1理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和

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1、1.理解等差数列的概念理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前掌握等差数列的通项公式与前n项和公式项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关能在具体的问题情境中识别数列的等差关 系，并能用有关知识解决相应的问题系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列的定义等差数列的定义 如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差项起，每一项与它的前一项的差 等于等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这，那么这个数列就叫做等差数列，这 个常数叫做等差数列的公差，通常用字母个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d

2、表示，定表示，定 义的表达式为义的表达式为 .同一个常数同一个常数an1and(nN*)2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式 如果等差数列如果等差数列an的首项是的首项是a1，公差是，公差是d，那么通项公，那么通项公 式为式为an .a1(n1)d思考探究思考探究1已知等差数列已知等差数列an的第的第m项为项为am，公差为，公差为d，则其第，则其第n项项an能否用能否用am与与d表示？表示？提示：提示：可以可以.anam(nm)d.3.等差中项等差中项 如果三个数如果三个数a，A，b成等差数列，则三数的关系是成等差数列，则三数的关系是 A .思考探究思考探究2三数成等差数列时，一般设为三数

3、成等差数列时，一般设为ad，a，ad；四数成等差数列呢？四数成等差数列呢？提示：提示：可设为可设为a3d，ad，ad，a3d.4.等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式已知条件已知条件首项和公差首项和公差首项和末项首项和末项选取公式选取公式1.已知已知an是等差数列，是等差数列，a1010，其前，其前10项和项和S1070， 则其公差则其公差d () A.B. C. D.解析：解析：a10a19d10，S1010a145d70，d .答案：答案：D2.已知已知an为等差数列，为等差数列，a2a812，则，则a5等于等于 () A.4 B.5 C.6 D.7解析：解析：an为等差数列，为等差

4、数列，a2a82a512，则，则a56.答案：答案：C3.设设an是等差数列，若是等差数列，若a23，a713，则数列，则数列 an前前8 项的和为项的和为 () A.128 B.80 C.64 D.56解析：解析：由由 解得解得a11，d2，S88a1 d64.答案：答案：Ca1+d=3,a1+6d=13,4.已知等差数列共已知等差数列共10项，其中奇数项之和为项，其中奇数项之和为15，偶数项之，偶数项之 和为和为30，则其公差为，则其公差为.解析：解析：由题意知由题意知a1a3a5a7a915， a2a4a6a8a1030， ：5d15，d3.答案：答案：35.数列数列an中，中，a115

5、,3an13an2(nN*)，则该数列，则该数列 中乘积是负值的相邻两项为中乘积是负值的相邻两项为.解析：解析：由已知得由已知得an1an ，a115，ana1(n1)d15 (n1) ，显然显然a230，a240.该数列中乘积是负值的相邻两项为该数列中乘积是负值的相邻两项为a23与与a24.答案：答案：第第23项与第项与第24项项1.证明一个数列证明一个数列an为等差数列的基本方法有两种：为等差数列的基本方法有两种： (1)利用等差数列的定义证明，即证明利用等差数列的定义证明，即证明an1and(nN*) (2)利用等差中项证明，即证明利用等差中项证明，即证明an2an2an1(nN*).2

6、.解选择题、填空题时，可用通项或前解选择题、填空题时，可用通项或前n项和直接判断：项和直接判断：(1)通项法：若数列通项法：若数列an的通项公式为的通项公式为n的一次函数，即的一次函数，即an AnB，则，则an是等差数列；是等差数列；(2)前前n项和法：若数列项和法：若数列an的前的前n项和项和Sn是是SnAn2Bn的形的形 式式(A，B是常数是常数)，则，则an为等差数列为等差数列.特别警示特别警示若说明一个数列不是等差数列，则只需找若说明一个数列不是等差数列，则只需找到其中连续三项不是等差数列即可到其中连续三项不是等差数列即可. 已知数列已知数列an中，中，a1 ，an2 (n2，nN*

7、)，数列，数列bn满足满足bn (nN*).(1)求证：数列求证：数列bn是等差数列；是等差数列；(2)求数列求数列an中的最大项和最小项，并说明理由中的最大项和最小项，并说明理由.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)证明：证明：an2 (n2，nN*)，bn .n2时，时，bnbn1 1.又又b1 ，数列数列bn是以是以 为首项，以为首项，以1为公差的等差数列为公差的等差数列.(2)由由(1)知，知，bnn ，则，则an1 1 ，设函数设函数f(x)1 ，易知易知f(x)在区间在区间(， )和和( ，)内为减函数，内为减函数，当当n3时，时，an取得最小值取得最小值1；当；当n4时，时，a

8、n取得最大取得最大值值3.1.等差数列的通项公式等差数列的通项公式ana1(n1)d及前及前n项和公式项和公式Sn na1 d，共涉及五个量，共涉及五个量a1，an， d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程 的思想解决问题的思想解决问题.2.数列的通项公式和前数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换项和公式在解题中起到变量代换 作用，而作用，而a1和和d是等差数列的两个基本量，用它们表示是等差数列的两个基本量，用它们表示 已知和未知是常用方法已知和未知是常用方法.特别警示特别警示因为因为 na1 ，故数列，故数列 是是等差数列等差数

9、列. (2009江苏高考江苏高考)设设an是公差不为零的等差数列，是公差不为零的等差数列，Sn为其前为其前n项和，满足项和，满足 ，S77.(1)求数列求数列an的通项公式及前的通项公式及前n项和项和Sn；(2)试求所有的正整数试求所有的正整数m，使得，使得 为数列为数列an中的项中的项.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)设设an通项公式通项公式ana1(n1)d，d0，则则 .由性质得，由性质得，3d(a4a3)d(a4a3)，因为因为d0，所以，所以a4a30，即，即2a15d0. 又由又由S77得得7a1 d7. 联立解得联立解得a15，d2.所以所以an的通项公式为的通项公式为an

10、2n7，前前n项和项和Snn26n.(2) .令令2m3t， 6，因为因为t是奇数，是奇数， N，所以，所以t可取的值为可取的值为1.当当t1，m2时，时，t 63，2573是数列是数列an中的项；中的项；t1，m1时，时，t 615，数列数列an中的最小项是中的最小项是5不符合不符合.所以满足条件的正整数所以满足条件的正整数m2.若将若将“ ，S77”改为改为“S1030，S2050”，求通项，求通项an和和S30的值的值.解：解：由题意得由题意得 解之得解之得ana1(n1)d n ，S3030a1 d60.1.等差数列的单调性：等差数列的单调性： 等差数列公差为等差数列公差为d，若，若d

11、0，则数列递增，则数列递增. 若若d0，n21时，时，an0，n20时，时，Sn最大最大.【答案答案】B 自主体验自主体验 已知数列已知数列an满足满足2an1anan2(nN*)，它的前，它的前n项和为项和为Sn，且，且a310，S672.若若bn an30，求数列，求数列bn的前的前n项和的最小值项和的最小值.解：解：2an1anan2，an为等差数列，为等差数列，设设an的首项为的首项为a1，公差为，公差为d，bn前前n项和为项和为Tn.由由a310，S672，得，得 an4n2，则则bn an302n31.由由 得得 n .nN*，n15.bn前前15项为负值，项为负值，T15最小，最

12、小，可知可知b129，d2，T15225.1.(2009辽宁高考辽宁高考)an为等差数列，且为等差数列，且a72a41，a3 0，则公差，则公差d () A.2B. C. D.2解析：解析：由于由于a72a4a16d2(a13d)a11，则则a11，又由于，又由于a3a12d12d0，解得，解得d .答案：答案：B2.设设Sn是等差数列是等差数列an的前的前n项和项和.已知已知a23，a611， 则则S7等于等于 () A.13 B.35 C.49 D.63 解析：解析：由等差数列的性质得由等差数列的性质得S7 49.答案：答案：C3.已知等差数列已知等差数列an中，中，|a3|a9|，公差，

13、公差d0，则使，则使 前前n项和项和Sn取得最大值的正整数取得最大值的正整数n的值是的值是 () A.4或或5 B.5或或6 C.6或或7 D.8或或9解析：法一：解析：法一：d0，|a3|a9|，a3a90，a15d0，a15d.Snna1 d n2 n (n )2 d.d0，当当n5或或6时，时，Sn最大最大.法二：法二：d0，|a3|a9|，a30，a90，且，且a3a90，即，即2a60，a60，故数列故数列an的前的前5项都大于项都大于0，从第，从第7项开始各项都小于项开始各项都小于0.从而前从而前5项或前项或前6项的和最大项的和最大.答案：答案：B4.(2009山东高考山东高考)在

14、等差数列在等差数列an中，中，a37，a5a26， 则则a6.解析：解析：an是等差数列，设公差为是等差数列，设公差为d，3da5a26，则则a6a33d7613.答案：答案：135.已知已知Sn为等差数列为等差数列an的前的前n项和，若项和，若a2 a47 6， 则则S7 S3等于等于.解析：解析： 2.答案：答案：2 16.(文文)(2010惠州模拟惠州模拟)等差数列等差数列an前前n项和为项和为Sn，已知对，已知对 任意任意nN*，点，点(n，Sn)在二次函数在二次函数f(x)x2c的图象上的图象上. (1)求求c，an； (2)若若kn ，求数列，求数列kn的前的前n项和项和Tn.解：

15、解：(1)点点(n，Sn)在二次函数在二次函数f(x)x2c的图象上，的图象上，Snn2ca1S11c，a2S2S1(4c)(1c)3，a3S3S25，又又an为等差数列，为等差数列，6c6，c0，d312，an12(n1)2n1.(2)kn ，Tn 得得 Tn(理理)已知数列已知数列an满足满足an2an12n1(n2)，且，且a15.(1)若存在一个实数若存在一个实数，使得数，使得数 列为等差数列，列为等差数列，请求出请求出的值；的值；(2)在在(1)的条件下，求出数列的条件下，求出数列an的前的前n项和项和Sn.解：解：(1)假设存在实数假设存在实数符合题意，符合题意，则则 必为与必为与n无关的常数，无关的常数， 要使要使 是与是与n无关的常数，无关的常数，则则 0，得，得1.故存在实数故存在实数1.使得数列使得数列 为等差数列为等差数列.(2)由由(1)可得可得 1，d1，且首项为，且首项为 2， 2(n1)n1，an(n1)2n1(nN*).令令bn(n1)2n且前且前n项和为项和为Tn，Tn22322423(n1)2n， 2Tn222323n2n(n1)2n1， 得得Tn422232n(n1)2n12(22n)(n1)2n12n1(n1)2n1n2n1，Tnn2n1，Snn2n1n.