和练习的选择上要针对不同群体的学生。另一方面要改变“教师教，学生学，教师讲，学生听”的单一教学模式，让模仿变成学生的思维。转变“熟未必能生巧”的观念，教师在课堂上和学生共同探讨出找到解决相关问题的方法和技能，在课堂上和学生共同分析出产生错误的原因，在课堂上和学生一起找到举一反三的方法。教师在课堂上有很多方法，我认为，通过课堂中的“变式训练”，让学生从不同角度、深度去理解知识，是一种较好的方法。2. 其他教师对本课题的研究通过网络搜索，在课堂中开展“变式训练”的研究有较多。如现代阅读（教育版）（2011年第10期），李军老师发表了一篇初中数学变式训练的运用研究，从问
5、题的变式进行阐述,着重论述问题变式教学的实施策略,营造课堂教学的民主氛围；设置问题变式情景,培养学生的问题变式意识；培养学生的提问能力；师生共同讨论,培养学生解决问题的能力；探讨问题变式教学的一般模式及应遵循的原则。研究范围比较广。浙江省宁海县桃源中学的王伟等老师开展了初中数学变式教学的实践研究研究，从立足于具体的教师课堂教学和学生解题训练的实际，具体研究了数学问题是如何演变和如何深入的途径，注重于数学问题演变的技术手段。本人在2012至2013年开展了县级课题初中数学教学中变式训练的实践研究，主要对新浙教版七年级个章节相关内容做了研究，顺利结题并获得成果奖，取得的成果在今后的教学中可以借鉴。
6、本次研究，主要针对新浙教版九年级的知识开展研究。本次研究，将借鉴上次开展研究的成功经验，改进不足，进一步加强研究。3. 对本课题的界定（1）“变式教学”是对教学中的问题进行不同角度，不同层次，不同情形，不同背景的变式。以暴露问题本质特征，揭示不同知识间的内在联系的一种教学设计方法。它以“知识变式”、“题目变式”、“思维变式”、“方法变式”为基本途径。（2）本课题主要是研究在初中数学课堂教学过程中，探讨如何通过教师合理安排变式教学，呈现数学教学的本质内涵，达到学生高效的学的目的，逐步探索提高初中数学教与学的有效程度的途径与方法。（3）本课题的研究的范围是以自己所任教班级为主，总体范围界定于新浙教
7、版九年级数学教学，与其它课题研究的不同之处在于，本课题只研究数学教师在教学中如何开展变式训练，不进行理论研究。三、成果主要内容根据教师的研究能力采用了点面结合、循序渐进和重点突破等形式，按照课题计划开展了研究：收集学生知识易错点，收集易错知识点的相关练习题，在备课中设计好变式训练题，开展课堂变式训练。在实践中不断修正，研究“变式训练”后学生学习积极性和自信心的提升情况，通过调查法对课题实施后的学生的数学实绩进行检测。1.研究学生：着重研究平时的学习行为和效果，发现不足和缺憾，着力通过数学变式来培养学生创新能力来加以克服，观察克服的程度，再加以改进，总结经验，试图发现一种科学的教学体系来提高初中
8、数学课堂教学效益。主要做法是：根据经验，估计学生易错的知识点，收集相关题目。根据历年九年级课堂教学及复习遇到的问题及毕业测试试题，收集了一些关于九年级知识点错误较多的题目。分析学生错误的原因，收集有关联的题目。2.研究变式设计：给出不同条件时如何引导学生联系旧知解决新问题，培养学生能以不变应万变，把握数学知识的核心部分，提高思考问题、解决问题能力。 主要做法如下：备好变式训练课。根据学生的错误，在备课时设计好变式训练题。力求在备课中让学生体会不同题目中的相同点，以“不变应万变”。 掌握学生通过变式练习对知识的掌握程度。对变式训练效果进行评估。在设计变式训练题中注意以下技巧：（1）差异性。设计数
9、学问题变式，要强调一个“变”字，避免简单的重复。变式题组的题目之间要有明显的差异。对每道题，要使学生既感到熟悉，又感到新鲜。从心理学角度看，新鲜的题目给学生的刺激性强，学生的神经兴奋度高，做题时注意力集中，积极性大，思维敏捷，使训练达到较好的效果。因此，设计数学变式，要努力做到变中求“活”，变中求“新”，变中求“异”，变中求“广”。在九年级学习了二次函数和圆知识后，学生对二次函数和圆的知识了解的较好，但学生对两部分知识易混淆，为防止学生依葫画瓢混用知识，让学社理解知识的差异，设计了以下例题和变式练习：例2014绍兴把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图1，O与矩形ABCD的边B
10、C，AD分别相切和相交(E，F是交点)已知EFCD8，则O的半径为_(图1) (图2) （图3）变式1 已知，如图2在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D (1)求证：ACBD；(2)若大圆的半径R10，小圆的半径r8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长变式2 如图3 某地要搭桥一座，桥的底部两端间的距离AB=L，称为跨度，桥面最高点到AB的距离为CD=h，当跨度和拱高确定时，有2种设计方案可供选择：1.抛物线2.圆弧形已知这座桥跨度L=32米，拱高h=8米（1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为Y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式（2）如果设
11、计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在这两种方案中分别求桥墩的高度这些变式练习，体现了变中求“活”，变中求“新”，变中求“异”，变中求“广”。（2）层次性。所谓的问题变式要有一定的难度，才能调动学生积极思考。但是，变式要由易到难，层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，充分激发学生的好奇心和求知欲。要让学生经过思考，能够跨过一个个“门坎”，既起到训练的作用，又可以培养学生的思维能力，发展学生的智力。在学习了二次函数一章后，为让学生应用数形结合，掌握对系数a,b,c含义的理解，设计了以下例题和练习：例 2013长沙二次函数yax2bxc的图象如图1
12、所示，则下列关系式错误的是( )Aa0 Bc0 Cb24ac0 Dabc0 （图1） （图2） （图3）变式1 2014烟台二次函数yax2bxc(a0)的部分图象如图2所示，图象过点(1，0)，对称轴为直线x2.下列结论：4ab0；9ac3b；8a7b2c0；当x1时，y的值随x的值的增大而增大其中正确的结论有( )A1个 B2个 C3个 D4个22014达州图3是二次函数yax2bxc的图象的一部分，对称轴是直线x1.b24ac 4a2bc0不等式ax2bxc0的解集是x3.5若(2，y1)，(5，y2)是抛物线上的两点，则y1y2上述4个判断中，正确的是 ( )A BC D32014资阳
13、二次函数yax2bxc(a0)的图象如图4所示，给出下列四个结论：4acb20；4ac2b；3b2c0；m(amb)ba(m1)其中正确结论的个数是( )A4个 B3个 C2个 D1个 （图4） （图5） （图6）42014巴中已知二次函数yax2bxc的图象如图5所示，则下列叙述正确的是( )Aabc0 B3ac0 Cb24ac0D将该函数图象向左平移2个单位后所得抛物线的解析式为yax2c52014南充二次函数yax2bxc(a0)图象如图6所示，下列结论：abc0；2ab0；当m1时，abam2bm；abc0；若ax12bx1ax22bx2，且x1x2，则x1x22.其中正确的有（ ）A
14、 B C D本例题与练习中设计中，从直接观察图形得到a,b,c，b24ac的符号，到应用对称性确定相应代数式的符号，到结合对称性及函数值确定相应代数式的符号，题目的难度逐步增加，由易到难，层层递进，充分激发了学生的好奇心和求知欲。（3）开阔性。一幅好画，境界开阔，就会令人回味无穷。同样，设计数学问题变式，一定要内涵丰富，境界开阔，给学生留下充足的思维空间，让学生感到内容充实。因此，所选范例必须具有典型性：一要注意知识的横向联系；二要具有延伸性，可进行一题多变；三要注意思维的创造性、深刻性。在相似三角形一章中，学生对三角形相似往往仅停留在平行的相似的情形，忽略了其它类型，因此设计了以下练习：例
15、如图1，D为ABC的边AB上的一点，E是AC上的一点，若以A,D,E为顶点的三角形与ABC相似，且AB=8，AC=6，AD=4，求AE的长。图1 图2 图3 图4 图5 变式1 如图2，在直角三角形ABC的斜边AB上有一点定P,，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足条件的直线共有_条，请做出这些直线变式2 已知：RtOAB在直角坐标系中的位置如图3，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把RtOAB分割成两部分分割得到的三角形与RtOAB相似，则C的坐标为_变式3 如图4所示，在矩形ABCD中，AB6，AD12，点E在AD边上，且AE8，EFBE交CD于
16、点F.(1)求证：ABE DEF；(2)求EF的长变式4 如图5，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM=_时，AED与以M，N，C为顶点的三角形相似例题与都具有典型性、代表性。体现了一题多变，在方法和结论上都不尽相同，每一个变式都在上一小题的基础上有所变化，有所提高，需要学生在正确理解相似三角形的定义及各种情形的基础上加以思考分析才能找到正确方法，求出所有结论。3.研究教学：不同的课型该用哪种“变式教学”模式主要做法如下：开展课堂变式教学。在具体课堂教学中，让学生参与变式练习，体会“变与不变”，有的让学生在课堂中写出完整过程，有的让学生分析叙
17、述“变与不变”。 变式教学中注重灵活性。根据教学内容和学生的实际情况，数学问题变式训练的方式要灵活多样，力求使学生独立练习和教师启发引导下的半独立练习相结合。同时，根据数学内容，有时可分散训练，有时可集中训练，有时一个题目的变式可分几次完成，充分展现知识螺旋上升的方式。这种灵活的训练方式，不仅可以提高学生的兴趣，集中学生的注意力，而且可以使学生的多种感官参与学习，提高大脑和神经的兴奋度，达到最佳的训练效果。主要做法是根据题目的变化形式的不同，难易程度的不同，选择由学生独立完成或学生合作完成或教师启发完成等。四、实施成效成效：经过一年的研究，取得了以下成效：1.教师：（1）开展了九年级各章的变式
18、训练研究。（2）提高教师课堂教学实绩，撰写相关的论文，通过公开课展示自己的研究。（3）提高了教师的课堂教学研究能力。2.学生：（1）让学生体会了在不断变化发展的数学考题中，都离不开历史数学题的继承，数学基础知识、基本技能、思想方法总是不变的，即“万变不离其宗”，只是在题目的立意、创设的情景、设问的角度中有新颖和鲜活的变化。（2）切实提高了学生练习的正确性，培养了良好的练习习惯，最终提升数学学习能力。五、研究感悟：反思不足：1学生在教师的带领下被动的中开展了变式训练。学生对变式训练研究能加深知识的理解认识还不够，还不能根据对知识的掌握情况自我开展变式训。2由于是个人课题，时间和经历不足，选择的部分变式训练的例题、练习还不够典型，或者之间的关联性不够紧密。3.推广不够。曾经开展过初中数学教学中变式训练的实践研究课题研究，县级结题并获得成果奖，但在校内的推广不够，仅限于自我积累自我教学应用。通过反思不足，将进一步改进，如对例题、练习的选择更有针对性，让学生逐步学会自我开展变式练习和研究，同时争取在校内推广本课题取得的成果。7
《初中数学教学中变式训练的实践再研究》成果报告
