单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义课件

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1、4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义问题问题引航引航 1.1.单位圆中是如何定义正、余弦函数的？正、单位圆中是如何定义正、余弦函数的？正、余弦函数的定义域是什么？余弦函数的定义域是什么？2.2.正、余弦函数在各个象限的符号如何确定？正、余弦函数在各个象限的符号如何确定？3.3.任意角的三角函数的定义是什么？任意角的三角函数的定义是什么？1.1.单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数v vu u全体实数全体实数全体实数全体实数2.2.正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号简记：一全正

2、、二正弦、四余弦简记：一全正、二正弦、四余弦. .3.3.任意角的正弦函数、余弦函数任意角的正弦函数、余弦函数(1)(1)前提：设角前提：设角的顶点是坐标系的原点，始边与的顶点是坐标系的原点，始边与x x轴的非负半轴的非负半轴重合，角轴重合，角终边上任一点终边上任一点Q(x,y).Q(x,y).(2)(2)结论：结论：OQOQ的长度为的长度为 且且sin =_sin =_，cos =_.cos =_.22rxy ,yrxr4.4.任意角的正、余弦三角函数任意角的正、余弦三角函数(1)(1)前提：用前提：用x x表示自变量，即表示自变量，即x_x_的大小，用的大小，用y y表示函数表示函数值值.

3、 .(2)(2)结论：任意角的正、余弦三角函数可以表示为结论：任意角的正、余弦三角函数可以表示为y=sin xy=sin x和和y=cos xy=cos x，它们的定义域为，它们的定义域为_._.表示角表示角全体实数全体实数1.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)sin ,cos (1)sin ,cos 中可以将中可以将“”与与“sin”sin”，“cos”cos”分分开开.( ).( )(2)(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.( ).( )(3)(3)角角终边上有一点终边上有一点P(1P(1，1)

4、1)，故，故cos = =1.( )cos = =1.( )11【解析】【解析】(1)(1)错误错误. .符号符号sin ,cos sin ,cos 是一个整体，不能分开是一个整体，不能分开. .(2)(2)正确正确. .终边相同的角的同一三角函数值相等终边相同的角的同一三角函数值相等. .(3)(3)错误错误.P(1,1),x=1,y=1, .P(1,1),x=1,y=1, 故故cos =cos =答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3)(3)r2，12.222.2.做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)已知角已知角终边经过点终边经过点

5、则角则角的最小正值是的最小正值是_._.(2)(2)角角的终边经过点的终边经过点P(m,4)P(m,4)，且，且cos = cos = 则则m=_.m=_.(3)(3)角角满足满足sin 0,cos 0,cos 0sin 0时时,在第一、二象限及在第一、二象限及y y轴正半轴，当轴正半轴，当cos 0cos 0,cos 0,cos 0时，时，在第二象限在第二象限. .答案：答案：二二 【要点探究要点探究】知知 识识 点点 正、余弦函数的定义正、余弦函数的定义1.1.对任意角的三角函数的定义的两点说明对任意角的三角函数的定义的两点说明(1)(1)任意角的三角函数任意角的三角函数y=sin xy=

6、sin x，y=cos xy=cos x都是以角为自变量，都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数以单位圆上的点的坐标为函数值的函数. .可从以下两个方面理可从以下两个方面理解：解：角角( (弧度数弧度数) ) 实数实数. .对于每一个确定的角对于每一个确定的角x x，其终边位置是唯一确定的，与单位，其终边位置是唯一确定的，与单位圆的交点圆的交点P(uP(u，v)v)也是唯一确定的，因此角也是唯一确定的，因此角x x的正弦的正弦( (或余弦或余弦) )函函数值是唯一确定的数值是唯一确定的. .一一对应一一对应(2)(2)任意角的三角函数的概念与锐角三角函数的概念的实质是任意角的三角

7、函数的概念与锐角三角函数的概念的实质是一样的一样的. .锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角的三锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角的三角函数是锐角三角函数的推广角函数是锐角三角函数的推广. .2.2.对正弦、余弦函数在各象限的符号的两点说明对正弦、余弦函数在各象限的符号的两点说明(1)(1)根据正弦、余弦函数的定义可知，正弦、余弦函数在各象根据正弦、余弦函数的定义可知，正弦、余弦函数在各象限的符号是由该角终边上任意一点的坐标的符号确定的限的符号是由该角终边上任意一点的坐标的符号确定的. .横坐横坐标的正负确定余弦函数的符号，纵坐标的正负确定正弦函数的标的正负确定余弦函数的符号，纵

8、坐标的正负确定正弦函数的符号符号. .(2)(2)判断符号，可直接应用角所在的象限进行判断判断符号，可直接应用角所在的象限进行判断. .【微思考微思考】 的大小与点的大小与点P P在角的终边上的位置有关吗？在角的终边上的位置有关吗？提示：提示：无关，只与角的大小有关无关，只与角的大小有关. .h s,r r【即时练即时练】当角当角=0=0时，时，sin =_sin =_；若角；若角=-3=-3，则，则sin sin 的符号为的符号为_(_(填填“正正”或或“负负”).).【解析解析】当角当角=0=0时，时，sin =0sin =0；若角；若角=-3=-3，则角，则角是第三是第三象限角，所以象限

9、角，所以sin sin 0.0.答案：答案：0 0 负负 【题型示范题型示范】类型一类型一 任意角的正弦函数、余弦函数任意角的正弦函数、余弦函数【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014石家庄高一检测石家庄高一检测) )已知角已知角与单位圆的一个交点坐与单位圆的一个交点坐标是标是 则则cos cos 等于等于( )( )(2)(2)已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(P(2,2,4)4)，求角，求角的正、余弦函的正、余弦函数值数值. .1(a,)2，313A. B. C. D.222不确定【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中中 的值是多少的值是多少? ?2.2.题题(2)

10、(2)中角中角是第几象限角？是第几象限角？【探究提示探究提示】1. 1. 2.2.因为点因为点P(P(2,2,4)4)在第三象限，所以角在第三象限，所以角的终边落在第三象的终边落在第三象限，即角限，即角是第三象限角是第三象限角. .221a()2221a()1.2【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选D.D.因为因为 所以所以故故cos =cos =(2)(2)因为点因为点P(P(2,2,4)4)在角在角的终边上，故的终边上，故u u1 1= =2 2，v v1 1= =4 4，可知，可知r=OP=r=OP=所以所以sin =sin =cos =cos =221a()12， 3a.2 3.2

11、22242 5.1v42 5r52 5；1u25.r52 5【延伸探究延伸探究】题题(1)(1)中的条件不变，求中的条件不变，求sin sin 的值的值. .【解析解析】因为角因为角与单位圆的一个交点坐标是与单位圆的一个交点坐标是所以所以sin =sin =1(a,)2，1.2【方法技巧方法技巧】利用三角函数的定义求值的策略利用三角函数的定义求值的策略(1)(1)已知角已知角的终边在直线上求的终边在直线上求的三角函数值时，常用的的三角函数值时，常用的解解题方法有以下两种：题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利

12、用三角函数的定义求出相应的三角函数值三角函数的定义求出相应的三角函数值. .方法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，方法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标取射线上任一点坐标(a,b)(a,b)，则对应角的正弦值，则对应角的正弦值余弦值余弦值22bsin ab， 22acos .ab (2)(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论题的实际情况对参数进行分类讨论. .【变式训练变式训练】已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(2P(2，-3)-3)，则，则

13、cos cos 的值的值是是( )( )【解析解析】选选C.C.角角的终边经过点的终边经过点P(2P(2，-3)-3)，故，故 由三由三角函数的定义知角函数的定义知 故选故选C C332 132 13A. B. C. D.221313OP13；2 13cos 13， 【补偿训练补偿训练】(2013(2013西安高一检测西安高一检测) )已知角已知角为第二象限的角为第二象限的角. .P(a,4)P(a,4)为为终边上一点，且终边上一点，且sin = sin = 则则sin +cos sin +cos 的值的值为为_._.【解题指南解题指南】先求出先求出a a的值，然后求的值，然后求cos cos

14、 即可即可. .45，【解析】【解析】|OP|=r=|OP|=r=由由sin = sin = 得得所以所以a=a=3.3.又又为第二象限的角为第二象限的角, ,所以所以a=-3,a=-3,所以所以cos =cos =所以所以sin +cos =sin +cos =答案：答案：22a4 ，452244,5a42233,5a4 431.55515类型二类型二 三角函数值的符号的应用三角函数值的符号的应用【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014西安高一检测西安高一检测) )已知角已知角是第二象限角，则点是第二象限角，则点P(sin ,cos )P(sin ,cos )在第在第_象限象限.

15、 .(2)(2)确定下列各式的符号确定下列各式的符号. .cos 200cos 200. .sin 160sin 160+cos(-40+cos(-40).).sin 210sin 210cos 260cos 260. .【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中角中角的正、余弦值的符号如何？的正、余弦值的符号如何？2.2.题题(2)(2)中角中角4040,160,160,200,200,210,210,260,260的终边分别落的终边分别落在第几象限？在第几象限？【探究提示探究提示】1.1.第二象限角的正弦为正，余弦为负第二象限角的正弦为正，余弦为负. .2.2.角角4040的终边在第四

16、象限，角的终边在第四象限，角160160的终边在第二象限，的终边在第二象限，角角200200,210,210,260,260的终边都在第三象限的终边都在第三象限. .【自主解答自主解答】(1)(1)因为角因为角是第二象限角，所以是第二象限角，所以sin sin 0 0，cos cos 0 0，所以点，所以点P P的坐标符号是的坐标符号是(+,(+,) )，所以点，所以点P P在第四象在第四象限限. .答案：答案：四四(2)(2)200200为第三象限的角，为第三象限的角，所以所以cos 200cos 2000.0.160160为第二象限的角，为第二象限的角，所以所以sin 160sin 160

17、0.-400.-40为第四象限的角，为第四象限的角，所以所以cos(-40cos(-40) )0,0,所以所以sin 160sin 160+cos(-40+cos(-40) )0.0.210210为第三象限的角，为第三象限的角，sin 210sin 2100,0,260260为第三象限的角，为第三象限的角，所以所以cos 260cos 2600,0,所以所以sin 210sin 210cos 260cos 2600.0.【方法技巧方法技巧】正弦、余弦函数值的正负规律正弦、余弦函数值的正负规律【变式训练】【变式训练】确定下列各式的符号确定下列各式的符号. .(1)sin 2 014(1)sin

18、2 014.(2) (3)sin 4cos 4.(2) (3)sin 4cos 4.【解题指南解题指南】先确定各角所在的象限，然后判断符号先确定各角所在的象限，然后判断符号. .11cos.6【解析】【解析】(1)2 014(1)2 014=360=3605+2145+214, ,所以所以2 0142 014为第三象限的角为第三象限的角, ,所以所以sin 2 014sin 2 0140.0.(2) (2) 为第四象限的角为第四象限的角, ,所以所以cos cos 0.0.(3)4(3)4所以所以4 rad4 rad为第三象限的角为第三象限的角. .所以所以cos 4cos 40 0，sin

19、4sin 40.0.所以所以sin 4sin 4cos 4cos 40.0.1161163()2，【补偿训练】【补偿训练】sin(sin(140140)cos 740)cos 740的值的值( )( )A.A.大于大于0 B.0 B.等于等于0 0 C.C.小于小于0 0 D.D.不确定不确定【解析】【解析】选选C.C.140140是第三象限角，所以是第三象限角，所以sin(sin(140140) )0 0，740740=2=2360360+20+20，所以，所以740740是第一象限角，所以是第一象限角，所以cos 740cos 7400 0，所以，所以sin(sin(140140)cos

20、740)cos 7400.0.【易错误区易错误区】处理三角函数问题时忽视参数的符号致误处理三角函数问题时忽视参数的符号致误 【典例典例】(2014(2014泰安高一检测泰安高一检测) )已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(P(3m,m)(m0)3m,m)(m0)，则，则sin =_.sin =_.【解析解析】由题意得：由题意得：|OP|=|OP|=当当m m0 0时，时，|OP|=|OP|=则则sin =sin =当当m m0 0时，时，|OP|=|OP|=则则sin =sin =答案：答案： 或或223mm10 m，10 m10m，m10.1010m10 m10m，m10.1010m10

21、101010【常见误区常见误区】错解错解 错错 因因 剖剖 析析 忽略了对阴影处参数忽略了对阴影处参数m m的取值符号的讨论，的取值符号的讨论，而得到错误结果而得到错误结果 忽略了对阴影处参数忽略了对阴影处参数m m的取值符号的讨论，的取值符号的讨论，同时记错正弦定义式，而得到错误结果同时记错正弦定义式，而得到错误结果. .10103 1010【防范措施防范措施】1.1.准确理解定义准确理解定义要从定义的内涵和外延准确把握定义，同时对三角函数的定义要从定义的内涵和外延准确把握定义，同时对三角函数的定义的形式要准确记忆，如的形式要准确记忆，如 和和 不能混淆不能混淆. .2.2.分类讨论的意识分

22、类讨论的意识在化简过程中，对字母参数要注意分类讨论，做到不重不漏，在化简过程中，对字母参数要注意分类讨论，做到不重不漏，如本例中对字母参数如本例中对字母参数m m的讨论的讨论. . ysin r xcos r 【类题试解类题试解】已知角已知角的终边过点的终边过点P(-3aP(-3a，4a)(a0)4a)(a0)，则，则cos =_.cos =_.【解析解析】由题意可得：由题意可得：|OP|=|OP|=当当a a0 0时，时，|OP|=5a|OP|=5a，则，则当当a a0 0时，时，|OP|=-5a|OP|=-5a，则，则答案：答案： 或或223a4a5 a .3a3cos .5a5 3a3cos .5a5 3535