不等式讲义知识点详解+例题+习题(含详细答案)

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1、不等式讲义最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及 取等号的条件：(1)|a+bg|a|+|b|(a, bCR). (2)|a-b| |a-c|+|c-b|(a, b R).2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+ b|c, |x-c|十|x b|a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证 明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、 反证法、放缩法、数学归纳法.基础知识回顾 犊理识记自测JICHUZHIBHI HUiaU翎知识精理j1 .含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)? f

2、(x)a 或 f(x) a；(2)|f(x)|0)? -af(x)a；(3)对形如|x a|+|x-b|c, |x -a|+|x- b|c的不等式，可利用绝对值不等 式的几何意义求解.2,含有绝对值的不等式的性质|a|b| |a|0,左 侧”=”成立的条件是ab&0且|a|引b|；不等式|a|b|&|ab|&|a|+|b|,右侧”= 成立的条件是ab0且|aa|b|.3 .基本不等式定理1：设a, bCR,则a2+b22ab.当且仅当a=b时、等号成立.a b止理2：如果a、b为正数，则一“方b,当且仅当a=b时、等方成立.定理3:如果a、b、c为正数，则a+/+ .3/0京,当且仅当a= b

3、=c时， 3等号成立.定理4：(一般形式的算术一几何平均值不等式)如果ai、a2、an为n个 正数，则史上兰nn n/aia2 - an, 当且仅当 a=a2= = an时，等号成立.4 .柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a, b, c, d为实数，则(a2+b2)d2)(ac + bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.n nn(2)若 ai,bi(i N*)为实数，则(a2)( b2)( abi)2,当且仅当 bi= 0(i = 1,2,n)或存在一个数 k,使得 a= kb/i = 1,2,，n)时，等号成立.(3)柯西不等式的向量形式：设 内B为平面上的两个向量，则|W 6|p

4、|a印 当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.瓯基础自测1 .判断正误(在括号内打或x”)(1)对|a+b|引a|b|当且仅当ab0时等号成立.()(2)对|ab|&|a|+|b|当且仅当ab&0时等号成立.()(3)|ax+ b|& c(c0)的解等价于一c ax+ bc.()(4)不等式|x- 11+ X+ 2|1, x+y-2,则 x0, y0.()答案(1)X ，(5)V2 .不等式|2x- 1|-x1的解集是()A. x|0x2B. x|1x2C. x|0x1D. x|1x2解法二：令f(x)=1 则f(x)1的解集为x|0x2.1 -3x, x2，答案A3 .设|a|1, |b|

5、2C. |a+b|+|ab| = 2B. |a+b|+|a-b|2D.不能比较大小解析|a+b|+|a-b|2a|2.答案B4 .若a, b, c (0, +00),且a+b+c=1,则，+钟+真的最大值为()A. 1B. V2C. 13D. 2解析 函 + 册+而2=(1乂+1乂邓+1乂)2(i2+i2+i2)(a+b+ c)= 3.，一，1当且仅当a=b=c=3时，等号成立.3(ya+yjb+vc)2 0 3.故也+，C的最大值为，3.故应选C.答案C5 .若存在实数x使X-a|+ |x 1|03成立，则实数a的取值范围是.解析利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3,所以

6、a的取值范围为一2&a&4.答案一20a&4考虑互动探究 剖析互动突破nRSKfANHUPOIM GT ANJIU考点一含绝对值的不等式的解法解X a|+Xb|c(或& c)型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根.(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间.(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求 出它们的解集.(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集.解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号(2015山东卷)不等式X-1|-X- 5|2的解集是()A. ( 8, 4)B. (oo, 1)C. (1,4)D.

7、(1,5)(2014湖南卷)若关于x的不等式|ax2|3的解集为x 5x1 ,则a 33解题指导切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进 行分类讨论.解析(1)当x1时，不等式可化为一(x-1)+(x-5)2,即一42,显然成 立，所以此时不等式的解集为(一8,1)；当10x&5时，不等式可化为x-1 + (x- 5)2,即2x- 62,解得x4,又 1x5时，不等式可化为(x- 1)-(x-5)2,即42,显然不成立，所以此时 不等式无解.综上，不等式的解集为(8, 4).故选A.(2)lax 2|3,1ax0时，-1xf,与已知条件不符； a a当a=0时，x R,与已知条件

8、不符；当a0时，5x又不等式的解集为x -|x ,故a= 3. a a33答案(1)A (2)-3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对信号;(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏 区间的端点值.心对点训练已知函数 f(x)=|x+ a|+|x 2|.(1)当a= 3时，求不等式f(x户3的解集；(2)若f(x)&k 4|的解集包含1,2,求a的取值范围.2x+ 5, x02,解(1)当2= 3 时，f(x)= 1, 2Vx3.当x02时，由f(x)3得一2x+ 53,解得x0 1;当 2Vx 3 无解；当x3时，由 心)3得

9、2乂一53,解得x 4;所以f(x)3的解集为x|x& 1或x4.(2)f(x)x + a|.当 xC 1,2时，x-4|-x-2|x+ a|? 4 x(2 x)|x+a|? 2a0x&2 a.由条件得一2a01 且 2-a2,即一30aCM |x a|+|xb|a2+2a + 2对任意实数x包成立,则实数a的取值范围是.(2)不等式|x+ 1|x 2|卜的解集为R,则实数k的取值范围是解题指导切入点：绝对值的几何意义；关键点：把包成立问题转化为最 值问题.解析(1) = x- 1|+X+2|(x-1)-(x- 2)| = 3,，a2+2a+2V3,解得7*av7即实数a的取值范围是 T二师

10、11北.44(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数 x, 1,2在数轴上对应的点分别 为P, A, B,则原不等式等价于PAPBk恒成立.AB = 3,即|x+1|x 2芦 3.故当k 3时，原不等式包成立.解法二：令 y= |x+1|-|x-2|,3，x 1,贝ij y= 2x- 1, 1x2,要使x+ 1x 2卜k恒成立，从图象中可以看出，只要 k 3即可.故k，-3)答案(1) -1 4折解含参数的不等式存在性问题,只要求出存在满足条件的x即可；不等式的包成立问题，可转化为最值问题，即f(x)f(x)max, f(x)a 恒成立？af(x)min.心对点训练(2015唐山一模)已知函数

11、 f(x)=|2x a|+a, aC R, g(x)=|2x1.(1)若当g(x)&5时，何有f(x)3,求a的取值范围.解(1)g(x)&5? |2x-1| 5? -52x-15? -2x 3; f(x) 6? |2x- a|w 6 a? a 6w 2x aw 6 a? a 3w xw 3.依题意有，a-3 -2, a|2x- a- 2x+1|+a= |a- 1|+a,当且仅当(2xa)(2x1)00时等号成立.解不等式|a1|+a13,得a的取值范围是2, + oo).考点三不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题 目标，既不仅要搞清是什么，还要

12、搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到 正确的解题途径.应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件.(2015新课标全国卷H )设a, b, c, d均为正数，且a+b=c+ d,证明：若abcd,则g+址加+加；(2) ,-a+ b c+ :d是|a b|/ab, (Vc+ yd)2 = c+d + 2y/Cd, 由题设 a+b=c+d, abcd得(+加)2(也+枳)2因此g +蚀&+5.(2)若 |ab|cd|,则(ab)2(c d)2,即(a+b)2 4abcd.由(1)得va +证/+返若,a+ .b ,c+ ,d,则(,：a+ :b)2(,1c+ .d)2,即a + b + 2

13、 abc+ d + 2 cd.因为 a+b=c+d,所以 abcd.于是(ab)2= (a+b)24ab(c+d)24cd= (c -d)2.因止匕 |ab|必+,是|ab|c d|的充要条件.的图见思齿分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不 等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时， 可用分析 法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.G对点训练（2014新课标全国卷H ）设a、b、c均为正数，且a+ b+c= 1.证明:(1)ab+bc+ ac 1.b c a证明(1)由 a2+b212ab, b2+ c22bc, c2+

14、a22ca 得 a2+b2+c2ab+ bc+ ca.由题设得(a+b+c)2= 1,即 a2+ b2+ c2 + 2ab+ 2bc+ 2ca=1.1所以 3(ab+ bc+ ca) 1,即 ab+ bc+ ca2a, +c2b, & + a2c,a2 b2 c2故 b + - + & + (a+ b+ c)2(a+b+c),a2 b2 c2即6 + 3 + 3 n a+b+ca2 b2 c2所以Li +力.方法规律总结方法技巧1,绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号.2,绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还 要注意等号成立的条件.3.在证明不等式时，应根据命题

15、提供的信息选择合适的方法与技巧.如在 使用柯西不等式时，要注意右边为常数.易错点睛1 .对含有参数的不等式求解时，分类要完整.2 .应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件.课时跟踪训练（七十）一、填空题1 .不等式|2x 1|3的解集为.解析|2x 1|3? -32x- 13? 1x2.答案（1,2）2 .若不等式|kx 4|02的解集为x|1&x& 3,则实数k=.解析. |kx 4|2,- - 2kx-42, . - 2kx 6.二.不等式的解集为x|1x 3,，k= 2.答案23 .不等式|2x+ 1|+|x1|2的解集为.一 ，1 ,解析当x02时，原不等式等价为（2x+

16、1）（x1）2,即3x2- 3n, 2一 31 ,1x0 2.当一2x1 时，原不等式等价为(2x+ 1)-(x- 1)2,即 x0,，一 1. .一2 一此时一2x 1时，原不等式等价为（2x+ 1）+（x-1）2,即3x2, x,此22时不等式无解，综上，原不等式的解为 3Vx0,即原不等式的解集为 3, 0 .-2答案3, 04 .已知关于 x的不等式|x- 1| + x|k无解，则实数 k的取值范围是解析. |x1|+|x|引x1x|=1, .当 k1 时，不等式 |x 1|+|x|&k无解, 故 k1.答案J00, 1）5 . （2015西安统考）若关于实数x的不等式|x 5|+ |

17、x+3|(x-5)-(x+ 3)| = 8, 故 a8.答案(00, 86 . (2015重庆卷)若函数f(x)=|x+1|+2|x a|的最小值为5,则实数a=解析当a=1时，f(x)=3|x+10,不满足题意；当av1时，f(x) =3x 1 + 2a, x a,x-1-2a, ax3x +1 2a, x 1,3x 1 + 2a, x 0 - 1,1 时，f(x)= -x+1+2a, - 1xa,=4.答案6或47,若关于x的不等式冏?|+1|十卜一2|存在实数解，则实数a的取值范围是解析vf(x)=h+1|+h-2| =2x+ 1 x - 1 ,3- 1x2 ,f(x) 3.要使 |a|

18、x+ 11+ |x2| 有解， |a| 3,即 a 0 - 3 或 a3.答案(一0% -3U3, +oo)8,已知关于x的不等式|x-a|+1-x0的解集为R,则实数a的取值范围是解析若x1(x1)2对任意的x1 , +oo)恒成立，即(a1)(a+1) 2x0对任意的x 1, + oo)恒成立，所以a1 0,a12x,a+ 12x, a25,m2 + n25,当且仅当an=bm时，等号成立. m2+ n2的最小值为 聿.答案乖11 .对任意 x, y R, |x-1|+|x|+y- 1|+|y+1|的最小值为:解析-X-1|+|x| + |y-1|+|y+1|= (|1-x| + X|)

19、+ (|1 y|+|1 + y|)|(1x) + x|+|(1 y)+(1 + y)|= 1 + 2 = 3,当且仅当(1 x) x0, (1 -y) - (1y)0,即 0x 1, -1y1 时等号成.|x1|+|x| + |y1|+|y+1|的最小值为 3.答案3一 一，、412 .若不等式|x+1|x4|a十二，对任意的xCR恒成立，则实数a的取 a值范围是.解析只要函数f(x)=|x+ 1|x4|的最小值不小于a + 4即可.由于|x+ 1| a4一-一|x 4| |(x+1)-(x- 4)|=5,所以-5|x+1|-|x-4|0时，将不等式5a + ：整理，得a2 + 5a+40,无

20、解；当a0,则有a 0 4或1 w a0.综上可知, a实数a的取值范围是( 8, -4U-1,0).答案(8, 41,0)二、解答题13 .已知不等式 2|x3|+|x4|2a.(1)若a=1,求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求 a的取值范围.解(1)当a= 1时，不等式即为2|x 3|+|x-4|4,则 3x 102, x4,舍去；若 3Vx4,贝U x22, .3x4;若 x 3,贝U 10- 3x2, . |x3.3 8综上，不等式的解集为x 3Vx4,f(x)= x-2, 3Vx4, 103x, x1,1 1；2a1, a2，即a的取值范围为万，+ 00 .14.

21、(2015新课标全国卷 I )已知函数 f(x)=|x+ 1|-2|x-a|, a0.当a=1时，求不等式f(x)1的解集；若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解(1)当 a= 1 时，f(x)1 化为|x+ 1|-2|x- 1|- 10.当x0 1时，不等式化为x-40,无解；当1x0,解得|x 1时，不等式化为x+ 20,解得10x1的解集为x 2x2 . 3f(x)的图象与xa+1), AABCx-1 -2a, x - 1,(2)由题设可得，f(x)= 3x+1-2a, - 1xa.轴围成的三角形的三个顶点分别为 A 1ap, 0 , B(2a+1,0), C(

22、a 3的面积为2(a+ 1)2.2-由题设得3(a+ 1)26,故a2. 3所以a的取值范围为(2, +oo).15.设函数 f(x) = |x 1|+|x a|.(1)若a= 1,解不等式f(x)3;(2)如果？ xR, f(x)2,求a的取值范围.解(1)当2= 1 时，f(x)=M 1|+M+1|,-2x, x - 1,f(x)= 2, -1x1.作出函数f(x)=|x 1|+|x+1|的图象.由图象可知，不等式f(x)3的解集为 x x 2 .(2)若 a=1, f(x) = 2M1|,不满足题设条件;2x+a+1, x& a,若 a1, f(x)= 1-a, ax 1,f(x)的最小

23、值为1 a；-2x+a+ 1, x1, f(x)= a-1, 1xa,f(x)的最小值为a- 1.对于？ x R, f(x)2的充要条件是|a-1|2,；a的取值范围是(8, - 1U3, +oo).16. (2015 福建卷)已知 a0, b0, c0,函数 f(x) = |x+a|+|x b|+c 的最小 值为4.(1)求a+b+c的值；(2)求4a2 + 1b2 + c2的最小值.解(1)因为 f(x) = k+a|+|x b|+c |(x+a)-(x-b)|+c= |a+ b| + c,当且仅当一ax0, b0,所以 |a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c.又已知f(x)的最小值为4,所以 a+b+c= 4.(2)由(1)知a+b+c= 4,由柯西不等式得4a2+：b2+ c2 (4+9+ 1户ax2 + bx3+cx 1 2=(a+b+c)2=16, 23即 4a2+9b2+c217.1 1K出口2a 3b 当且仅当3 =238182即a=7，b=，c=7时等方成立.故4a2+gb2+c2的最小值为7.