191多边形内角和(沪科版)

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1、v 由平面内平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做三 角 形三角形的定义:边数若多于三条,那么将是什么图形?怎样定义？多边形: 类比推理，得出概念:四四边五五边若干多边顶点顶点内角内角边边对角线对角线(连接不相邻两个顶点的线段连接不相邻两个顶点的线段)外角外角 一个多边形，如果把它任何一边双向延长，一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的其他各边都在延长所得直线的同旁同旁，这样的，这样的多边形多边形 叫做叫做凸多边形凸多边形。图图 2图1 我们所研究的多边形都指我们所研究的多边形都指凸多边形凸多边形看一看看一看四边形四边形五边形五边形六边形六边形

2、八边形八边形ABDCBADCFEDCBAEAHGFEDCB记作：四边形记作：四边形ABCD记作：五边形记作：五边形ABCDE记作：六边形记作：六边形ABCDEF记作：八边形记作：八边形ABCDEFGH想一想：想一想：观察下面多边形，它们的边，角有什么特点？观察下面多边形，它们的边，角有什么特点？ 在平面内，内角都相等，边也都在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做相等的多边形叫做正多边形正多边形我们知道三角形内角和是多少？我们知道三角形内角和是多少？ 直角三角形直角三角形正三角形正三角形与形状有关吗？与形状有关吗？ 动手操作，探索新知:（2）长方形、正方形的内角和是多少？）长方形、正方形的

3、内角和是多少？ 490=360 能猜想任意凸四边形内角和吗？能猜想任意凸四边形内角和吗？ ABCD你有没有什么方法证你有没有什么方法证明你的猜想？明你的猜想？任意凸四边形内角和任意凸四边形内角和过一个顶点画对角线过一个顶点画对角线1 1条，得到条，得到2 2个三个三角形，内角和为角形，内角和为2 2180180=360=3600 0任意凸四边形内角和任意凸四边形内角和画画2 2条对角线，在四边形内部交于一点，条对角线，在四边形内部交于一点，得到得到4 4个三角形，内角和为个三角形，内角和为4 4180180- -360360 任意凸四边形内角和任意凸四边形内角和若在四边形内部任取一点，如图，也

4、若在四边形内部任取一点，如图，也可以得到相应的结论可以得到相应的结论 任意凸四边形内角和任意凸四边形内角和这个点还可以取在边上（若此点与顶这个点还可以取在边上（若此点与顶点重合，转化为第一种情况点重合，转化为第一种情况连接对连接对角线）角线）内角和为内角和为3 3180180-180-180对比以上方法，你认为哪一种更容易操作？ A BCDE想一想想一想这个五边形的内角和呢？这个五边形的内角和呢？1800 3 = 5400你能动手做一做吗你能动手做一做吗? ? 你能仿照五边形分割成三角形的方你能仿照五边形分割成三角形的方法，选出你认为最简单的一种分割六法，选出你认为最简单的一种分割六边形并求其

5、内角和吗边形并求其内角和吗? ABCDEF1800 4 = 7200按照第一种分割的做法来看：按照第一种分割的做法来看：归纳总结归纳总结多边多边形边形边数数从一个顶点引出从一个顶点引出对角线数对角线数图形图形分割成的分割成的三角形个三角形个数数多边形的内角和多边形的内角和456.n221800331800441800n-2(n-2)1800123n-定理：定理：n边形的内角和等于边形的内角和等于 （n一一2）180(n为不小于3的整数)例例1 1：一个多边形的内角和是一个多边形的内角和是18001800度度，求这个多，求这个多 边形的边数边形的边数. . 解：解：设这个多边形的边数为设这个多边

6、形的边数为n n，根据题意，根据题意，得，得(n 2) 180= 1800(n 2) = = 10n = = 12答答: :这个多边形的边数为这个多边形的边数为1212. .八八练习：练习：如图，求如图，求A+ +ABC+BC+C+C+D+D+E+ +EFG FG + + G G 的度数的度数. . 解：解： A ABC+BC+C+C+D+D+2 = 3602 = 360且且E+ +EFGFG + +1+1+3 = 3603 = 3601 = 1 = A + A + G G2 + 2 + 3 = 1803 = 180A+ +ABC+BC+C+C+D+D+E+ +EFGFG+ +G G = =

7、360360 + + 360360 180180= 540= 540想一想：想一想：一个同学在进行多边形内角和计算一个同学在进行多边形内角和计算 时，求得的内角和为时，求得的内角和为11251125度，当发度，当发 现错了之后，重新检查，发现少加现错了之后，重新检查，发现少加 了一个内角了一个内角. .请你通过计算回答这请你通过计算回答这 个多边形是几边形？个多边形是几边形？ 我们知道，三角形具有稳定性。但是四边形就不具有我们知道，三角形具有稳定性。但是四边形就不具有稳定性（即边长确定后，但图形形状不能确定）如图。稳定性（即边长确定后，但图形形状不能确定）如图。在日常生活中四边形的不稳定性也有

8、广泛的应用，例在日常生活中四边形的不稳定性也有广泛的应用，例如活动的铁栅栏门，正是由于四边形可以变动，所以如活动的铁栅栏门，正是由于四边形可以变动，所以它可以拉开。也可以收拢。你能举出应用四边形的不它可以拉开。也可以收拢。你能举出应用四边形的不稳定性的其他应用吗？稳定性的其他应用吗？问题问题 大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步的效果图按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并请你观察并思考如下几个问题思考如下几

9、个问题:(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们体转过的角是哪个角？在图中标出它们.ABCDE12345(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？(3)在上图中，你能求出在上图中，你能求出1+2+3+4+5的大小的大小吗？你是怎样得到的？吗？你是怎样得到的？探索探索 （1 1）什么是三角形的外角？外角有什么性）什么是三角形的外角？外角有什么性质？质？ （2 2）类似地，在多边形中找出）类似地，在多边形中找出外角外角DEABCF多边形的一边与另一边的多边形的一边与另一边的延长线的夹

10、角，叫做延长线的夹角，叫做多边多边形的外角形的外角。 多边形外角与相邻内角之间有什么关系？多边形外角与相邻内角之间有什么关系？各内角与相邻外角各内角与相邻外角互为邻补角互为邻补角 例例 如图，在六边形的每个顶点处各取一如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和六边形的外角和等于多少？和六边形的外角和等于多少？1 12 23 34 4A A B BC CD DE EF F5 56 n边形外角和是多少度边形外角和是多少度?探探 究究 发发 现现 外角和外角和=n个平角个平角-内角和内角和 结论：结论：n边形的外角和等于边形的外角和等于

11、360=n180-(n-2) 180=360 例例2：一个多边形的内角和等：一个多边形的内角和等 于它的外角和的于它的外角和的3倍，它倍，它 是几边形？是几边形？解：设它是解：设它是n边形，则边形，则(n-2).180=3360解得：解得：n=8答：它是答：它是8边形边形（1 1）一个多边形的每一个外角都是）一个多边形的每一个外角都是60600 0，这个多，这个多边形是几边形？它的内角和等于多少度边形是几边形？它的内角和等于多少度? ? (2)(2)有没有这样的多边形，它的内角和是外角和有没有这样的多边形，它的内角和是外角和的的3 3倍？倍？ （3 3）一个多边形的每一个外角都相等，且每）一个

12、多边形的每一个外角都相等，且每一个内角都比外角大一个内角都比外角大90900 0，求这个多边形的边数，求这个多边形的边数和每个内角的度数。和每个内角的度数。 1. 三角形三个内角的度数分别是（三角形三个内角的度数分别是（x+y)o, (x-y)o,xo,且且xy0,则该三角形有一个内则该三角形有一个内角为角为 （）（）A、30OB、45OC、60OD、90O2.一个正多边形每一个内角都是一个正多边形每一个内角都是120o，这个，这个多边形是（）多边形是（）A、正四边形正四边形B、正五边形、正五边形C、正六边形、正六边形D、正七边形、正七边形CC一个多边形木板，截去一个三角形后（截线不一个多边形

13、木板，截去一个三角形后（截线不经过顶点），得到新多边形内角和为经过顶点），得到新多边形内角和为2160o，则，则原多边形的边数为（原多边形的边数为（）A、13条条B、14条条C、15条条D、16条条4. 下列说法中，错误的是（下列说法中，错误的是（ ）A、一个三角形中至少有一个角不大于、一个三角形中至少有一个角不大于60O；B、有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形；、有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形；C、三角形的外角中必有两个角是钝角；、三角形的外角中必有两个角是钝角；D、锐角三角形中两锐角的和必然小于、锐角三角形中两锐角的和必然小于60O；AD5.5.小明绕五边形各边走一圈，他共转了小明

14、绕五边形各边走一圈，他共转了_ _ _度。度。6.6.下列正多边形下列正多边形（1 1）正三角形（正三角形（2 2）正方形（）正方形（3 3）正）正五边形（五边形（4 4）正六边形，其中用一种正多边形能）正六边形，其中用一种正多边形能镶嵌成平面图案的是镶嵌成平面图案的是；360（1）、（）、（2）、（）、（4） 7. 7.如下图，如下图，ADAD是是BCBC边上的高，边上的高，BEBE是是 ABDABD的角平分线，的角平分线，1=401=40，2=302=30，则，则C=C=_ _ _BED=BED= 。6560ABCD1 2E8 8、两个多边形的边数比是、两个多边形的边数比是1:2,1:2,

15、两个多边形两个多边形的内角和为的内角和为14401440度度, ,求这两个多边形的边数求这两个多边形的边数, ,9、（、（1）如果一个多边形）如果一个多边形的内角和是的内角和是14400，那么这，那么这是是 边形边形。解：由多边形的内角和公式可得解：由多边形的内角和公式可得（n - 2） 1800 = 14400 (n - 2) = 8 n = 10这是十边形。这是十边形。十十（2）若）若n边形的内角和是边形的内角和是144n0，那么，那么n= .10解：由多边形的内角和公式可得：解：由多边形的内角和公式可得：(n - 2) 1800 = 144n0n = 10（3）已知一个多边形的每一个内角

16、都是）已知一个多边形的每一个内角都是156，则它的边数为。，则它的边数为。15解：由多边形的内角和公式可得解：由多边形的内角和公式可得（n - 2） 1800 = 156n0 n = 1510、在四边形、在四边形ABCD中，中，A=1200，B：C：D = 3：4：5，求，求B，C，D的度数。的度数。解：设解：设B，C，D的度数分别是的度数分别是3x, 4x , 5x 度，由度，由四边形的内角和等于四边形的内角和等于3600可得：可得： 120 + 3x + 4x + 5x = 360 12x = 240 x = 20 3x = 60 4x = 80 5x = 100答：答：B，C，D分别为分

17、别为600，800, 1000。课堂小结课堂小结（1）通过本节课的学习，你学到了哪些）通过本节课的学习，你学到了哪些知识和方法？知识和方法？（2）你认为这节课中最大的收获是什么？）你认为这节课中最大的收获是什么？ （3）你还有哪些疑惑或不足？）你还有哪些疑惑或不足？知识：知识：多边形的有关概念；多边形的有关概念；多边形内角和公式；多边形内角和公式；方法：方法：类比，转化，归纳类比，转化，归纳作业：试一试试一试练练你的练练你的“本领本领”有一把锋利的有一把锋利的“小刀小刀”，把你，把你 的课桌（四边形）一个角削去，的课桌（四边形）一个角削去，剩下的课桌是一个几边形？它剩下的课桌是一个几边形？它的内角和是多少？的内角和是多少？ABCDEFMN思考：如图，某小区居民小区搞绿化，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为1米的花坛，小区绿化组长想先求出花坛的面积，再根据面积买花苗。你能帮组长求花坛的面积吗？（结果保留 ）日日行，不怕千万里；常常做，不怕千万事。