第2章 变化率与导数总讲义

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1、专业好文档2.1变化的快慢与变化率【学习要求】1理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念2会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度【学法指导】从平均速度和瞬时速度的概念推广到函数的平均变化率与瞬时变化率，用来刻画事物变化的快慢，为导数的学习作准备.一基础知识回顾1对一般的函数yf(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为2对于一般的函数yf(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设xx1x0，yf(x1)f(x0)，则函数的平均变化率为；当x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率3平均变化率用来刻画函数值在某个范围内变化的快慢，瞬时变化

2、率刻画的是函数在一点处变化的快慢 二问题探究探究点一：平均变化率例1：已知函数f(x)2x23x5.(1)求当x14，且x1时，函数增量y和平均变化率；(2)求当x14，且x0.1时，函数增量y和平均变化率；(3)若设x2x1x.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义解：f(x)2x23x5，yf(x1x)f(x1) 2(x1x)23(x1x)5(2x3x15) 2(x)22x1x3x2(x)2(4x13)x. (1)当x14，x1时，y2(443)121，21. (2)当x14，x0.1时，y20.12(443)0.10.021.91.92，19.2. (3)在(1)题中，它表示抛物线上

3、P1(4,39)与点P2(5,60)连线的斜率在(2)题中，它表示抛物线上点P1(4,39)与点P2(4.1,40.92)连线的斜率跟踪训练1：已知函数f(x)x2x，计算f(x)在区间x0，x0x上的平均变化率，并求当x02，x0.1时平均变化率的值解：函数f(x)x2x在区间x0，x0x上的平均变化率为2x01x，当x02，x0.1时，函数f(x)x2x在区间2,2.1上的平均变化率为2210.15.1.探究点二：瞬时变化率例2一辆汽车按规律s3t21做直线运动，估计汽车在t3 s时的瞬时速度(时间单位：s；位移单位：m)解：当时间从3变到3t时，3t18. 当t趋于0时，趋于常数18.

4、这辆汽车在t3 s时的瞬时速度为18 m/s.跟踪训练2：求函数f(x)x23x在x2处的瞬时变化率解：x1. 当x趋于0时，趋于1. 即函数f(x)在x2处的瞬时变化率为1.三练一练1已知函数yf(x)2x21的图像上一点(1,1)及邻近一点(1x,1y)，则=(C)A4 B4x C42x D42(x)22一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为st2，则t2时，此木块在水平方向的瞬时速度为 (C)A2 B1 C D3质点运动方程为st23，则在时间(3,3t)内，相应的平均速度等于6t 4函数yf(x)2在x1处的瞬时变化率为2四课时小结1平均变化率反映函数

5、在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢2可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义.五作业设计1 一物体的运动方程是s3t2，则在一小段时间2,2.1内相应的平均速度为 (D)A0.41 B3 C4 D4.12 函数y1在2,2x上的平均变化率是 (A)A0 B1 C2 Dx3 在曲线yx22的图像上取一点(1,3)及附近一点(1x,3y)，则等于(C)Ax2 Bx2 Cx2 D2x4 函数y2x2x在x2附近的平均变化率是 (C)A7 B7x C72x D72(x)25 一质点按规律s(t)2t3运动，则t1时的瞬时速度为(B)A4 B6 C24 D48

6、6 自由落体运动方程为s(t)gt2，g9.8 m/s2，若，则t趋于0时，趋于9.8 m/s，它是 (C)A01秒内的平均速度 B1(1t)秒内的速度C1秒这一时刻的瞬时速度 D1(1t)秒内的平均速度7 甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的(B)A甲 B乙 C相同 D不确定8 函数f(x)53x2在区间1,2上的平均变化率为99 过曲线yx21上两点P(1,2)和Q(1x,2y)作曲线的割线，当x0.1时，割线的斜率k2.110自由落体运动物体在t4 s时刻的瞬时速度为39.2 m/s(取g9.8 m/s2)11求函数y2x25在区间2,2x内的平均变化率解：因为

7、y2(2x)25(2225)8x2(x)2，所以函数在区间2,2x上的平均变化率为82x.12将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热如果第x h时，原油的温度(单位：)为yf(x)x27x15(0x8)计算第2 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解：x3，当x趋于0时，趋于3，即第2 h时，瞬时变化率为3. 它说明在第2 h附近，原油温度大约以3 /h的速率下降13若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)s求：(1)物体在t3,5内的平均速度；(2)物体的初速度v0； (3)物体在t1时的瞬时速度解：(1)物体在t3,5内的时间变化量为t53

8、2，物体在t3,5内的位移变化量为s3522(3322)3(5232)48，物体在t3,5上的平均速度为24 (m/s)(2)求物体的初速度v0即求物体在t0时的瞬时速度物体在t0附近的平均变化率为3t18，当t趋于0时，趋于18，物体在t0处的瞬时变化率为18，即物体的初速度为18 m/s.(3)物体在t1时的瞬时速度即为函数在t1处的瞬时变化率物体在t1附近的平均变化率为3t12.当t趋于0时，趋于12，物体在t1处的瞬时变化率为12.即物体在t1时的瞬时速度为12 m/s.2.2导数的概念及其几何意义【学习要求】1理解导数的概念以及导数和变化率的关系2会计算函数在某点处的导数，理解导数的

9、实际意义3理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程【学法指导】通过导数的定义体会其中蕴涵的逼近思想，利用数形结合思想进一步直观感受这种思想一基础知识回顾1函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在x0点的瞬时变化率称为函数yf(x)在x0点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作f(x0) 2曲线的切线如图，曲线yf(x)的一条割线AB，其中A(x0，f(x0)，B(x0x，f(x0x)当x趋于零时，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l ，称直线l为曲线yf(x)在点A处的切线3函数的平均变化率的几何意义是曲线yf(x)割线的斜率；函数yf(x)在x0处的导数f(x0)表示曲线f(x)在点

10、A处的切线的斜率 二问题探究探究点一：函数在一点处的导数例1：蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)15，其中T(t)为体温(单位：)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，计算T(2)，并解释它的实际意义解：T(2) (/min)T(2)(/min)表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以 /min的速度下降跟踪训练1：已知正方形的面积S是边长x的函数Sx2，计算S(5)并说出S(5)的意义解：S(5) (10x)10. S(5)10说明正方形的面积在边长为5时以10的速度增加探究点二：导数的几何意义问题1：如图，当点Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，

11、f(x0)时，割线PPn的变化趋势是什么？答：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置这个确定位置的直线PT称为点P处的切线问题2：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答：不一定曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线例2：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图像根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况解：我们用曲线h(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况(1)当tt0时，曲线h(t)在t0处

12、的切线l0平行于t轴所以，在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降(2)当tt1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0.所以，在tt1附近曲线下降，即函数h(t)在tt1附近单调递减(3)当tt2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0，所以，在tt3，tt4附近单调递增，且曲线h(t)在t3附近比在t4附近递增得快(2)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图像可能是(A)解析：依题意，yf(x)在a，b上是增函数，则在函数f(x)的图像上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图像，只有A满足探究点三：求切线的方

13、程问题1：怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程？答：根据导数的几何意义，求出函数yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程问题2：曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？答：曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线，点(x0，f(x0)一定是切点，只要求出kf(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点例3：已知曲线f(x)x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求

14、曲线过点P(3,5)的切线方程解：(1)设切点为(x0，y0)， 2x0，f(1)2. 曲线在点P(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1. (2)点P(3,5)不在曲线f(x)x2上，设切点为(x0，y0) 由(1)知，f(x0)2x0，切线方程为yy02x0(xx0)，由P(3,5)在所求直线上得5y02x0(3x0)，再由A(x0，y0)在曲线yx2上得y0x，联立，得，x01或x05. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25) 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k12x02，此时切线方程为y12(x1)，即y2x1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k22x010，此时切

15、线方程为y2510(x5)，即y10x25. 综上所述，过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程为y2x1或y10x25.跟踪训练3：已知曲线y2x27，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程解：y (4x2x)4x. (1)设切点为(x0，y0)，则4x04，x01，y05，切点坐标为(1，5)(2)由于点P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k4x0，故所求的切线方程为yy04x0(xx0)将P(3,9)及y02x7代入上式，得9(2x7)4x0(3x0)解得x02或x04，所以切点为(2,1)或(4,25

16、)从而所求切线方程为8xy150和16xy390.三练一练1函数f(x)在x0处可导，则 (B)A与x0、h都有关 B仅与x0有关，而与h无关C仅与h有关，而与x0无关 D与x0、h均无关2函数y3x2在x1处的导数为 (B)A12 B6 C3 D23若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则(A)Aa1，b1 Ba1，b1 Ca1，b1 Da1，b14已知曲线f(x)2x24x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为(3,30) 四课时小结1导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k f(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2利

17、用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点.五作业设计1 函数f(x)x21在x1处的导数是(C)A0 B1 C2 D以上都不对2 设函数f(x)ax32，且f(1)3，则a等于(D)A1 B. C. D13. 已知yf(x)的图像如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是 (B)Af(xA)f(xB) Bf(xA)f(xB) Cf(xA)f(xB) D不能确定4 在曲线yx2上切线倾斜角为的点是 (D)A(0,0) B(2,4

18、) C(，) D(，)5 设f(x)为可导函数，且满足 1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率是 (B)A1 B1 C. D26 曲线f(x)在点(1，1)处的切线方程为 (A)Ayx2 Byx Cyx2 Dyx27 已知函数yf(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)38 若曲线y2x24xP与直线y1相切，则P39 设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P横坐标的取值范围为10一质点按规律ss(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值解：

19、ss(2t)s(2)a(2t)21a2214ata(t)2，所以4aat.由题意知，在t2 s时，瞬时速度为s(2) 4a，故4a8，所以a2.11求过点P(1,2)且与曲线f(x)3x24x2在点M(1,1)处的切线平行的直线解：曲线f(x)3x24x2在点M(1,1)处的切线斜率f(1) (3x2)2.过点P(1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y22(x1)，即2xy40.所以所求直线方程为2xy40.12已知抛物线yx24与直线yx10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程解：(1)由解得或.抛物线与直线的交点坐标为(2,8)或(3,13)(2)yx24，f(x) (x

20、2x)2x.f(2)4，f(3)6，即在点(2,8)处的切线斜率为4，在点(3,13)处的切线斜率为6.在点(2,8)处的切线方程为4xy0；在点(3,13)处的切线方程为6xy50.13设函数f(x)x3ax29x1(a0，a1)f(x)axln a (a0，a1)f(x)exf(x)ex f(x)logax(a0，a1且x0)f(x) (a0，a1，且x0)f(x)ln xf(x)二问题探究探究点一：函数在一点处的导数计算例1：已知f(x)x23.(1)求f(x)在x2处的导数；(2)求f(x)在xa处的导数解：(1)因为4x，f(2) (4x)4. (2)2ax，f(a) (2ax)2a

21、.跟踪训练1：求函数f(x)x在点x4处的导数解：1. f(4) .探究点二：导函数例2：求函数yf(x)5的导函数f(x)，并利用f(x)求f(2)解：yf(xx)f(x) 5，f(x) .f(2).跟踪训练2：求函数f(x)x23x的导函数f(x)，并利用f(x)求f(3)，f(1)解：f(x) (x2x3)2x3，即f(x)2x3，f(3)2333，f(1)2(1)35.探究点三：导数公式表的应用例3:求下列函数的导数：(1)ysin；(2)y5x；(3)y；(4)y；(5)ylog3x.解:(1)y0；(2)y(5x)5xln 5；(3)y(x3)3x4；(4)y()()；(5)y(l

22、og3x).跟踪训练3:求下列函数的导数：(1)yx8；(2)y()x；(3)yx；(4)yx.解:(1)y8x7；(2)y()xln ()xln 2；(3)yx，y；(4)y.三练一练1给出下列结论：若y，则y；若y，则y；若y，则y2x3；若f(x)3x，则f(1)3.其中正确的个数是(C)A1 B2 C3 D42函数f(x)，则f(3)等于(A)A. B.0 C. D.3设正弦曲线ysin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(A)A0，) B0，) C， D0，4曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为e2解析：y(ex)ex，ke2，曲

23、线在点(2，e2)处的切线方程为ye2e2(x2)，即ye2xe2. 当x0时，ye2，当y0时，x1. S1|e2|e2.四课时小结1利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求y12sin2的导数因为y12sin2cos x，所以y(cos x)sin x.3对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化五作业设计1 下列结论中正确的个数为(D)yln 2，则y；y，则y|x3；y2x，则y2xln 2；ylog2x，则y.A0 B1 C2 D32 过

24、曲线y上一点P的切线的斜率为4，则点P的坐标为(B)A. B.或 C.D.3 已知f(x)xa，若f(1)4，则a的值等于(A)A4 B4 C5 D54 曲线yx3的斜率等于1的切线有(B)A1条 B2条 C3条 D不确定5 若曲线yx在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于 (A)A64 B32 C16 D86 已知直线ykx是曲线yex的切线，则实数k的值为(D)A. B Ce De7 若f(x)10x，则f(1)10ln 108 曲线f(x)在x1处的切线的倾斜角的正切值为9直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数bln 2110 求下列函数的导数

25、：(1)yx；(2)y；(3)y；(4)ylog2x2log2x；(5)y2sin .解：(1)y(x).(2)y(x4)4x414x5.(3)y().(4)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).(5)y2sin2sin 2sin cos sin x，y(sin x)cos x.11求与曲线y在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程解：y，y()，即在点P(8,4)处的切线的斜率为.从而适合题意的直线方程为y43(x8)，即3xy280.12“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)4.

26、9t214.7t18，利用导数的定义求h(2)，并解释其实际意义解：烟花在t2 s时的瞬时速度就是h(2)而4.94.9t.所以h(2) (4.94.9t)4.9.即在t2 s时，烟花正以4.9 m/s的瞬时速度下降13设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，试求f2 014(x)解：f1(x)(sin x)cos x，f2(x)(cos x)sin x，f3(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，f5(x)(sin x)f1(x)，f6(x)f2(x)，fn4(x)fn(x)，可知周期为4，f2 014(x

27、)f2(x)sin x.2.4 2.5导数的四则运算法则【学习要求】1理解导数的加减法法则2运用导数公式和导数的加法、减法法则求一些函数的导数3理解导数的乘法与除法法则4将导数公式和导数四则运算相结合，灵活解决一些导数问题【学法指导】1. 应用导数的运算法则可以解决比较复杂的函数的求导问题，简化求导过程，体现了数学中的转化思想.2.使用导数公式和运算法则，可以先将函数解析式化简变形，减少计算量，增强导数工具的实用性.一基础知识回顾1.两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)f(x)g(x)2.一般地，若两个函数f(x)和g(x)的

28、导数分别是f(x)和g(x)，则f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；.特别地，当g(x)k时，有kf(x)kf(x) 二问题探究探究点一：导数的加法与减法法则例1：求下列函数的导数(1)yx3x2x；(2)y2x.解：(1)y(x3x2x)(x3)(x2)(x)3x22x1. (2)y(2x)(2x)()2xln 2.跟踪训练1：已知f(x)tan xsin x，求f.解：f(x)(tan x)(sin x)cos x，f4.探究点二：导数加减法的应用例2：已知函数f(x)x3x，求函数在点(2,10)处的切线方程解：f(x)(x3x)(x3)(x)3x21. f(2)32211

29、3. 所求切线的斜率是13. 切线方程为y1013(x2)，即13xy160. 所求切线的方程是13xy160.跟踪训练2：已知函数f(x)sin xcos x，求曲线yf(x)在x处的切线方程解：f(x)(sin xcos x)(sin x)(cos x)cos xsin x，fcos sin 0. 曲线yf(x)在x处的切线斜率为0. 又f，所求切线方程为y.探究点三：导数乘除法的运算法则例3：求下列函数的导数：(1)y；(2)y；(3)y；(4)y1sin2.解：(1)yx3x3sin xx2，y(x3sin xx2)3x2cos xx2(2x3)sin x3x2.y3x2.(2)y2，

30、y(2).(3)y()()().(4)y1sin2(312sin2)(3cos x)cos x，y(cos x)sin x.跟踪训练3：求下列函数的导数：(1)yxtan x；(2)y；(3)yxsin x.解：(1)y(xtan x)()(2)y.(3)y(xsin x)()sin xxcos x.探究点四：导数的应用例4：(1)曲线yxex2x1在点(0,1)处的切线方程为3xy10 (2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：f(x)x310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为(2,15) (3)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)2t2(位移单位

31、：m，时间单位：s)，求t3 s时物体的瞬时速度解析:（1）yexxex2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为ke0023，所以所求切线方程为y13x，即y3x1（2）解析：设P(x0，y0)(x00，曲线yf(x)在点P(0，f(0)处的切线方程为y1，确定b、c的值解：由题意得，f(0)c，f(x)x2axb，由切点P(0，f(0)既在曲线f(x)x3x2bxc上又在切线y1上知，即，故b0，c1.三练一练1函数f(x)sin xx的导数是(A)Af(x)cos x1 Bf(x)cos x1Cf(x)cos x1 Df(x)cos xx2曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程为(B

32、)Ay3x4 By3x2 Cy4x3 Dy4x53已知f(1)13，则函数g(x)f(x)x在x1处的导数为14 4过原点作曲线yex的切线，则切点坐标为(1，e) 解析：(ex)ex.设切点坐标为(x0，)，则过该切点的切线斜率为，令.即x0，x01.切点坐标为(1，e)5设y2exsin x，则y等于(D)A2excos x B2exsin x C2exsin x D2ex(sin xcos x)6曲线f(x)在点(1，1)处的切线方程为(A)Ay2x1 By2x1 Cy2x3 Dy2x27设f(x)ax2bsin x，且f(0)1，f()，则a0 ，b1 8设f(5)5，f(5)3，g(

33、5)4，g(5)1，当h(x)满足下列条件时，求h(5)，h(5)(1)h(x)3f(x)2g(x)；(2)h(x)f(x)g(x)1； (3)h(x).解：(1)h(x)3f(x)2g(x)h(5)3f(5)2g(5)352423，h(5)3f(5)2g(5)332111. (2)h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(5)f(5)g(5)154121，h(5)f(5)g(5)f(5)g(5)345117. (3)h(x).h(5)，h(5).四课时小结1导数公式和导数的运算法则是计算导数的重要工具2利用导数解决曲线的切线问题要分清所给点是否是切点.3.求函数的导数要准确把函数分割为基本

34、函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.五作业设计导数的加法与减法法则1 下列结论不正确的是(D)A若y3，则y0 B若f(x)3x1，则f(1)3C若yx，则y1 D若ysin xcos x，则ycos xsin x2 函数yx(2x1)2的导数是(D)A34x B34x C58x D58x3 曲线f(x)x3x2在P0点处的切线平行于直线y4x1，则P0点的坐标为 (C)A(1,0

35、) B(2,8) C(1,0)和(1，4) D(2,8)和(1，4)4 曲线f(x)x2bxc在点(1,2)处的切线与其平行直线bxyc0间的距离是 (C)A. B. C. D.5 已知函数f(x)在x1处的导数为3，则f(x)的解析式可能是(A)Af(x)(x1)33(x1) Bf(x)2(x1) Cf(x)2(x1)2 Df(x)x16 函数y的导数为(D)A.1 B.1 C.1 D.17设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为(A)A4 B C2 D8 过点P(1,2)且与曲线f(x)3x24x2

36、在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是2xy409 某物体做直线运动，其运动规律是st2 (t的单位是s，s的单位是m)，则它在第4 s末的瞬时速度应该为7 m/s 10已知f(x)x33xf(0)，则f(1)111 已知函数f(x)2xx2x，求f(1)，f(4)解：f(x)(2xx2x)(2x)(x2)x2xln 22x1，f(1)2ln 21，f(4)24ln 224116ln 27.12已知抛物线yax2bxc过点(1,1)，且在点(2，1)处与直线yx3相切，求a、b、c的值解：因为yax2bxc过点(1,1)，所以abc1.y2axb，曲线在点(2，1)处的切线的斜率为4ab1.

37、又曲线过点(2，1)，所以4a2bc1.由解得所以a、b、c的值分别为3、11、9.13已知函数f(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50，求函数f(x)的解析式解：由M(1，f(1)在x2y50上得12f(1)50即f(1)2.也即2.f(x)，由f(1)得.由得a2，b3，函数f(x)的解析式为f(x).14设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解：(1)由7x4y120得yx3.当x2时，y，f(2)，又

38、f(x)a，f(2)，由，得解之得.故f(x)x.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(1)(xx0)，即y(x0)(1)(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为(0，)令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值此定值为6.导数的乘法与除法法则1 函数y的导数是(B)A. B. C. D.2 若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(

39、1)等于(B)A1 B2 C2 D03 设曲线f(x)在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a等于(D)A2 B. C D24 设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0等于(B)Ae2 Be C. Dln 25 已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是(D)A. B. C. D.6 设函数f(x)x3x2tan ，其中0，则导数f(1)的取值范围是(D)A2,2 B， C，2 D，27 曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程为.xy208 设f(x)aexbln x，且f(1)e，f(1)，则ab19若函数f(x)在xx0处的导数值与函数值互为相反数，则x0

40、的值为10 求下列函数的导函数：(1)f(x)(x27x5)sin x；(2)f(x)；(3)f(x).解：(1)f(x)(x27x5)sin x(x27x5)(sin x)(2x7)sin x(x27x5)cos x.(2)f(x).(3)f(x)(x2sin x2x)x(x2sin x2x)(12cos x2xln 2)x(x2sin x2x)x.11已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.求直线l2的方程解：y2x1，直线l1的方程为y3x3.设直线l2与曲线yx2x2的切点为B(b，b2b2)，则l2的方程为y(2b1)xb22.l1l

41、2，2b1，b.直线l2的方程为yx.12已知偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图像过点P(0,1)，且在x1处的切线方程为yx2，求yf(x)的解析式解：f(x)的图像过点P(0,1)，e1.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)ax4bx3cx2dxeax4bx3cx2dxe.b0，d0，f(x)ax4cx21.函数f(x)在x1处的切线方程为yx2，可知切点为(1，1)，ac11.f(1)4a2c，4a2c1.由解得a，c.函数yf(x)的解析式为f(x)x4x21.13已知曲线C1：yx2与曲线C2：y(x2)2，直线l与C1和C2都相切，求直线l的方程解：设l与C1相切于点P(x

42、1，x)，与C2相切于点Q(x2，(x22)2)对于C1：y2x，则与C1相切于点P的切线方程为yx2x1(xx1)，即y2x1xx.对于C2：y2(x2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y(x22)22(x22)(xx2)，即y2(x22)xx4.因为两切线重合，所以由，得解得或所以直线l的方程为y0或y4x4.2.6简单复合函数的求导法则【学习要求】1了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则2能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(axb)的导数)【学法指导】复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理

43、解函数的复合过程一基础知识回顾复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x).复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，u；g(x)的导数间的关系为yxyuux.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 二问题探究探究点一：复合函数的定义例1：指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y(35x)2；(2)ylog3(x22x5)；(3)ycos 3x.解：(1)y(35x)2是由函数yu2，u35x复合而成的(2)ylog3(x22x5)是由函数yl

44、og3u，ux22x5复合而成的(3)ycos 3x是由函数ycos u，u3x复合而成的跟踪训练1：指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)yln ；(2)yesin x；(3)ycos (x1)解：(1)yln u，u；(2)yeu，usin x；(3)ycos u，ux1.探究点二：复合函数的导数例2：求下列函数的导数：(1)y(2x1)4；(2)y；(3)ysin(2x)；(4)y102x3.解：(1)原函数可看作yu4，u2x1的复合函数，则yxyuux(u4)(2x1)4u328(2x1)3. (2)y(12x)可看作yu，u12x的复合函数，则yxyuux()u(2)(12x) .

45、(3)原函数可看作ysin u，u2x的复合函数，则yxyuuxcos u(2)2cos(2x)2cos(2x)(4)原函数可看作y10u，u2x3的复合函数，则yxyuux102x3ln 102(ln 100)102x3.跟踪训练2：求下列函数的导数(1)yln ；(2)ye3x；(3)y5log2(2x1)解：(1)函数yln 可以看成函数yln u和函数u的复合函数yxyuux(ln u)()().(2)函数ye3x可以看成函数yeu和函数u3x的复合函数yxyuux(eu)(3x)3eu3e3x. (3)函数y5log2(2x1)可以看成函数y5log2u和函数u2x1的复合函数yxy

46、uux5(log2u)(2x1).探究点三：导数的应用例3：求曲线f(x)e2x1在点(，1)处的切线方程解：f(x)e2x1(2x1)2e2x1，f()2，曲线f(x)e2x1在点(，1)处的切线方程为y12(x)，即2xy20.跟踪训练3：曲线f(x)e2xcos 3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程解：f(x)(e2xcos 3x)(e2x)cos 3xe2x(cos 3x)2e2xcos 3xe2x(3sin 3x) e2x(2cos 3x3sin 3x) f(0)2. 则切线方程为y12(x0) 即2xy10若直线l与切线平行可设直线l的方程为2xyc

47、0. 两平行线间的距离dc6或c4. 故直线l的方程为2xy60或2xy40.三练一练1函数y(3x2)2的导数为(D)A2(3x2) B6x C6x(3x2) D6(3x2)2若函数ysin2x，则y等于(A)Asin 2x B2sin x Csin xcos x Dcos2x3若yf(x2)，则y等于(A)A2xf(x2) B2xf(x) C4x2f(x) Df(x2)4设曲线f(x)eax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a2 四课时小结求简单复合函数f(axb)的导数：求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数yf(u)，uaxb的形式，然后再

48、分别对yf(u)与uaxb分别求导，并把所得结果相乘灵活应用整体思想把函数化为yf(u)，uaxb的形式是关键.五作业设计1 下列函数不是复合函数的是(A)Ayx31 Bycos(x)Cy Dy(2x3)42 函数y的导数是(C)A. B. C D3 yex21的导数是(B)Ay(x21)ex21 By2xex21Cy(x21)ex Dyex214 函数yx2cos 2x的导数为(B)Ay2xcos 2xx2sin 2x By2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2x Dy2xcos 2x2x2sin 2x5 已知直线yx1与曲线f(x)ln(xa)相切，则a的值为(B)A1 B2 C1 D26 曲线f(x)ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(D)A.e2 B4e2 C2e2 De27 函数y(2 0118x)3的导数y24(2 011