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1、论三视图还原的方法和技巧摘要：高考数学试题中出现一类由已知三视图求几何体相关量的题型，其目的是考查学生的识图及空间想象能力。而对于空间想象能力弱的学生来说，处理三视图还原的问题非常棘手。为了帮助学生更好地掌握三视图还原成实物图，从简单几何体出发总结了一些常见几何体三视图还原的规律和方法。关键词：三视图还原；简单几何体；组合体；外轮廓线；长方体；直三棱柱中图分类号：TH126 文献标识码：A 文章编号：1671-5551（2016）30-0124-02 高考数学试题中出现一类由已知三视图求几何体相关量的题型，其目的是考查考生的识图及空间想象能力。要求考生识别三视图所表示的几何体模型，利用斜二测画
2、法画出直观图，并能准确地计算出几何体的相关量。对于空间想象能力稍差的考生来说，处理这类问题非常棘手。难点就在于三视图的还原，紧接着是三视图中给出的数量和点线位置关系与实物图中的数量和点线面位置关系如何对应。纵观近几年的高考试题，三视图考查的主要是一些常见阿德简单几何体和简单组合体。为了帮助学生更好地掌握三视图还原成实物图，本文从简单几何体出发总结了一些常见几何体三视图还原的规律和方法。1 简单几何体的三视图还原规律“万变不离其宗”，要掌握组合体的三视图还原首先就要搞清楚简单几何体的三视图还原规律，简单几何体主要包括柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、台体（圆台、棱台）、球体。它们的三视图还
3、原规律如下：（1） 三视图中如果有两个识图是矩形，那么该几何体为柱体。若第三个视图是圆形，该几何体为圆柱，否则为棱柱。（2） 三视图中如果有两个视图是三角形，那么该几何体为锥体。若第三个视图是圆形，则该几何体为圆锥，否则为棱锥。（3） 三视图中如果有两个视图是梯形，那么该几何体为台体，若第三个视图是圆形，则该几何体为圆台，否则为棱台。球体的三视图都是圆形，最容易识别。根据以上规律，可以快速地还原简单几何体的三视图。2 简单组合体的三视图还原方法 简单组合体有两种基本的组成形式；（1）将简单几何体拼接成组合体，称为叠加式；（2）从简单几何体中切掉或挖掉部分构成的组合体，称为切割式。叠加式的组合体
4、可以采用“化整为零”的方法，把组合体的三视图划分成一个个简单几何体的三视图，按照上面所说的“简单几何体三视图的还原规律”把它们还原成简单几何体，再组合在一起，就得到了组合体的三视图，该方法对于学生来说容易理解和掌握，在此就不举例说明了。本文主要针对切割式三视图还原的方法进行论述。切割式组合体三视图还原的题目类型灵活易变，考生处理这类问题时很容易出错。问题集中于两方面；第一、该组合体是由哪种简单几何体切割形成的；第二，三视图中轮廓线内部的实线和虚线在原来的几何体中是怎样切割形成的。下面针对上述两个问题进行论述，总结切割式组合体还原实物图的方法和技巧。该方法的具体过程如下：2.1 首先要确定是由哪
5、种简单几何体切割形成的“万变不离其宗”，我们仍然可以沿用简单几何体三视图还原规律来确定。但需要注意的是，关注三视图的外轮廓线即可，其内部细节暂时不要细究。有时可适当将切割体的三视图补成我们熟悉的简单几何体三视图形式。2.2 对照三视图，在确定好的简单几何体上确定好切割的切入点，以及线和面这一步骤中涉及到对应的点，线，面是从哪里切，如何切得问题，我们可以通过三视图的绘制方法逆向来推理。在三视图中可见的轮廓线画实线，看不见得轮廓线画虚线。根据这一特征进行逆向思维，三视图还原成实物图是，实线应当是正面可看到的，若是切割的话也应当是从正面切出来的，虚线意味着是从背面切出来的。归结于一句话“实线当面切，
6、虚线背后切”。2.3 切完后，再逐个对照三视图进行检验，下面举例说明该方法在高考题中的运用例1（2014浙江文5）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图1所示，则该几何体的体积是（ ）A108 B.100 C.92 D.84EDCABF图2图124342分析：第一步：根据三视图可确定该几何体是由长方体切割形成。第二步：画出长方体。主视图内部有一条自上方到左下方的实线。长方体中主视图对应面，据此在长方体中，从线段、上选取E，F两点，满足数量，并连接EF。左视图对应面，左视图内部自左顶点到右下方的实线对应长方体中的线段DE。同理，俯视图内部的实线对应长方体中的线段DF。线段DE，DF，EF确定面故
7、该几何体是由长方体切割掉一个三棱锥而成。第三步：该几何体体积为：，答案：。基本上考生都能看出来例是由长方体切割出来的，第一步没有难度。难点在第二步切割的时候，抓住“实线当面切，虚线背后切”，以及高平齐、宽相等，长对正的原则。在其他试题中，需要在第一步对三视图利用补齐的办法，使之成为简单几何体的三视图。下面举例进行说明，并说明三视图轮廓线内部含有虚线该怎么切割还原。例2（2014重庆文7）某几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积为（ ）BACD图4A.12 B.18 C.24 D.302453图3分析：第一步,三视图中有一个矩形一个直角梯形和一个直角三角形，没有简单几何体与之对应。我们知道切
8、割体是由简单几何体变化而来，两者之间的三视图具有某种关系，故我们可以先把直角梯形补成矩形，从而与直三棱柱的三视图对应 。第二步：作出直三棱柱。由正视图在线段上选取点D，满足，并连接。左视图内部自左顶点到右下方有一条虚线，虚线是从左方正投影看不到的边界线，故此条线一定不在左视图的对应面上，必在面上，即为线段。此时可确定切割面即为面。故该几何体是由直三棱柱切割掉一个三棱锥而成。第三步：该几何体体积为：。答案：C。三视图的还原主要考查的就是学生的空间想象能力，而对于空间想象能力差的学生来说，根据三视图想象实物图非常困难。但是不能因此就丧失信心和兴趣。要学会化繁为简，化难为易。以上为大家总结了三视图还原的一些常用方法，对于高中阶段出现的大部分问题都可以解决。最重要的是帮助学生找到一条解决这类问题的切入点和思路，是凭空想象变得有迹可循。面对复杂的题目，要从我们已经掌握的内容入手，抽丝剥茧找出规律。高中的学习是对初中所学内容的进一步提升，难度必然有所上升。所以我们对于课本的知识掌握不能仅停留在表面，要经常进行反思和总结，找出知识点的共性和联系。2453图3BACD图4图124342EDCABF图2
论三视图还原的方法和技巧
