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1、毕业论文数学中的化归思想方法例谈化归法在解题中的运用 姓名： 摘要：所谓“化归”从字面上可以理解为转化和归结。把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。“化归”方法很多，有分割法，映射法，恒等变形法，换元变形法，参数法，数形结合法等等，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。关键词： 转化 变形 还原 化归法 实现化归一化归法概述 数学是探求、认识和刻划自然规律的重要工具。在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。
2、它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于习题的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出习题解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。 这就是在数学方法论中我们学习到的一种新的思维方法化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，“化归”方法在中学数学教材
3、中是普遍存在，到处可见，与中学数学教学密切相关。如在引入“三角形内角和定理”时，可把三角形的三个角剪下来，可以拼成一个平角，这就是转化，也可用下法引入，如下图（1）中：ab，则12？（180），图（2）中12与180的关系？（小于），少掉的那部分到哪儿去了？（3，即4）于是有124180，充分运用了知识间内在联系，使新旧知识得到顺利转化。 1a14a2b23 b 图(1) 图(2)所谓“化归”从字面上可以理解为转化和归结。在数学方法中所论及的“化归”方法是指数学家在解决问题的过程中，不是对问题进行直接攻击，而是把待解决的问题进行变形，转化，直到归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最
4、终求获原问题解答的一种手段和方法。张奠宙、过伯祥著的数学方法论稿中指出：“所谓化归方法，是将一个问题A进行变形，使其归结为另一个已能解决的问题B，既然B已可解决，那么A也就能解决了”。匈牙利著名数学家P罗莎在她的名著无穷的玩艺一书中曾对“化归法”作过生动的比拟。她写道：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧水，你应当怎样去做？”。正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”接着罗莎又提出第二个问题：“假设所有的条件都不变，只是水壶中已有了足够的水，这时你应该怎样去做？”。对此，人们往往回答说：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”但罗莎认为这并不是最好的
5、回答，因为“只有物理学家才这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并且声称我已经把后一问题化归成先前的问题了。”罗莎的比喻固然有点夸张，但却道出了化归的根本特征：在解决一个问题时人们的眼光并不落在问题的结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，尽管向前走两步，也许能达到目的，但我们也情愿退一步回到原来的问题上去。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。化归思想方法被古住今来许多科学家、实际工作者所重视，十七世纪法国数学家笛卡尔经过长期
6、思考，创造了解析几何理论，他的理论基础就是利用坐标系把带有两个未知数的代数方程看成平面上的一条曲线，从而利用代数方法研究几何问题。实际上，笛卡尔正是运用化归的思想方法才创立了解析几何学。二化归的基本方法“化归”方法很多，有分割法，映射法，恒等变形法，换元变形法，参数法，数形结合法等等，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。因此“化归”的方向应是由未知到已知，由难到易，由繁到简，由一般到特殊。而“化归”的思想实质就在于不应以静止的眼光，而应以运动、变化、发展以及事物间的相互联系和制约的观点去看待问题。即应当善于对所要解决的问题进行变形和转化，
7、这实际上也是在数学教学中辨证唯物主义观点的生动体现。数学中用以实现化归的方法很多，以下我介绍几种主要的方法：1分割法什么是分割法？法国著名数学家笛卡尔说：“把你所考虑的每一个问题按照可能的需要分成若干部分，使它们更易于求解。”这种把要解决的问题分成若干个小问题，然后逐一求解的方法，叫做分割法。一般地说，用分割法解决问题的过程可以归结为如下框图：分割法又分以下几种方法：例1： 在掌握了扇形和三角形这些基本图形的面积计算以后，可以用形体分割法求出比较复杂的图形的面积如求弓形的面积S弓形=S扇形-S三角形例2： 如图：三棱锥P-ABC中，已知：PABC，PA=BC=，PA、BC的公垂线ED=h，求证
8、：三棱锥P-ABC的体积此例可通过对未知成分进行分割来实现化归当连结AD、PD后，就把三棱锥PABC分成两个三棱锥BPAD和CPAD于是2映射法映射法是用以实现化归的一种重要方法，所谓映射，是指在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立某种“对应关系”。利用映射法解决问题的过程为：首先通过映射将原来的问题转化为问题*，然后，在求得问题*的解答*以后，再通过逆映射求得原问题的解。学习了集合与映射后，就用映射来定义函数，而把反函数的概念建立在一一映射的基础上，而确定反函数y=f 1(x)的映射是一个从原函数值域集合到定义域集合上的一个一一映射。例3：求函数的值域解：原函数定义域为X(-, -)(-
9、, +)求出y=的反函数 f 1(x)= 反函数定义域为 (-, )(, +)原函数值域(-, )(, +) 映射法是实现化归的一种重要方法，如由于建立了直角坐标系，使平面上的点与有序实数对，曲线与方程建立了对应关系，使几何问题转化为代数问题。此外复数与复平面上的点、向量也建立起一一对应关系，把向量引进了代数，使复数的代表运算可用向量的几何运算来进行。3恒等变形法在数学解题中，恒等变形占有十分重要的位置，特别是在求解方程或证明一些整除性问题时，利用恒等变形以实现由未知向已知的化归，使我们比较容易地求得问题的解。例4： 解下列方程：(1)2x33x2-2x=0；分析：解上面两个方程，先利用恒等变
10、形把它化为容易求解的方程。 (1)可变为x(2x-1)(x2)=0例5：求证：f(n)n36n211n12 (nN)能被6整除。分析：把原式进行恒等变形，得到f(n)n36n211n12=(n1)(n2)(n3)6从而，只需证明三个连续自然数之积能被6整除即可，而这个问题是大家熟知的。4换元变形法换元变形法用处很多，化简代数式如使用换元法可以简化计算过程，分解因式时使用换元法可以减少项数，便于发现关系，解方程时有些分式方程，指数方程和对数方程通过换元可以变成整式方程。有些高次方程通过换元可以达到降次的目的，有些无理方程通过换元可以去掉或减少根号。证明条件等式时，使用换元容易发现已知条件和待证等
11、式之间的联系。总之换元变形法用处十分广泛，学生应该熟练掌握在解题实践中灵活地、创造性地去运用。例6：已知a、b、c、d、x,都是正数，且x2=a2+b2,y2=c2+d2,求证：xyac+bd证明：由题设，可令a=xcos,b=xsin,c=ycos,d=ysin,(,为锐角)代入待证式右端，利用两角差三角公式得：ac+bd=xycoscos+xysinsin=xycos(-)xy，即xyac+bd当然以上几例远不能概括出化归方法的全貌。转化与化归思想方法是数学中最基本的思想方法。数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，数形结合思想方法体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数方程、不等
12、式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化等等。转化与化归是数学思想方法的灵魂。目标简单化、和谐统一性、目标具体化、标准形式化和低层次化都是化归的原则；各映射法、分割法和变形法都是转化的策略；一般化与特殊化的转化、正与反的转化、实际问题数学化、常量与变量的转化等都是化归的基本策略。正如前面所给出的，实现化归的方法是多种多样的。因此，与前面所举的具体方法相比，更重要的就是应掌握化归的中心思想。这就是说，我们不应以静止的眼光而应以可变的观点去看待问题，即应善于对所要解决的问题进行变形。从所举例子可以看出，化归的中心思想是善于对所要解决的问题进行变形，而所说的变形并不是一种无目的的活动。
13、因此，我们应始终“盯住目标”。即应始终考虑怎样才能达到解决原来问题的目的。例如，怎样才能求出问题中的未知量？怎样才能证明问题中的结论？这就需要我们在确定化归的方向和方法时，既要保持一定的灵活性，多作些必要的尝试，又应有一定的韧性，即只要还有一线希望，就不要轻易放弃已有的工作。另外还应指出，虽然化归法在数学研究中有着十分重要的作用，但也有一定的局限性，并非所有的问题都能通过化归来解决。因此，在应用化归法解决问题时，也应兼顾其它方法的运用。参考文献：1：中学数学思维训练 王家燕等编著 杭州大学出版社2：数学教育中学生创新意识与能力的培养 中学数学教研 2001/33：在数学教学中培养学生良好的思维品质 福建中学数学 1999/84：中学数学教与学（高中版） 扬州大学 2003/55：数学思想方法与建模技巧 兰永胜主编 青岛海洋大学出版社 6：中学数学月刊 苏州大学 2001/86
数学中的化归思想方法——例谈化归法在解题中的运用
