高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 直线、平面垂直的判定与性质课件 理

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1、考点一直线与平面垂直的判定与性质考点一直线与平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果直线l和平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面垂直,记作l.(2)直线与平面垂直的判定方法a.判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线就垂直于这个平面.b.结论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.用符号可表示为:b.a ba知识清单(3)直线与平面垂直的性质a.由直线和平面垂直的定义知:直线垂直于平面内的任意直线.b.性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.用符号可表示为:ab.c.如果两条平行线中的一条垂直于一个

2、平面,那么另一条也垂直于这个平面.用符号表示为:b.2.直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,该直线与平面所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,则此直线与平面所成的角是0的角.aba ba考点二平面与平面垂直的判定与性质考点二平面与平面垂直的判定与性质1.二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.如果记棱为l,那么两个面分别为、的二面角记作-l-.在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则两射线所构成的角

3、叫做二面角的平面角.2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.简述为“线面垂直,则面面垂直”,记为:.(3)平面与平面垂直的性质两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.用符号可表示为:m.lllmml1.利用定义:要证明直线a平面,转化为证明直线a垂直于平面内的任何一条直线c.2.利用判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线就和这个平面垂直,即:l,简言之,“线线垂直线面垂直”.3.可作定

4、理用的正确命题:如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.,m nlm lnmnP 直线与平面垂直的判定方法直线与平面垂直的判定方法方法1方法技巧4.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.5.面面平行的性质:如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,则这条直线也垂直于另一个平面,即a.例1(2017河北百校联盟2月模拟,19,12分)如图1,以BD为直径的圆O经过A,C两点,延长DA,CB交于P点,将PAB沿线段AB折起,使P点在底面ABCD的射影恰为AD的中点Q,如图2,AB=BC=1,BD=2,线段PA

5、、PB、PC的中点分别为G、E、F.(1)求证:PQ平面GEF;(2)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.a解题导引解析(1)在PAB中,因为G,E分别是PA,PB的中点,所以GEAB.因为AB平面ABCD,GE 平面ABCD,所以GE平面ABCD.同理,EF平面ABCD,又GEEF=E,所以平面GEF平面ABCD.由题意得PQ平面ABCD,所以PQ平面GEF.(4分)(2)因为PQ平面ABCD,AD平面ABCD,所以PQAD,又Q为AD的中点,APD为等腰三角形.AB=BC=1,BD=2,AD=CD=,ADC=,在题图1的RtPCD中,APB=,336在RtPBA中,PA=,又AQ

6、=QD=,在RtAPQ中,PQ=.连接AC、CQ,易知PQQC,ADC为等边三角形,CQAD.(6分)如图,以Q为原点,以QC所在直线为x轴,QD所在直线为y轴,QP所在直线为z轴建立空间直角坐标系Q-xyz,33232则Q(0,0,0),D,C,P,B,A.设平面PAB的法向量为n1=(x1,y1,z1),则令z1=1,则n1=(0,-,1).(9分)设平面PCD的法向量为n2=(x2,y2,z2),则令x2=1,则n2=(1,1).(11分)30,023,0,0230,0,231,0230,0211111111111AB(x ,y ,z ) (1,0,0)x0,3333PA(x ,y ,z

7、 )0,yz0,2222nn 32222222222223333PC(x ,y ,z ),0,xz0,22223333DC(x ,y ,z ),0 xy0,2222nn3于是,|cos|=.故平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为.(12分)1212| |n nnn55551.证明两个平面垂直,主要的途径是:利用面面垂直的定义,即两平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直;利用面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直.2.利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在图中存在,则可通过

8、线面垂直来证明面面垂直;若这样的直线在图中不存在,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线应有理论根据并有利于证明,不能随意添加.3.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的,因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.平面与平面垂直的证明方法平面与平面垂直的证明方法方法2例2(2017课标全国,19,12分)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.解题

9、导引解析本题考查面面垂直的证明,二面角的求法.(1)由题设可得,ABD CBD,从而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90.取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,DO=AO.又由于ABC是正三角形,故BOAC.所以DOB为二面角D-AC-B的平面角.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.所以平面ACD平面ABC.(2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,OAOA0),B(0,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,即E为DB的中点,得E.312123 10,22所以二面角D-AE-C的余弦值为.77故=(-1,0,1),=(-2,0,0),=.设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,则即可取n=.设m是平面AEC的法向量,则同理可取m=(0,-1,).则cos=.易知二面角D-AE-C为锐二面角,ADACAE3 11,22AD0,AE0,nn0,310.22xzxyz 31,13AC0,AE0.mm3|n mn m77