21数列的概念和表示法

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1、 国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放在棋盘第一个格放1 1颗麦粒，在第二个格放颗麦粒，在第二个格放2 2颗麦粒，颗麦粒，在第三个格放在第三个格放4 4颗麦粒，在第四个格放颗麦粒，在第四个格放8 8颗麦粒。以此类颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2 2倍，直到倍，直到6464个个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求. .新课导入新课

2、导入12022232425262728292632622你认为国王能满足他的要求吗？你认为国王能满足他的要求吗？01234632 +2 +2 +2 +2 +2 =？4，5，6，7，8，9，10 从下往上钢管的数目有什么规律？从下往上钢管的数目有什么规律？钢管的总数是多少？如果增加钢管的层数，钢管的总数是多少？如果增加钢管的层数，有没有更快捷的方法求出总数？有没有更快捷的方法求出总数？1-2-3-4-5-6-7-4+5+6+7+8+9+10+= ？ 在本章我们将学在本章我们将学习数列的知识，学完习数列的知识，学完后解决这类问题那是后解决这类问题那是小菜一碟小菜一碟 在自然界和日常生活中，我们经常

3、遇到按照一定次序排成的一列数。各个数间有什么内在规律？这些规律在实际生活中有哪些应用？本章就来讨论这些问题。 数列是初等数学和高等数学的一个数列是初等数学和高等数学的一个衔接点历来是高考考察的重点，突出考衔接点历来是高考考察的重点，突出考察考生的思维能力、逻辑推理能力及解察考生的思维能力、逻辑推理能力及解决问题的能力决问题的能力. .有关数列的试题经常在有关数列的试题经常在数数列知识、函数知识和不等式等知识网络列知识、函数知识和不等式等知识网络的交汇点命题的交汇点命题。学习中应注意应用。学习中应注意应用“联联系系”的思想、从特殊到一般的思想方法的思想、从特殊到一般的思想方法，也要掌握常用方法也

4、要掌握常用方法2.1 数列的概念与表示方法数列的概念与表示方法实例1：下图中的三角形点阵分别代表哪些数？实例2：下图中的正方形点阵分别代表哪些数？ 你能够发现这些数各有什么规律吗？每个数与它所表示的三角形，正方形的序号是什么关系？第第n个个“三角形数三角形数”“”“正方形数正方形数”与其序号与其序号n的关系是一一对应的的关系是一一对应的实例3：观察下列的“符号数”。 -1,1，-1,1，-1,1.以上三个例子的共同特点是什么？均是一列数，并按照一定顺序排列。均是一列数，并按照一定顺序排列。请观察请观察: :(2) 4, 5, 6,7,8,9, .(4) 0, 10, 20, 30, , 100

5、0(6) -1, 1, -1, 1, -1, (5) .,21,32,43,54(7) 66, 56, 34, 21, 11(1) 1，2， 22 ，23，24，,263(3)15, 5, 16, 16, 28,32 又像这些例子中，都是又像这些例子中，都是1.数列的定义数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项首项），第2项，第n项，2.2.数列的表示：数列的表示：数列的第一个数（第1项）用 a1表示，第二个数用 a2表示，第n个数用an表示，因此数列可表示为：a1,a2,a3,an,.简记作an。用an表示的数列

6、与集合a1,a2,a3,an,有什么区别？1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定的顺序排列。注意:an与an是两个不同的概念。练习练习1.下列实例是否构成数列？、我们班全体同学的身高？、我们班全体同学的姓名按学号的次序排成一列？、我们班全体同学的出生年份按学号的次序排成的一列数？2.给出下列四个命题，其中正确的序号是：、数列1,2,3,5与数列5,3,2,1是相同的数列。、数列1,3,5,7,9，可简记为2n-1.、数列0,2,4,6,8，可简记为2n.、数列111.nknk的第 项为1.根据数列项数的多少进行分类：有穷数列有穷数列

7、：项数有限的数列。如：1,2,3,4,5,6.数列分类数列分类无穷数列无穷数列：项数无限的数列。如：1,2,3,4,5,6，,n,2.根据数列相邻两项的大小进行分类：递增数列递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。递减数列递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。常数数列常数数列：各项相等的数列。摆动数列摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。练习练习下述的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？全体自然数构成数列.0,1,2,3,4， 无穷多个5构成数列.5,5,5,5,5，20072012年我校招收的高一学生人数构成数列.

8、980,1100,1176,1460,1620,1710目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成的数列.（单位：元）100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01(-1)n 构成数列.*()nN-1,1,-1,1,-1,1,数列：4,5,6,7,8,9,10中的项与它的序号是怎样的对应关系？这一对应关系可否用一个式子来表示？序号n: 1 2 3 4 5 6 7项 an: 4 5 6 7 8 9 10 这个数列的项与序号的对应关系可用式子：a an n=n+3 =n+3 来表示能否用列表和图像来表示上述数列？ n1 2 3 4 5 6 7an4 5 6

9、 7 8 9 10此例能看出什么？如图如图通项公式定义通项公式定义 如果数列 的第n项a an n与n n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式通项公式。 na 数列可以看成以正整数集为定义域的函数 ，当自变量从小到大取值时对应的一列函数值。( )naf n 数列的通项公式 反映了一个数列的项an与项数n的函数关系，它具有双重身份：既表示数列的第n项，又是这个数列中所有各项的一般表达式。( )naf n注意注意并不是所有的数列都并不是所有的数列都有通项公式有通项公式如 函数y=7x+9与y=3x，当x依次取1,2,3，时，其函数值构成的数列各有什么特点？写出它们的

10、通项公式，并且分析相邻两项之间的数量关系？79,3nnnanb117,3nnnnbaab练习练习1、已知an满足an=3(3+4n)，写出它的前5项。2、已知an满足a1=1,an=an-12-1(n1),写出它的前5项。3、写出上述三角形数列与正方形数列的通项公式。 4、写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数。(2) 2 、 0 、 2 、0凡是数列中出现有凡是数列中出现有+ +，- -相间的相间的项，在通项中一定有项，在通项中一定有 nn+1-1-1或n+1 1( 1)2an = 1, 0, 1, 0,1, 0, 1, 0,变式变式:根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯

11、一吗？根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯一吗？不唯一例：例：观察下面数列的特点，用适当的数填观察下面数列的特点，用适当的数填 空，并写出空，并写出每个数列的一个通项公式：每个数列的一个通项公式：（1） （ ）,43,32,127,125.31（2）1，2，4，8，（，（ ），），32分析分析(1)(1)根据观察：分母的最小公倍数为根据观察：分母的最小公倍数为1212，把，把各项都改成以各项都改成以1212为分母的分数为分母的分数. .1012nna1212nna16（2 2）一看都是）一看都是2 2的倍数，则要分析是的倍数，则要分析是 2 2的几次幂的几次幂. .练习练习例例:(1) 3

12、，8，15，24，(2)6，66，666，6666， 写出下面数列的通项公式，是它们写出下面数列的通项公式，是它们的前四项分别是下列各数：的前四项分别是下列各数：方法一：方法一： (1) 注意观察各项与对应序号的关系，注意观察各项与对应序号的关系，可以发现：可以发现： 3=13， 8=24， 15=35， 24=46 所以所以方法二：方法二： 本小题也可以与数列本小题也可以与数列4，9，16， 25，(n+1)2比较，得出：比较，得出： (1) 3，8，15，24，分析分析2nan21n(n2) nan(n2)变式：变式：11,4,9,16 25,2 2,5,10,17,26），）， (2)

13、将题设数列与数列将题设数列与数列相比较，可得相比较，可得nna101nn2a(101)3分析：分析：9,99,999,9999,99999 ，10,100,1000,10000,100000 ，1234510 ,10 ,10 ,10 ,10 ， 2 6,66,666,6666,66666 ，总结评述总结评述变式：变式：1 3,33,333,33332 5,55 555,66663 111,111,11114 7,77,777,7777），），） ，），（1）-1，1，-1，1，-1，1，an= (-1)n（2）1，2，3，4，5， ，an= n（3) 2 ，4，6，8，10 ，an= 2n（4

14、）1 ，3，5，7，9 ，an= 2n-1（5）1，4，9，16，25 ，an= n2 (6) 9，99，999，9999 ，an= 10n-11392713927*13()nnaa nN它包含两它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可者缺一不可 如：a1=1,an=2an-1+1(n1) a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n2)（2004上海）上海）根据下列五个图形及相应的点的个数的根据下列五个图形及相应的点的个数的变化规律，试猜想第变化规律，试猜想第n个图形中有个图形中有_个点。个点。思考题思考题：(1) 1nan n练习练

15、习1、已知数列an的首项a1=1，且满足 ，则此数列的第3项是多少？11122nnaan3、已知数列an的通项公式1112,3nnnnaaa 则等于多少？4、已知数列an满足 ，求 通项公式an?111,1nnanaan5、已知数列an满足 ，则 an= ？1111,(1)nnaaan n2、设数列 满足 ，写出这个数列的前5项。 na111,11(1).nnaana 6、已知数列an中，a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n2), 写出这个数列的前5项； 利用上面的数列an ，通过公式 构造一个新数bn试写出bn的前5项。1nnnaba 1 1、数列的概念、数列的概念 数列是按照一

16、定次序构成的一列数，其中数数列是按照一定次序构成的一列数，其中数列中数的有序性是数列的灵魂列中数的有序性是数列的灵魂.2 2、数列的通项公式、数列的通项公式 并非每一个数列都可以写出通项公式；有些并非每一个数列都可以写出通项公式；有些数列的通项公式也并非是唯一的数列的通项公式也并非是唯一的.课堂小结课堂小结 如果数列如果数列 an 中的第中的第n项项an与与n之间的关系可之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式公式.3 3、数列的分类、数列的分类按项分类：按项分类：有穷数列：项数有限有穷数列：项数有限无穷数列：项数无限无穷数列：项数无限na按按 的增减性分类：的增减性分类：递增数列：递增数列：递减数列：递减数列：摆动数列：摆动数列：常数数列：常数数列：课堂小结课堂小结4 4、递推公式、递推公式