复杂电路等效电路

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1、复杂电阻网络的处理方法在物理竞赛过程中经常遇到，无法直接用串联和并联电路的规律求出整个电路电阻的情况，这样的电路也就是我们 说的复杂电路，复杂电路一般分为有限网络和无限网络。那么，处理这种复杂电路用什么方法呢？下面，我就结合 自己辅导竞赛的经验谈谈复杂电路的处理方法。一：有限电阻网络原则上讲解决复杂电路的一般方法，使用基尔霍夫方程组即可。它包含的两类方程出自于两个自然的结论：（1）对电路中任何一个节点，流出的电流之和等于流入的电流之和。电路中任何一个闭合回路，都符合闭合电欧姆定律。下面我介绍几种常用的其它的方法。1对称性简化所谓的对称性简化，就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的计算

2、。它的效果是使计算得以简化，计 算最后结果必须根据电阻的串、并联公式；电流分布法；极限法等来完成。在一个复杂的电路中，如果能找到一些完全对称的点，那么当在这个电路两端加上电压时，这些点的电势一定是相，充分的利用这一点我们就可以使电路大为简化。 例（1）如图1所示的四面体框架由电阻都为D等的，即使用导线把这些点连接起来也不会有电流（或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响）A、B间的等效电阻。R的6根电阻丝连接而成，求两顶点CA B图2分析:假设在A、B两点之间加上电压，并且电流从A电流入、B点流处。因为对称性，图中 CD两点等电势，或者说C、D间的电压为零。因此，CD间的电阻实际上不起作用

3、，可以拆去。原网络简化成简单的串、并联网络，使问题迎刃而解。解：根据以上分析原网络简化成如图2所示的简单的串、并联网络，由串、并联规律得Rab=R/2例（2）三个相同的金属圈两两正交地连成如图所示的形状，若每一个金属圈的原长电阻为R,试求图中A、B两点之间的等效电阻。A图3图41#分析：从图3中可以看出，整个电阻网络相对于AB的电流流入、流出方式上具有上下对称性，因此可上下压缩成如图所时的等效减化网络。从如图4所示的网络中可以看出，从 A点流到0电流与从0点到B电流必相同；从 A1点流到0电流与从0点到B1电流必相同。据此可以将0点断开，等效成如图5所示的简单网络，使问题得以求解。 解：根据以

4、上分析求得 Rab=5R/48例（3）如图6所示的立方体型电路，每条边的电阻都是R。求A、G之间的电阻是多少？分析：假设在A、G两点之间加上电压时，显然由于对称性D、B、E的电势是相等的，C、F、H的电势也是相等的，把这些点各自连起来，原电路就变成了如图7所示的简单电路。|H HD一 C1|LiAEF2解:由简化电路，根据串、并联规律解得Rag=5R/6(同学们想一想，若求A、F或A、E之间的电阻又应当如何简化？)例(4)在如图8所示的网格形网络中，每一小段电阻均为R,试求A、B之间的等效电阻 Rab。BA图8C图9DR/4R /4R/2R/2OBR / 2AR /25图11图10分析:由于网

5、络具有相对于过B对角线的对称性,可以折叠成如图9所示的等效网络。而后根据等电势点之间可3#以拆开也可以合并的思想简化电路即可。解法(a):简化为如图9所示的网络以后，将 3、O两个等势点短接，在去掉斜角部位不起作用的两段电阻，使之等 效变换为如图10所示的简单网络。最后不难算得Rao=Rob=5R/14Rab = Rao+Rob=5R/7O点上下断开，如图11所示，最后不难算得解法(b):简化为如图所示的网络以后，将图中的Rab=5R/72:电流分布法设定电流I从网络A电流入，B电流出。应用电流分流思想和网络中任意两点之间不同路径等电压的思想，建立以1Ji1I12R占RI I 3RA 12R1

6、T2R I5-1OC网络中的各电阻的电流为未知量的方程组，解出各电流I的比例关系，然后选取A到B的某一路经计算 A、B间的电压，再由 Rab=Uab/Iab即可算出Rab 例：有如图12所示的电阻网络，求 A、B之间的电阻Rab分析：要求A、B之间的电阻 Rab按照电流分布法的思想，只要设上电流以 后，求得A、B间的电压即可。图12解：设电流由A流入，B流出，各支路上的电流如图所示。根据分流思想可得12=1-1 113=12-11=1-21 1A、O间的电压，不论是从 AO看，还是从ACO看，都应该是一样的，因此 l1(2R)=(l-l 1)R+(I-2I 1)R 解得 I1=2I/5取AOB

7、路径，可得 AB间的电压Uab=I1*2R+I 4*R根据对称性14=12=1-1 1=3I/5所以 Uab=2I/5*2R+3I/5*R=7IR/5Rab=U ab/I=7R/5这种电流分布法事实上已经引进了基尔霍夫定律的思想，所以有一定的一般性。3: Y变换复杂电路经过 Y变换，可以变成简单电路。如图13和14所示分别为网络和Y网络，两个网络中得 6个电阻满足怎样的关系才能使这两个网络完全等效呢所谓完全等效，就是要求Uab=Uab,Ubc=U bc,U ca=Uca|j=lA,lb=lB,lc=lc在Y网络中有l aRa-l bRb=U abl cRc-l aRa=U cal a+l b

8、+ l c=0解得 la=RcU ab/(R aRb+RbRc+RcRa)+ R bUca/(RaRb+RbRc+RcRa) 在网络中有Iab=Uab/RabIca=U ca/RcaIa=Iab-Ica解得 |a= (U ab/Rab ) - ( Uca/Rca ) 因为要求la=|A，所以RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+ RbU ca/(RaRb+RbRc+RcRa)=( Uab/Rab ) - ( U ca/Rca )又因为要求Uab= UAB , Uca= UcA所以要求上示中对应项系数相等，即Rab =(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rc ( 1 )RcA =(RaR

9、b+RbRc+RcRa)/ Rb ( 2)用类似的方法可以解得RBc=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Ra(3)(1)、(2)、( 3)三式是将 Y网络变换到 网络的一组变换式。在(1)、(2)、( 3)三式中将Rab、RBc、RcA作为已知量解出Ra、Rb、Rc即可得到Ra=RAB *Rca/(R AB+ Rbc + RcA)(4)Rb=RAB*R bc/(Rab+Rbc+Rca) ( 5) Rc=Rbc*R ca/(Rab +Rbc+Rca)(4)、( 5)、(6)三式是将网络变换到Y网络的一组变换式。 例(1)求如图15所示双T桥网络的等效电阻(6)BY分析：网络元变换成两个小的 网

10、络元，再直接用串、并联规律求解即可。 解:原网络等效为如图16所示的网络，由此可以算得4:电桥平衡法如图19所示的电路称为惠斯通电桥，图中Rab=118/93 QR1、R2、G是灵敏电流计。当电桥平衡(即灵敏电流计的示数为零)为电桥平衡。这时有丨1 = 1 2,有这些关系可以得到对称性不明显的电路,13=14, l1R| = l3R3, l2R2=l4R4RR2=R3/R4上式称之为电桥平衡条件，利用此式简化 十分方便。BR3、R4分别叫电桥的臂, 的时候，我们称之5#例:有n个接线柱，任意两个接线柱之间都接有一个电阻R求任意两个接线柱之间的电阻。分析：粗看本题根本无法求解，但是能充分利用电桥

11、平衡的知识，则能十分方便得求解。解：如右图所示，设想本题求两接线柱A、B之间的等效电阻，根据对称性易知，其余的接线柱 CDE-中，任意两个接线柱之间的电阻无电流通过，故这些电阻 都可以删除，这样电路简化为:A、B之间连有电阻 R,其余(n-2)个接线柱之间仅有电阻分别与A、B两点相连，它们之间没有电阻相连。即1/Rab=1/R+1/2R/( n-2)所以RAB=2R/n二：无限电阻网络无限电阻网络分为线型无限网络和面型无限网络，下面我们就这两个方面展开讨论1线型无限网络所谓“线型”就是一字排开的无限网络，既然研究对象是无限的，就可以利用“无限”这个条件，再结合我们以上 讲的求电阻的方法就可以解

12、决这类问题。例（1）如图所示的电路是一个单边的线型无限网络，每个电阻的阻值都是R,求A、B之间的等效电阻 Rab .图21Rab应该等于从CD往右看的电阻Rcd解:因为是“无限”的，所以去掉一个单元或增加一个单元不影响等效电阻即Rab=2R+R*R cd/（R+Rcd）=Rcd整理得Rcd2-2RRcd-2R2=0解得：Rcd=（ 1+31/2）R= Rabr求a、b两点之间的电阻。例（2）一两端无穷的电路如图22所示，其中每个电阻均为7解：此电路属于两端无穷网络，整个电路可以看作是由三个部分组成的，如图所示，则1 1/2 Rab=（2Rx+r）r/（2Rx+2r）即是无穷网络，bb之间的电阻

13、仍为Rx贝VRx=（3 -1）r代入上式中解得Rab= （6-31/2） *r/62:面型无限网络解线性无限网络的指导思想是利用网络的重复性，而解面型无限网络的指导思想是利用四个方向的对称性。例（1）如图27所示是一个无穷方格电阻丝网络的一部分，其中每一小段电阻丝的阻值都是R求相邻的两个结点 A、B之间的等效电阻。分析：假设电流I从A点流入，向四面八方流到 无穷远处，根据对称性，有1/4电流由A点流到B点。假设电流I经过无限长时间稳定后再由四面 八方汇集到 B点后流出，根据对称性，同样有1/4电流经A点流到B点。解:从以上分析看出，AB段的电流便由两个1/4叠加而成，为1/2因此A、B之间的等

14、效电阻Rab=Uab/I=/2AB*图27Uab=(I/2)*例（2）有一无限平面导体网络，它有大小相同的正六边型网眼组成，如下图所示。所有正六边型每边的电阻均为R0，求间位结点a、b间的电阻。分析：假设有电流I自a电流入，向四面八方流到无穷远处，那么必有I/3电流由a流向c,有I/6电流由c流向b.再假设有电流I由四面八方汇集b点流出，那么必有解：将以上两种情况结合，由电流叠加原理可知Iac=I/3+I/6=I/2（由 a 流向 c）lcb=l/3+l/6=l/2（由 c 流向 b）因此ab之间的等效电阻为I/6电流由f流向c,有I/3电流由c流向b.13f4d5,69 b .28Rab=U ab/I=(I acR 0+I cbR 0)/I=R 09