模糊数学第六章

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1、第六章第六章 模糊决策模糊决策 模糊意见集中决策模糊意见集中决策 模糊综合评判模糊综合评判 模糊二元对比决策模糊二元对比决策 本章内容本章内容 模糊决策模糊决策 决策是为解决当前或未来可能发生的问题，选择最决策是为解决当前或未来可能发生的问题，选择最佳方案的过程。所采取的对策和策略。佳方案的过程。所采取的对策和策略。 模糊决策的目的是把论域中的对象按优劣排序，从模糊决策的目的是把论域中的对象按优劣排序，从而选择最优的对象，或“令人满意”的对象。而选择最优的对象，或“令人满意”的对象。 决策目标很难确切描述。决策目标很难确切描述。 模糊决策的本质是对模糊集中元素排序。模糊决策的本质是对模糊集中元

2、素排序。 一、模糊意见集中决策一、模糊意见集中决策 对集合对集合Uu1,u2,un中的元素进行排序，可由专中的元素进行排序，可由专家小组家小组M分别对分别对U中的元素排序，则得到中的元素排序，则得到m种意见：种意见： V=v1,v2,vm 将这将这m种意见集中为一个比较合理的意见，称之为种意见集中为一个比较合理的意见，称之为“模糊意见集中决策”。“模糊意见集中决策”。 例如：评选先进工作者、评选获奖项目等，传统的例如：评选先进工作者、评选获奖项目等，传统的集体表决、领导裁决等办法都有不合理之处。集体表决、领导裁决等办法都有不合理之处。 模糊意见集中决策方法模糊意见集中决策方法 设论域设论域Uu

3、1,u2,un中的元素进行排序，可由中的元素进行排序，可由专家小组专家小组m人发表人发表m种意见：种意见： V=v1,v2,vm Vi是第是第i种意见序列，即种意见序列，即U中元素的某一个排序。中元素的某一个排序。令令uU，Bi(u)表示表示Vi中排在第中排在第u之后的元素个数，之后的元素个数，称称 为为u的的Borda数。按数。按Borda数的大小排序是比较合理数的大小排序是比较合理的意见。的意见。 1( )( )miiB uB u模糊意见集中决策例模糊意见集中决策例 设设 Ua,b,c,d,e,f, m=4人，人， v1:a,c,d,b,e,f; v2:e,b,c,a,f,d; v3:a,

4、b,c,e,d,f; v4:c,a,b,d,e,f; B1(a)=6-1=5; B2(a)=2,. B(a)=5+2+5+4=16; B(b)=2+4+4+3=13; B(c)=4+3+3+5=15; B(d)=3+0+1+2=6; B(e)=1+5+2+1=9; B(f )=0+1+0+0=1; 按按Borda数集中后的排序为：数集中后的排序为：a,c,b,e,d,f. 模糊意见集中决策模糊意见集中决策 有时出现与人们的直觉不吻合的情况，这时可按有时出现与人们的直觉不吻合的情况，这时可按加加权权BordaBorda数数排序。排序。 例如：设有例如：设有6名运动员名运动员U =u1, u2,

5、u3, u4, u5, u6 参加五参加五项全能比赛项全能比赛, 已知他们每项比赛的成绩如下：已知他们每项比赛的成绩如下： 200m跑跑 u1, u2, u4, u3, u6, u5； 1500m跑跑 u2, u3, u6, u5, u4, u1； 跳远跳远 u1, u2, u4, u3, u5, u6； 掷铁饼掷铁饼 u1, u2, u3, u4, u6, u5； 掷标枪掷标枪 u1, u2, u4, u5, u6, u3； 模糊意见集中决策模糊意见集中决策 B(u1)=5+0+5+5+5=20; B(u2)=4+5+4+4+4=21; B(u3)=2+4+2+3+0=11; B(u4)=3

6、+1+3+2+3=12; B(u5)=0+2+1+0+2=5; B(u6)=1+3+0+1+1=6; 按按Borda数集中后的排序为：数集中后的排序为：u2, u1, u4, u3, u6, u5. 若若uj在第在第i 种意见种意见vi中排第中排第k位，设第位，设第k位的权重为位的权重为ak，则令则令Bi(uj)= ak(n k )，称，称 mijijuBuB1)()(为为uj的加权的加权Borda数。数。 模糊意见集中决策模糊意见集中决策 名次名次 一一 二二 三三 四四 五五 六六 权重权重 0.35 0.25 0.18 0.11 0.07 0.04 B(u1)=7, B(u2)=5.75

7、, B(u3)=1.98, B(u4)=1.91, B(u5)=0.51, B(u6)=0.75. 按加权按加权Borda数集中后的排序为：数集中后的排序为： u1, u2, u3, u4, u6, u5 模糊意见集中决策模糊意见集中决策 例：某公司营销部决定在今年十一国庆节由公司报销，集体到外例：某公司营销部决定在今年十一国庆节由公司报销，集体到外地旅游，营销部经理决定让营销部全体成员用地旅游，营销部经理决定让营销部全体成员用BordaBorda法则投票表法则投票表决来选择最终的旅游目的地。决来选择最终的旅游目的地。 不妨假设营销部所有员工为不妨假设营销部所有员工为6060人，人，有去黄山、

8、张家界、泰山有去黄山、张家界、泰山3 3个方案供大家选择。这个时候在个方案供大家选择。这个时候在6060人人中中3 3个方案的排序如下。个方案的排序如下。 根据根据BordaBorda法则，去黄山这个方案排在法则，去黄山这个方案排在倒数第三位（也就是第一位）的次数是倒数第三位（也就是第一位）的次数是2323次，得次，得23233 36969票，票，排在倒数第二位的次数是排在倒数第二位的次数是2 2次，得次，得2 22 24 4票，排在倒数第一位的票，排在倒数第一位的次数是次数是1919次，得次，得19191 11919票，因此去黄山整个方案最终的得票票，因此去黄山整个方案最终的得票数位为数位为

9、19194 469699292票。票。 同样的算法，可以得到去张家界的总同样的算法，可以得到去张家界的总票数为票数为6767票，去泰山的总票数为票，去泰山的总票数为103103票。因此该营销部全体员工票。因此该营销部全体员工最终选择的旅游目的地是泰山。最终选择的旅游目的地是泰山。 二、二、 模糊综合评判决策模糊综合评判决策 1、经典的综合评判决策、经典的综合评判决策 综合评判：考虑多个因素对事物作出综合评价综合评判：考虑多个因素对事物作出综合评价。 评判：按照给定的条件对事物的优劣、好坏进行评判：按照给定的条件对事物的优劣、好坏进行评比、判别。评比、判别。 综合：评判条件包含多个因素或多个指标

10、。综合：评判条件包含多个因素或多个指标。 综合评判的方法综合评判的方法 评总方法：评总方法： 根据评判对象列出评价项目，对每个项目定出根据评判对象列出评价项目，对每个项目定出评价的等级，并用分数表示。将所得分数累加，评价的等级，并用分数表示。将所得分数累加，然后按总分的大小排列次序，以决定方案的优然后按总分的大小排列次序，以决定方案的优劣。劣。 我国高考成绩的评分方法就是如此我国高考成绩的评分方法就是如此 。 综合评判的方法综合评判的方法 加权评分法：加权评分法： E表示加权评价分数，表示加权评价分数，ai是第是第i个元素所占的权重，个元素所占的权重，且要求且要求 11niia1,1,2,.,

11、niiiEa S in2、模糊映射与模糊变换模糊映射与模糊变换 是模糊综合评判决策的理论基础是模糊综合评判决策的理论基础 映射：点集映射映射：点集映射 集合变换集合变换 模糊映射是点集映射的推广，即在模糊映射模糊映射是点集映射的推广，即在模糊映射f下，下，将点将点x变为模糊集合变为模糊集合B。 模糊映射命题模糊映射命题1 设设Xx1,x2,xn,Y=y1,y2,ym (1)给定模糊映射给定模糊映射f： 以以(ri1,ri2,rim)为行构造一个模糊矩阵为行构造一个模糊矩阵R=(rij)nXm ，就可唯一确定模糊关系就可唯一确定模糊关系Rf，其中，其中Rf(xi,yj)=rij=f(xi)(yj

12、) 121212|( ).(,.,)(1,2,., )iiimiimiiimrrrxf xByyyr rrY in模糊映射命题模糊映射命题1 (2)给出模糊关系给出模糊关系 可令可令 是从是从X到到Y的映射。的映射。 11 12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 . . . . . . . . mmnnnnmrrrrrrrrRrrrrR12Rijijijf :|( )(,.,)f (x ,y )=r =f(x )(y )(1,2,., ;1,2,.,)iRiiiimxfxr rrYin jm其中模糊变换定义模糊变换定义 定义：称映射定义：称映射T： 为从为从X到到Y的的模糊变换模糊变

13、换。 模糊变换是集合变换的推广模糊变换是集合变换的推广. 若模糊变换若模糊变换T满足：满足： T(AB)=T(A) T(B) T( A)= T(A) 则称则称T为为模糊线性变换模糊线性变换。 |( )AT AB模糊变换例模糊变换例 设设Xx1,x2,xn,Y=y1,y2,ym，在，在X上任取一模上任取一模糊子集糊子集 12341230.30.50.10.80.30.51|( )TXYAxxxxT AByyyB令T:A是Y上的模糊子集，因此 是从 到 的模糊变换。模糊线性变换与模糊关系模糊线性变换与模糊关系 设设T是从是从X到到Y的模糊线性变换满足的模糊线性变换满足 则称则称T由模糊关系由模糊关

14、系RT诱导出。诱导出。 ( )()TT AA RAX 模糊线性变换与模糊关系命题模糊线性变换与模糊关系命题2 设设Xx1,x2,xn,Y=y1,y2,ym，则有：，则有： 给定模糊关系为给定模糊关系为Rn*m,可确定一个模糊线性变换可确定一个模糊线性变换TR, 并称并称TR为由模糊关系为由模糊关系R诱导出。诱导出。 |( )RATAA RB模糊线性变换例模糊线性变换例 例例3 设设Xx1,x2,x3,x4,x5,Y=y1,y2,y3,y4 TR为由为由R诱导出的诱导出的X到到Y的模糊变换，的模糊变换， (1)A=X1,X2,求求TR(A) (2)B=0.5/X1+0.6/X2+0.9/X3+1

15、/X4,求求TR(B) 0.5 0.2 0 1 1 0.3 0 0.10.6 0.8 0.4 0.2 0.3 1 0 0 0 0 0 0 R TR(A)= A R TR(A)= (1, 1 , 0, 0, 0) R = (1, 0.3, 0, 1) 42113 . 01yyyTR(B)= (0.5, 0.6, 0.9, 1, 0) R = (0.6, 1, 0.4, 0.5) 43215 . 04 . 016 . 0yyyy模糊线性变换例模糊线性变换例 例例4 4 设设X = x1, x2, x3,Y = y1, y2,映射映射T 为从为从X 到到Y 的的模糊线性变换模糊线性变换. .已知已知

16、 (1) 求由求由T 诱导出诱导出X 到到Y 的的模模糊关系糊关系 RT ； (2) 求由求由模糊关系模糊关系 RT 诱导出诱导出X 到到Y 的的模糊映射模糊映射 f . ,5.07.08.05.01,2.05.01.08.0,5.06.07.04.0,3.05.06.04.021321213221312121yyxxxTyyxxTyyxxTyyxxT设设 ,323122211211rrrrrrRT则则 ,5 . 07 . 02 . 05 . 05 . 06 . 03 . 05 . 08 . 05 . 011 . 08 . 007 . 004 . 006 . 04 . 032312221121

17、1rrrrrr模糊线性变换例模糊线性变换例 先求该行先求该行 模糊关系方程，最后一章求解模糊关系方程，最后一章求解 模糊线性变换例模糊线性变换例 ,.50.60.20.50.30.70TR（1） （2） 由由Rf 可得可得: ,/5 . 0/6 . 0)(,/2 . 0/5 . 0)(,/3 . 0/7 . 0)(213212211yyxfyyxfyyxf3、模糊综合评判决策的数学模型、模糊综合评判决策的数学模型 因素集：因素集： Uu1,u2,un. 评判集：评判集：Vv1,v2,vm. 单因素评判矩阵：单因素评判矩阵：RunXm 综合评判：综合评判：B=A。R， A为权重。为权重。 11

18、12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 . . . . . . . . mmnnnnmrrrrrrrrRrrrr3、模糊综合评判决策的数学模型、模糊综合评判决策的数学模型 由于各种因素所处地位不同由于各种因素所处地位不同, ,作用也不一样作用也不一样, ,可用可用权重权重A = (a1, a2, , an )来描述来描述, ,它是因素集它是因素集U 的一个模的一个模糊子集糊子集. .对于每一个因素对于每一个因素ui , ,单独作出的一个评判单独作出的一个评判 f (ui), ,可看作是可看作是U到到V 的一个模糊映射的一个模糊映射 f , ,由由 f 可诱导出可诱导出U 到到V 的一

19、个模糊关系的一个模糊关系 Rf , ,由由Rf可诱导出可诱导出U 到到V 的的一个模糊线一个模糊线性变换性变换 TR(A)= A R = B, , 它是评判集它是评判集V 的一个模糊子集的一个模糊子集, ,即为综合评判即为综合评判. . ( (U, V, R ) )构成模糊综合评判决策模型构成模糊综合评判决策模型, , U, V, R是是此模型的三个要素此模型的三个要素. . 模糊综合评判决策的方法与步骤是：模糊综合评判决策的方法与步骤是： 建立因素集建立因素集U = u1, u2, , un 与决断集与决断集V = v1, v2, , vm. 建立模糊综合评判矩阵建立模糊综合评判矩阵. .

20、对于每一个因素对于每一个因素ui , ,先建立单因素评判：先建立单因素评判： ( (ri1, ri2, , rim) ) 即即rij(0(0rij1)1)表示表示vj对因素对因素ui所所作的评判作的评判, ,这样就这样就得到单因素评判矩阵得到单因素评判矩阵R =( (rij) )nm. . 综合评判综合评判. . 根据各因素权重根据各因素权重A =( (a1, a2, , an ) )综合评判综合评判: : B = AR = (b1, b2, , bm )是是V上的一个模糊子集上的一个模糊子集, ,根据运算根据运算的不同定义的不同定义, ,可得到不同的模型可得到不同的模型. . 模型模型：M(

21、,)主因素决定型主因素决定型 bj = (airij), 1in ( j = 1, 2, , m ). 由于综合评判的结果由于综合评判的结果bj的值仅由的值仅由ai与与rij (i = 1, 2, , n )中的某中的某一个确定一个确定(先取小先取小, ,后取大运算后取大运算), ,着眼点是考虑主要因素着眼点是考虑主要因素, ,其他因素其他因素对结果影响不大对结果影响不大, ,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况. 模型模型：M ( , )主因素突出型主因素突出型 bj = (ai rij), 1in ( j = 1, 2, , m ). M ( , )

22、与模型与模型M (,) 较接近较接近, 区别在于用区别在于用ai rij代替了代替了M (,) 中的中的airij . 在模型在模型M ( , )中中,对对rij乘以小于乘以小于1的权重的权重ai表明表明ai是在考虑多是在考虑多因素时因素时rij的修正值的修正值,与主要因素有关与主要因素有关,忽略了次要因素忽略了次要因素. 模型模型： M(, )主因素突出型主因素突出型 bj = (ai rij) ( j = 1, 2, , m ). . 模型模型也突出了主要因素也突出了主要因素. . 在实际应用中在实际应用中, ,如果主因素在综合评判中起主导作用如果主因素在综合评判中起主导作用, ,建议采纳

23、建议采纳, , 当模型当模型失效时可采用失效时可采用,.,. 模型模型：M( , )加权平均模型加权平均模型 bj = (ai rij) ( j = 1, 2, , m ). . 模型模型M( , )对所有因素依权重大小均衡兼顾对所有因素依权重大小均衡兼顾, ,适用适用于考虑各因素起作用的情况于考虑各因素起作用的情况. . 因素集因素集U = u1( (花色花色), ), u2( (式样式样), ), u3( (耐穿程度耐穿程度), ), u4( (价价 格格)； 评判集评判集V = v1( (很欢迎很欢迎), ), v2( (较欢迎较欢迎), ), v3( (不太欢迎不太欢迎),), v4(

24、 (不欢迎不欢迎).). 对各因素所作的评判如下：对各因素所作的评判如下： u1 ：(0.2, 0.5, 0.2, 0.1)(0.2, 0.5, 0.2, 0.1) u2 ：(0.7, 0.2, 0.1, 0 )(0.7, 0.2, 0.1, 0 ) u3 ：( 0, 0.4, 0.5, 0.1)( 0, 0.4, 0.5, 0.1) u4 ：(0.2, 0.3, 0.5, 0 )(0.2, 0.3, 0.5, 0 ) 例例1. 服装评判服装评判 05 . 03 . 02 . 01 . 05 . 04 . 0001 . 02 . 07 . 01 . 02 . 05 . 02 . 0R 对于给定

25、各因素权重对于给定各因素权重A = (0.1, 0.2, 0.3, 0.4), ,分别用各分别用各种模型所作的评判如下：种模型所作的评判如下： M(,)： B = (0.2, 0.3, 0.4, 0.1) M( ,)： B = (0.14, 0.12, 0.2, 0.03) M(, )：B = (0.5, 0.9, 0.9, 0.2) M( , )： B = (0.24, 0.33, 0.39, 0.04) 05 . 03 . 02 . 01 . 05 . 04 . 0001 . 02 . 07 . 01 . 02 . 05 . 02 . 0R 对于给定各因素权重对于给定各因素权重A = (0

26、.4, 0.35, 0.15, 0.1), ,分别分别用各种模型所作的评判如下：用各种模型所作的评判如下： M(,)： B = (0.35, 0.4, 0.2, 0.1) M( ,)： B = (0.245, 0.2, 0.08, 0.04) M(, )：B = (0.65, 0.85, 0.55, 0.2) M( , )： B = (0.345, 0.36, 0.24, 0.055) 例例2. 晋升晋升”的数学模型的数学模型. . 以高校老师晋升教授为例：因素集以高校老师晋升教授为例：因素集U = 政治表现及政治表现及工作态度工作态度, ,教学水平教学水平, ,科研水平科研水平, ,外语水平

27、外语水平,评判集评判集V= 好好, ,较好较好, ,一般一般, ,较差较差, ,差差. . 因素因素 好好 较好较好 一般一般 较差较差 差差 政治表现及工作态度政治表现及工作态度 4 2 1 0 0 教学水平教学水平 6 1 0 0 0 科研水平科研水平 0 0 5 1 1 外语水平外语水平 2 2 1 1 1 7 / 17 / 17 / 17 / 27 / 27 / 17 / 17 / 5000007 / 17 / 6007 / 17 / 27 / 4R 给定以教学为主的权重给定以教学为主的权重A = (0.2, 0.5, 0.1, 0.2)，分，分别用别用M(,)、 M( , )模型所作

28、的评判如下：模型所作的评判如下： M(,)： B = (0.5, 0.2, 0.14, 0.14, 0.14) 归一化后，归一化后，B = (0.46, 0.18, 0.12, 0.12, 0.12) M( , )： B = (0.6, 0.19, 0.13, 0.04, 0.04) 例例3 3 利用模糊综合评判对利用模糊综合评判对2020家制药厂经济效益的好坏家制药厂经济效益的好坏进行排序进行排序. . 企业名称企业名称 u1 u2 u3 u4 1 东北制药厂东北制药厂 1.611 10.59 0.69 1.67 2 北京第二制药厂北京第二制药厂 1.429 9.44 0.61 1.50 2

29、0四川制药厂四川制药厂 1.992 21.63 1.01 1.89 设设cij ( i = 1, 2, 3, 4；j = 1, 2, , 20 ) 表示第表示第j个制药个制药厂的第厂的第i个因素的值个因素的值, ,令令 201kikijijccr得到模糊综合评判矩得到模糊综合评判矩阵阵R = (rij)420 . . 见书例见书例6 6- -1111 模糊综合评判决策例模糊综合评判决策例 橡胶在何地最适宜种植”橡胶在何地最适宜种植” P133 较优发展战略较优发展战略 P136 耕作制度改革耕作制度改革 P138 晋升教授数学模型晋升教授数学模型 P140 制药厂经济效益好坏排序制药厂经济效益

30、好坏排序 P144 模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多层次模型 因素很多，而权重分配又比较均衡的情况下，可采用因素很多，而权重分配又比较均衡的情况下，可采用多层次模型。多层次模型。 二级模型（二级模型（p146）：）： 将因素集分成若干组将因素集分成若干组 评判集先对第二级因素集进行单因素评判，再对第一评判集先对第二级因素集进行单因素评判，再对第一因素集进行单因素评判。因素集进行单因素评判。 模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多层次模型 主要介绍两级模型，步骤如下：主要介绍两级模型，步骤如下： （1 1）将因素集）将因素集 分成若干组分成若干组 12,LkUU UU称称 为第

31、一级因素集。为第一级因素集。 12 ,LnUu uu1,()kiijiUUUUij UI使得使得 12,LkUU UU设设 其中其中 ( )( )( )12,(1,2, ),LLiiiiinUuuuik121Lkkiinnnnn称为第二级因素集。称为第二级因素集。 模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多层次模型 （2 2）设评判集）设评判集 ，先对第二级因素集，先对第二级因素集 的的 个因素进行单因素评判，个因素进行单因素评判， 即建立模糊映射即建立模糊映射 12 ,LmVv vv( )( )( )12,LiiiiinUuuuin( )( )( )( )( )1111121( )( )(

32、 )( )( )2221222( )( )( )( )( )12:( )()(,),()(,),()(,).aLaLMaLiiiiiiiiiiiiimiiiiiimiiiiininnnn mfUF Vuf urrruf urrruf urrr模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多层次模型 得单因素评价矩阵为得单因素评价矩阵为 11 12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( . . . . . . . . mmnnnn miiiiiiiiiiiiiiirrrrrrrrRrrrr) i设设 的权值为的权值为 ( )

33、( )( )12,LiiiiinUuuu( )( )( )12(,),LiiiiinAaaa得一级综合评判为得一级综合评判为 (1,2,)oLiiiARB im模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多层次模型 （3 3）将每个）将每个 作为一个元素看待，用作为一个元素看待，用 作为它作为它 的单因素评判，于是得单因素评判矩阵的单因素评判，于是得单因素评判矩阵 iUiB12MkBBRB设设 的权重为的权重为 12,LkUU UU12( ,),LkAa aa于是得二级综合评判于是得二级综合评判 oBA R模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多层次模型 1A2AMkA1R2RkR1B2Bk

34、BABR模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多层次模型 如果在第一步划分中，得到的如果在第一步划分中，得到的 仍含有较多的因素，即仍含有较多的因素，即k k过大，致使权重难以分配，过大，致使权重难以分配，这是可按更高一层的某种属性仿照第一步再作分这是可按更高一层的某种属性仿照第一步再作分割得到更高层次的因素集，然后按第二、第三步割得到更高层次的因素集，然后按第二、第三步骤进行，以此类推，可构成多层的综合评价模型，骤进行，以此类推，可构成多层的综合评价模型，好处是能够反映客观事物中的各种因素的不同层好处是能够反映客观事物中的各种因素的不同层次，又避免了因素多，权重难分配等问题。次，又避免了

35、因素多，权重难分配等问题。 12,LkUU UU模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多层次模型 例例 某企业生产一种产品，它的质量由某企业生产一种产品，它的质量由9 9个指标个指标 129,u uuL确定，产品的级别分为一级、二级、等外、确定，产品的级别分为一级、二级、等外、废品废品4 4个等级。于是因素集个等级。于是因素集 129 ,Uu uuL评判集评判集V=vV=v1 1( (一级一级), v), v2 2( (二级二级), v), v3 3( (等外等外), v), v4 4( (废品废品),), 请有关专家、质检员、用户组成单因素评判小组请有关专家、质检员、用户组成单因素评判小

36、组（打分或投票），得单因素评判矩阵为（打分或投票），得单因素评判矩阵为 模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多层次模型 0.36 0.24 0.130.27 0.20 0.32 0.25 0.230.40 0.22 0.26 0.12 0.30 0.28 0.24 0.18 0.26 0.36 0.12 0.200.220.420.16 0.100.38 0.24 R 0.08 0.200.34 0.25 0.30 0.110.24 0.28 0.30 0.18模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多层次模型 又设权重分配为又设权重分配为 (0.1,0.12,0.07,0.07,0.

37、16,0.1,0.1,0.1,0.18)A 用模型用模型 计算，得计算，得 ( , )M (0.18,0.18,0.18,0.18)BA Ro结果无法分辨出产品的等级，这表明结果无法分辨出产品的等级，这表明 有缺陷，需改进。下面采用二级模型。有缺陷，需改进。下面采用二级模型。 ( , )M 模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多层次模型 （1 1）将因素集）将因素集 分为分为3 3组组 129 ,Uu uuL123456789 ,Uu u uUu u uUu u u（2 2）设评判集）设评判集 1234 ,Vv v v v对每个对每个 中的因素进行单因素评判，可中的因素进行单因素评判，可

38、以请有关专家、质量检查员、用户组成评判小组，用以请有关专家、质量检查员、用户组成评判小组，用打分或投票的办法得到相应的单因素评判矩阵（上例）打分或投票的办法得到相应的单因素评判矩阵（上例） (1,2,3)iUi模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多层次模型 对于第二级因素集对于第二级因素集 有有 (1,2,3)iUi1123 ,Uu u u权重为权重为 1(0.3,0.42,0.28),A 单因素评判矩阵为单因素评判矩阵为 0.36 0.24 0.130.27 0.20 0.32 0.25 0.230.40 0.22 0.26 0.12 R做一级综合评判，用模型做一级综合评判，用模型 计

39、算，得计算，得 ( , )M 111(0.3,0.32,0.26,0.27)BARo模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多层次模型 类似地，类似地， 2456,Uu u u权重为权重为 2(0.2,0.5,0.3),A 单因素评判矩阵为单因素评判矩阵为 0.30 0.28 0.24 0.18 0.26 0.36 0.12 0.200.220.420.16 0.10R做一级综合评判，得做一级综合评判，得 222(0.26,0.36,0.2,0.2)BARo模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多层次模型 3789,Uu u u权重为权重为 2(0.3,0.3,0.4),A 单因素评判矩

40、阵为单因素评判矩阵为 0.38 0.24 0.08 0.200.34 0.25 0.30 0.110.24 0.28 0.30 0.18R做一级综合评判，得做一级综合评判，得 333(0.3,0.28,0.3,0.2)BARo模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多层次模型 （3 3）对第一级因素集）对第一级因素集 3123,UU U U设权重分配为设权重分配为 2(0.2,0.35,0.45)A 令总单因素评判矩阵为令总单因素评判矩阵为 1230.3 0.32 0.26 0.270.36 0.36 0.2 0.20.3 0.28 0.3 0.2BRBB作二级综合评判，得作二级综合评判，得

41、 (0.3,0.35,0.3,0.2)BA Ro按最大隶属度原则，此产品属于二级品。按最大隶属度原则，此产品属于二级品。 模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多层次模型 P148. 6-13 三三.权重的确定方法权重的确定方法 (1)统计方法统计方法 (2)模糊协调决策法模糊协调决策法 (3)模糊关系方程法模糊关系方程法 在模糊综合评判决策中在模糊综合评判决策中, ,权重是至关重要的权重是至关重要的, ,它反它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用作用, ,它直接影响到综合决策的结果它直接影响到综合决策的结果. . 凭经验给

42、出的权重凭经验给出的权重, ,在一定的程度上能反映实际情在一定的程度上能反映实际情况况, ,评判的结果也比较符合实际评判的结果也比较符合实际, ,但它往往带有主观性但它往往带有主观性, ,是不能客观地反映实际情况是不能客观地反映实际情况, ,评判结果可能评判结果可能“失真失真”. . (1)统计方法专家估测法统计方法专家估测法 专家估测法：专家估测法： 因素集：因素集： Uu1,u2, u3,u4，现有，现有K个专家各自独个专家各自独立的给出各因素立的给出各因素ui的权重，取平均值作为权重。的权重，取平均值作为权重。 112n1111(1,2,., )111Akiijjkkkjjjjjjaa

43、inkaaakkk即： （，.，）(1)统计方法统计方法加权统计法加权统计法 加权统计法：加权统计法： 1skiiiaw x(1)统计方法频数统计法统计方法频数统计法 对因素对因素ui在它的权重在它的权重aij中找出最大值中找出最大值Mi及最小值及最小值mi。 适当选择正整数适当选择正整数p，按公式，按公式(Mi-mi)/p把权重从小到大分把权重从小到大分成成p组。组。 计算每组的频数与频率。计算每组的频数与频率。 取最大频率所在分组的权重。取最大频率所在分组的权重。 (2) 模糊协调决策法模糊协调决策法 综合决策的逆问题：已知综合决策及单因素评判矩综合决策的逆问题：已知综合决策及单因素评判矩

44、阵阵R，求各因素的权重分配，求各因素的权重分配A。 求权重分配的近似处理方法模糊协调决策法。求权重分配的近似处理方法模糊协调决策法。 思想：从一组可供选择的权重分配方案中选择一种思想：从一组可供选择的权重分配方案中选择一种最佳权重分配最佳权重分配Ai，使得，使得Ai所决定的综合决策所决定的综合决策BiAi。R与与B最贴近。最贴近。 (3)模糊关系方程法模糊关系方程法 下章介绍下章介绍 四四. 模糊二元对比决策思想模糊二元对比决策思想 先对两个对象进行比较，然后再换两个比较，如此先对两个对象进行比较，然后再换两个比较，如此重复多次，每作一次比较得到一个比另一个优越的重复多次，每作一次比较得到一个

45、比另一个优越的认识，并将这种模糊认识数量化，最后用模糊数学认识，并将这种模糊认识数量化，最后用模糊数学方法给出总体排序，这就是模糊二元对比决策。方法给出总体排序，这就是模糊二元对比决策。 (1)模糊优先关系排序决策模糊优先关系排序决策 (2)模糊相似优先比决策模糊相似优先比决策 (3)模糊相对比较决策模糊相对比较决策 (1)模糊优先关系排序决策思想模糊优先关系排序决策思想 设论域设论域Ux1,x2,xn为为n个备选方案，在个备选方案，在U上确定一上确定一个模糊集个模糊集A，运用模糊数学方法在，运用模糊数学方法在n个备选方案中建立个备选方案中建立一种模糊优先关系，然后将它们排出一个优劣次序，一种

46、模糊优先关系，然后将它们排出一个优劣次序，这就是模糊优先关系排序决策。这就是模糊优先关系排序决策。 (1)模糊优先关系排序决策思想模糊优先关系排序决策思想 设论域设论域U Uxx1 1,x,x2 2, ,x,xn n 为为n n个选择对象，并假设个选择对象，并假设U U中的中的每一对元素之间都可以比较，即对每一对元素之间都可以比较，即对U U中的任意元素中的任意元素x xi i和和x xj j，或是或是x xi i优于优于x xj j，或是或是x xj j优于优于x xi,i,或是两者优于的程度或是两者优于的程度基本一致。显然，这种优先关系不具有传递性，即基本一致。显然，这种优先关系不具有传递

47、性，即x xi i优于优于x xj j， x xj j优于优于x xk k, ,不一定导致不一定导致x xi i优于优于x xk k. . 例如让例如让100100个人来评判个人来评判x x1 1、x x2 2、x x3 3三种商品，结果如下：三种商品，结果如下： 有有8080人认为商品人认为商品x x1 1优于商品优于商品x x2 2，2020人认为人认为x x2 2优于优于x x1 1, ,于是可以得到于是可以得到 ，即认为，即认为x x1 1优于优于x x2 2. . 120.8(0.5,1)r (1)模糊优先关系排序决策思想模糊优先关系排序决策思想 有有7070人认为商品人认为商品x

48、x2 2优于商品优于商品x x3 3，3030人认为人认为x x3 3优于优于x x2 2, ,于是可以得到于是可以得到 ，即认为，即认为x x2 2优于优于x x3 3. . 230.7(0.5,1)r 有有6060人认为商品人认为商品x x3 3优于商品优于商品x x1 1，4040人认为人认为x x1 1优于优于x x3 3, ,于是可以得到于是可以得到 ，即认为，即认为x x3 3优于优于x x1 1. . 310.6(0.5,1)r 于是得出结论，于是得出结论，x x1 1优于优于x x2 2,x,x2 2优于优于x x3 3，x x3 3优于优于x x1 1，但，但x x1 1不优

49、于不优于x x3 3。 (1)模糊优先关系排序决策思想模糊优先关系排序决策思想 有必要建立一个适当的方法，使得能够在有必要建立一个适当的方法，使得能够在U U中选中选择出一个相对最优的元素。在建立这种方法时，必须择出一个相对最优的元素。在建立这种方法时，必须注意以下三点：注意以下三点： （1 1）在两者挑一中是有优先程度的，但程度大小可以）在两者挑一中是有优先程度的，但程度大小可以 不同；不同； （2 2）所选中的对象只是相对优于其他一个而被选上；）所选中的对象只是相对优于其他一个而被选上； （3 3）对于两个备选对象必须选中其一，或者两个选择）对于两个备选对象必须选中其一，或者两个选择 是等

50、价的，而不能两个都拒绝。是等价的，而不能两个都拒绝。 模糊优先关系排序决策思想模糊优先关系排序决策思想 rij表示表示xi与与xj相比较时相比较时xi对于对于A比比xj对于对于A优越的程度，优越的程度，或称或称xi对对xj的的优先选择比优先选择比。 要求要求rij满足下面的式子：满足下面的式子： rii0, 0rij 1 (ij) rij+ rji=1 上述表明：上述表明：x xi i与与x xi i相比较，没有什么优越，记相比较，没有什么优越，记r riiii0 0，x xi i与与x xj j相相比较总是各有所长，把两者的优越成分合在一起就是比较总是各有所长，把两者的优越成分合在一起就是1

51、 1，即，即r rijij+ + r rjiji=1=1。当发现。当发现x xi i比比x xj j有长处而未发现有长处而未发现x xj j比比x xi i有任何长处时，记有任何长处时，记r rijij=1=1，r rjiji=0=0；当；当x xi i与与x xj j相比若不分优劣，则相比若不分优劣，则r rijij= r= rjiji=0.5.=0.5. 模糊优先关系排序决策思想模糊优先关系排序决策思想 由由rij构成的矩阵构成的矩阵R=(rij)nXn 为模糊优先矩阵，由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系为模糊优先矩阵，由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系. 模糊优先关系模糊优先关系R既不满

52、足自反性、对称性，也不满足传递性，既不满足自反性、对称性，也不满足传递性，它是一种具有一定性质的模糊关系。为了在某种程度上更清它是一种具有一定性质的模糊关系。为了在某种程度上更清晰地看出对比关系，常取晰地看出对比关系，常取截矩阵截矩阵R，用R确定优先关系。确定优先关系。 当当由由1逐渐下降时，若首次出现逐渐下降时，若首次出现R的第的第i1行元素除了对角线外行元素除了对角线外全等于全等于1，则认定，则认定xi1是第一优越对象；再在是第一优越对象；再在R中划去其所在的中划去其所在的行列，得到行列，得到n-1阶模糊矩阵，用同样的办法得到第二优越对象，阶模糊矩阵，用同样的办法得到第二优越对象，以此类推

53、。以此类推。 模糊优先关系排序决策例模糊优先关系排序决策例 例例1：已知“子女像父亲”模糊优先矩阵为：已知“子女像父亲”模糊优先矩阵为： 写出模糊优先关系排序。写出模糊优先关系排序。 0 0.9 0.20.1 0 0.60.8 0.4 0R模糊优先关系排序决策例模糊优先关系排序决策例 令令 从大到小依次取从大到小依次取 截矩阵：截矩阵： =0.9,=0.9,得得 0.90 1 00 0 00 0 0R =0.8,=0.8,得得 0.80 1 00 0 01 0 0R模糊优先关系排序决策例模糊优先关系排序决策例 =0.6,=0.6,得得 0.60 1 00 0 11 0 0R =0.4,=0.4

54、,得得 0.40 1 00 0 11 1 0R当当 降至降至0.40.4时，在时，在R R0.40.4中首次出现第三行除对角中首次出现第三行除对角线元素外全等于零，因此第三个人最像父亲。线元素外全等于零，因此第三个人最像父亲。 模糊优先关系排序决策例模糊优先关系排序决策例 在在R R中划去中划去x x3 3所在的行与列，得模糊优先矩阵所在的行与列，得模糊优先矩阵 0 0.90.1 0 R =0.9,=0.9,得得 0 10 0 R于是于是x x1 1为第二像。为第二像。x x1 1、x x2 2、x x3 3的模糊优先关系排序的模糊优先关系排序为为x x3 3、x x1 1、x x2 2. .

55、 模糊优先关系排序决策例模糊优先关系排序决策例 注意注意: :若取若取r riiii=1,=1,即模糊优先关系矩阵的对角线上即模糊优先关系矩阵的对角线上的元素全为的元素全为1.1.当用当用 截矩阵去求各个优越对象时，截矩阵去求各个优越对象时，可以去掉可以去掉“除对角线元素外除对角线元素外”这句话。只要第这句话。只要第i i行行元素全等于元素全等于1 1，则认定，则认定x xi i为第一优先对象，如此等为第一优先对象，如此等等。等。 建立模糊优先关系矩阵建立模糊优先关系矩阵 例例2：先进工作者排序（：先进工作者排序（p154） 建立模糊集的隶属函数方法建立模糊集的隶属函数方法 有限论域上，通过模

56、糊优先关系矩阵，建立模糊集有限论域上，通过模糊优先关系矩阵，建立模糊集的隶属函数。的隶属函数。 方法方法1：最小法：最小法 1212( ),1,2,.,()()().iijj innA xr inA xA xA xAxxx 建立模糊集的隶属函数方法建立模糊集的隶属函数方法 方法方法2：平均法：平均法 方法方法3：加权平均法：加权平均法 其中其中 是一组权重。是一组权重。 11( ),1,2,.,niijjA xr inn1( ),1,2,.,nij ijjA xr in12(,.,)n 建立模糊集的隶属函数方法建立模糊集的隶属函数方法 0 0.9 0.20.1 0 0.60.8 0.4 0R以

57、例以例1 1中的模糊优先关系矩阵中的模糊优先关系矩阵R R为例，用平均法，得为例，用平均法，得 12311()(0.90.2)0.37, ()(0.10.6)0.23,331()(0.80.4)0.43A xA xA x1230.370.230.4()Axxx子女像父根据隶属度的大小，三人的排序为根据隶属度的大小，三人的排序为 312,x x x(2)模糊相似优先比决策模糊相似优先比决策 也是一种二元对比决策，先利用也是一种二元对比决策，先利用二元相对比较级二元相对比较级定定义一个义一个模糊相似优先比模糊相似优先比rij，从而建立模糊优先比矩，从而建立模糊优先比矩阵，然后通过阵，然后通过 截矩

58、阵来对所有的备选方案进行截矩阵来对所有的备选方案进行排序。排序。 模糊相似优先比决策定义模糊相似优先比决策定义 定义定义1：设论域：设论域Ux1,x2,xn，对于给定的一对元，对于给定的一对元素素(xi,xj),若存在数对若存在数对(fxj(xi),fxi(xj)满足满足 0fxj(xi) 1, 0fxi(xj) 1 使得在使得在xi与与xj的比较中，如果的比较中，如果xi具有某种特性的程度具有某种特性的程度为为fxj(xi) ， xj具有某种特性的程度为具有某种特性的程度为fxi(xj)，这时称，这时称(fxj(xi),fxi(xj)为为xi与与xj对该特性的二元相对比较级，对该特性的二元相

59、对比较级，简称简称二元比较级二元比较级。 当当i=j时，令时，令fxi(xi) 1。 二元相对比较矩阵二元相对比较矩阵 称模糊矩阵称模糊矩阵 为二元相对比较矩阵。为二元相对比较矩阵。 12312312311112222( ) ( ) ( ) . ( )() () () . (). . . . . () () () . ()nnnxxxxxxxxxnxnxnxnfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfx模糊相似优先比决策方法（步骤）模糊相似优先比决策方法（步骤） 设论域设论域Ux1,x2,xn为为n个备选方案集个备选方案集 若若(fxj(xi),fxi(xj)为二元比较级，令为二元比较级，

60、令 则称则称rij为为模糊相似优先比模糊相似优先比， R=(rij)nXn为为模糊相似优先比矩阵模糊相似优先比矩阵 用类似模糊优先关系排序决策中确定用类似模糊优先关系排序决策中确定截矩阵的方法截矩阵的方法对备选方案排序。对备选方案排序。 xjixijijjixjixijxjixijf (x )f (x )r,rf (x )+f (x )f (x )+f (x )0.5iir1jiijrr且模糊相似优先比决策例模糊相似优先比决策例 多种菊花的排序（多种菊花的排序（p159） (3)模糊相对比较决策模糊相对比较决策 设论域设论域Ux1,x2,xn为为n个备选方案，先在二元个备选方案，先在二元对比中

61、建立二元比较级，然后利用对比中建立二元比较级，然后利用模糊相对比较模糊相对比较函数函数，建立，建立模糊相对优先关系模糊相对优先关系矩阵来进行总体排矩阵来进行总体排序。序。 模糊相对比较函数定义模糊相对比较函数定义 设论域设论域Ux1,x2,xn，xi与与xj的二元比较级为的二元比较级为(fxj(xi),fxi(xj)，称，称 模糊相对比较函数。模糊相对比较函数。 xjiijxjixijf (x )f(x |x )f (x )f (x )模糊相对比较函数性质模糊相对比较函数性质 f(xi|xj)性质：性质： ijijijxjiijxijii(f(x |x )0,11 f (x )f (x )f(

62、x |x )= f (x )f (x )fx )f (x )f(x |x )=1xjxixjxi当时 当时上式表明：当上式表明：当 时，时，x xi i绝对优越于绝对优越于x xj j, ,所以所以f f（x xi i/x/xj j)=1;)=1;当当 时，时，x xi i优越于优越于x xj j的程度可用比值的程度可用比值f fxjxj(x(xi i）/f/fxixi(x(xj j) )来度量。来度量。x xi i与与x xi i的优越性是相等的，所以的优越性是相等的，所以f f（x xi i/x/xi i)=1,)=1,这从模糊相对函数的定义中可以看出。当然，人们这从模糊相对函数的定义中可

63、以看出。当然，人们取取f f（x xi i/x/xi i)=0)=0或或0.50.5也未尝不可。也未尝不可。 ijf (x )f (x )xjxiij(f (x )fx )xjxi模糊相及矩阵模糊相及矩阵 设论域设论域Ux1,x2,xn，记，记rijf(xi|xj)，则称以，则称以rij为元为元素的矩阵素的矩阵 R=(rij)nXn为为模糊相及矩阵模糊相及矩阵，于是，有，于是，有 12131n21232nn1n2n31 f(x |x ) f(x |x ) . f(x |x ) f(x |x ) 1 f(x |x ) . f(x |x ). . . . . f(x |x ) f(x |x ) f(x |x ) . 1R模糊相对比较决策模糊相对比较决策 在模糊相及矩阵在模糊相及矩阵R中，对中，对R的每行求下确界，以最的每行求下确界，以最大下确界所在行对应的大下确界所在行对应的xi为第一优越对象，划去第为第一优越对象，划去第i行与第行与第i列，得列，得n1阶模糊相及矩阵，类似地找出阶模糊相及矩阵，类似地找出第二优越对象，此法一直做下去，就可对第二优越对象，此法一直做下去，就可对n个备选个备选方案方案(对象对象)进行总体排序。进行总体排序。 模糊相对比较决策例模糊相对比较决策例 多种菊花的排序多种菊花的排序(p163)