231图形的旋转

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1、扇叶扇叶车轮车轮水轮水轮动感的旋转世界动感的旋转世界 新课导入新课导入齿轮齿轮使用扳手拧螺丝使用扳手拧螺丝指南针指南针地球自转地球自转荡秋千荡秋千旋转的运动旋转的运动单杠单杠翘翘板翘翘板花花美丽的图形变换美丽的图形变换雪花雪花紫荆花会徽紫荆花会徽这些图案有什么共同特征？这些图案有什么共同特征？车标车标 【知识与能力】【知识与能力】了解生活中旋转现象的存在；了解生活中旋转现象的存在； 了解图形旋转的概念；了解图形旋转的概念； 理解并掌握图形旋转中的对应点、对应角、理解并掌握图形旋转中的对应点、对应角、对应线段、旋转中心和旋转角度等基本概念；对应线段、旋转中心和旋转角度等基本概念； 理解图形的旋转

2、变换是由旋转中心和旋转角理解图形的旋转变换是由旋转中心和旋转角所决定的。所决定的。 教学目标教学目标 【过程与方法】【过程与方法】 经历探索图形在旋转变换中的变化情况的过经历探索图形在旋转变换中的变化情况的过程，体会旋转变换对研究图形变化的重要性。程，体会旋转变换对研究图形变化的重要性。 【情感态度与价值观】【情感态度与价值观】 经历对生活中旋转图形的观察、讨论、实践经历对生活中旋转图形的观察、讨论、实践操作，使学生感知数学美，培养学生学习数学操作，使学生感知数学美，培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感。的兴趣和热爱生活的情感。 探索图形旋转的特征，能准确找出旋转前探索图形旋转的特征，能准确

3、找出旋转前后图形中的对应点、对应线段、对应角、旋后图形中的对应点、对应线段、对应角、旋转中心、旋转角。转中心、旋转角。 学会按一定的角度有规律的旋转。学会按一定的角度有规律的旋转。 教学重难点教学重难点观观 察察 钟表的指针在不停地转动，从钟表的指针在不停地转动，从12时到时到4时，时针转动了时，时针转动了_度。度。120 把时针当成一个把时针当成一个图形图形，那么它可，那么它可以以绕着中心固定点绕着中心固定点转动一定转动一定角度角度。 怎样来定义怎样来定义这种图形变换？这种图形变换？观观 察察 风车风轮的每个风车风轮的每个叶片在风的吹动下转叶片在风的吹动下转动到新的位置。动到新的位置。 怎样

4、来定义怎样来定义这种图形变换？这种图形变换？ 把叶片当成一个把叶片当成一个图形图形，那么它可以那么它可以绕着中心固定点绕着中心固定点转动一定转动一定角度角度。 把一个图形绕着某点把一个图形绕着某点O沿某个方向转动沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做一个角度的图形变换叫做旋转旋转（rotation）。）。知识要点知识要点120 OPP旋转中心旋转中心旋转角旋转角对对应应点点例题 如图，四边形如图，四边形ABCD、四边形、四边形EFGH都是边长都是边长为为1的正方形。的正方形。 （1）这个图案可以看做是哪个）这个图案可以看做是哪个“基本图案基本图案”通通过旋转得到的？过旋转得到的？ （2）请画出旋

5、转中心和旋转角。）请画出旋转中心和旋转角。 （3）指出经过旋转，点）指出经过旋转，点A、B、C、D分别移到分别移到什么位置？什么位置？（3）点）点A、点、点B、点、点C、点、点D移到的位置是移到的位置是（1）基本图案：）基本图案：正方形正方形ABCD 顺时针旋转顺时针旋转45得到得到EFGH 。点点H。点点E、点点F、点点G、（2）旋转中心为）旋转中心为O，如图所示。，如图所示。O旋转角如图所示。旋转角如图所示。还有其它旋还有其它旋转方法吗？转方法吗？ 若叶片若叶片 A 绕绕 O 顺时针旋转到叶片顺时针旋转到叶片 B，则旋转，则旋转中心是中心是_，旋转角是，旋转角是_，旋转角等于，旋转角等于_

6、度，其中的对应点有度，其中的对应点有_、 _、 _、 _、 _、 _ 。ABCDEFOOAOB60F与与AA与与BB与与CC与与DD与与EE与与F 杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心就杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心就_，旋转角是，旋转角是_。BOBAAAOA OBOB 或或BOA45点点A绕绕_点沿点沿_方向，转动了方向，转动了_度到点度到点 B。顺时针顺时针45把小孩看作把小孩看作一个质点来一个质点来分析问题分析问题秋千的固定点秋千的固定点旋转的三要素旋转的三要素 旋转中心旋转中心 旋转方向旋转方向 旋转角度旋转角度OBABA6035BABACCO100 BAB A CC O 点

7、点A、线段、线段AB、ABC分别旋转到了什么位置？分别旋转到了什么位置？点点A 点点A线段线段A B A B C 线段线段ABABC对应点对应点对应边对应边对应角对应角观观 察察点点B的对应点是的对应点是_;线段线段OB的对应线段是的对应线段是_;线段线段CD的对应线段是的对应线段是_;AOB的对应角是的对应角是_;B的对应角是的对应角是_;旋转中心是旋转中心是_;旋转角是旋转角是_;ABO绕点绕点O旋转得到旋转得到CDO，则，则:点点D线段线段OD线段线段ABCODD点点OAOC、 BOD观观 察察 在上面两个实验中，在上面两个实验中，ABC在旋转过程中，在旋转过程中，哪些发生了变化？哪些发

8、生了变化？归纳归纳 各点的位置发生变化。各点的位置发生变化。点点A点点A点点B点点B点点C点点C 从而，各线段、各角的位置发生变化。从而，各线段、各角的位置发生变化。OA=OAOB=OBOC=OC 边的相等关系：边的相等关系：AB=ABBC=BCCA=CA对应边相等对应边相等 在上面两个实验中，在上面两个实验中，ABC在旋转过程中，在旋转过程中，哪些没有改变？哪些没有改变？ 角的相等关系：角的相等关系：ABC=ABC AOA =BOB =COC BCA=BCA CAB=CAB 对对应应角角相相等等= 旋转角旋转角注：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同注：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同 样大

9、小的角度。样大小的角度。 对应点到旋转中心的距离对应点到旋转中心的距离相等。相等。 对应点与旋转中心所连线段的夹角对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。等于旋转角。 旋转前、后的图形旋转前、后的图形全等全等。 图形的旋转是由图形的旋转是由旋转中心旋转中心和和旋转角旋转角决定。决定。 图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形的形的位置位置。知识要点知识要点旋转的基本性质旋转的基本性质有哪些证明有哪些证明方法？方法？证明：证明：ABC ABC。AB=ABBC=BCCA=CAABC=ABC BCA=BCA CAB=CAB SSSSASASAAAS三角

10、形中的边角相等关系三角形中的边角相等关系证三角形全等的方法证三角形全等的方法AO将将A点绕点绕O沿顺时针方向旋转沿顺时针方向旋转60。 作法：作法： 1. 以以O为圆心，为圆心，OA长为半长为半径画圆径画圆; 2. 连接连接OA，用量角器或三，用量角器或三角板（限特殊角）作出角板（限特殊角）作出AOB，与圆周交于与圆周交于B点；点； 3. B点即为所求作。点即为所求作。B例题点的旋转作法点的旋转作法AO 将线段将线段AB绕绕O沿顺时针方向旋转沿顺时针方向旋转60。 作法：作法： 1. 将点将点A绕点绕点O顺时针旋顺时针旋转转60，得点，得点aC; 2. 将点将点B绕点绕点O顺时针旋顺时针旋转转

11、60 ，得点，得点D ； 3. 连接连接CD, 则线段则线段CD即即为所求作为所求作.CBD线段的旋转作法线段的旋转作法例题 已知已知OAB，画出，画出OAB绕点绕点O逆时针旋转逆时针旋转100后的图形。后的图形。BAOAB 1. 连接连接OA。 2. 作作AOC=100 ，在，在OC上截取上截取OA=OA 。 4. 作作BOD=100 ，在在OD上截上截OB=OB 。CD 3. 连接连接OB 。注：作旋转后的图形可以转化为作旋转后的注：作旋转后的图形可以转化为作旋转后的对应点对应点。例题图形的旋转作法图形的旋转作法 5. 连接连接AB，则，则OAB即为所求作。即为所求作。作法：作法： 四边形

12、四边形ABCD是是边长为边长为1的正方形，且的正方形，且DE= ，ABF是是ADE的旋转图形。的旋转图形。 （1）旋转中心是哪一点？）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？）旋转了多少度？ （3）AF的长度是多少？的长度是多少？ （4）如果连结）如果连结EF，那么，那么AEF是怎样的三角形？是怎样的三角形？14点点A 。（2） ABF是由是由ADE旋转而得的，旋转而得的， B是是D的对应点。的对应点。 DAB是旋转角，是旋转角，答：答： DAB = 90， 即旋转了即旋转了90。例题（3）AD=1，DE= AF 是是AE 的对应边的对应边 AF = AE =1422117144AE174？（

13、勾股定理）（勾股定理）（对应边相等）（对应边相等）（4） EAF=90（与旋转角相等）（与旋转角相等） 且且 AF=AE（对应边相等）（对应边相等） EAF是等腰直角三角形。是等腰直角三角形。 图形的旋转是由图形的旋转是由旋转中心旋转中心和和旋转角旋转角度决定。度决定。旋转的基本性质之一旋转的基本性质之一 这两幅图分别经历这两幅图分别经历怎样的旋转？有什么不怎样的旋转？有什么不同？同？旋转中心不变，改变旋转角。旋转中心不变，改变旋转角。观观 察察 四边形四边形ABCD绕点绕点O 顺时针旋转顺时针旋转30。3060 四边形四边形ABCD绕点绕点O 顺时针旋转顺时针旋转60。图图1 1图图2 2

14、这两幅图分别经历这两幅图分别经历怎样的旋转？有什么不怎样的旋转？有什么不同？同？旋转角不变，改变旋转中心。旋转角不变，改变旋转中心。图图3 3图图4 4 四边形四边形ABCD绕点绕点O1 顺时针旋转顺时针旋转30。 四边形四边形ABCD绕点绕点O2 逆时针旋转逆时针旋转30。3030 因此，选择不同的因此，选择不同的旋转角旋转角，不同的不同的旋转中心旋转中心，会出现不同的，会出现不同的效果，我们可以经过旋转，设计效果，我们可以经过旋转，设计出美丽的图案。出美丽的图案。 归纳归纳旋转的摩天楼旋转的摩天楼奔驰车汽车标志奔驰车汽车标志自己动手画一包自己动手画一包含旋转的图案含旋转的图案 课堂小结课堂

15、小结 1. 旋转的定义：旋转的定义：这个定点这个定点 O 称为称为旋转中心旋转中心。转动的角称为转动的角称为旋转角旋转角。 把一个图形绕着某点把一个图形绕着某点 O 沿某个方向转动一沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做个角度的图形变换叫做旋转旋转。 对应点到旋转中心的距离对应点到旋转中心的距离相等。相等。 对应点与旋转中心所连线段的夹角对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。等于旋转角。 旋转前、后的图形旋转前、后的图形全等全等。 图形的旋转是由图形的旋转是由旋转中心旋转中心和和旋转角旋转角决定。决定。 图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形的

16、形的位置位置。2. 旋转的基本性质旋转的基本性质 1. 钟表的分针匀速旋转一周需要钟表的分针匀速旋转一周需要60分。分。（）指出它的旋转中心；（）指出它的旋转中心；（）经过（）经过20分，分针旋转了多少度？分，分针旋转了多少度？ 随堂练习随堂练习 2. 本图案可以看做是一个菱形通过几次旋本图案可以看做是一个菱形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？转得到的？每次旋转了多少度？也可以看做是二个相邻菱也可以看做是二个相邻菱形通过几次旋转得到的？形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？每次旋转了多少度？ 还可以看做是几个菱形通还可以看做是几个菱形通过几次旋转得到的？每次过几次旋转得到的？每次旋转了多

17、少度？旋转了多少度？3个个 1次次 1802次次 120 , 240 5次。次。 60, 120, 180, 240, 3003个个 1次次 60 3. 图中是否存在这样的两个三角形，其中图中是否存在这样的两个三角形，其中一个是通过另一个旋转得到的？一个是通过另一个旋转得到的？ 4. 四边形四边形AOBC 绕绕O点旋转得到四边形点旋转得到四边形DOEF. 在在这个旋转过程中：这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么）旋转中心是什么? （2）经过旋转，点）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？分别移动到什么位置？ （3）旋转角是什么？）旋转角是什么？ （4）AO与与DO的长有什么关系？的长有什么关

18、系？BO与与EO呢？呢？ （5）AOD与与BOE有有什么大小关系？什么大小关系？旋转中心是旋转中心是O点点D和点和点E的位置的位置AO=DO，BO=EOAOD=BOEAOD和和BOE都是都是 5. 如图，如图，O是六个正三角形的公共顶点，正是六个正三角形的公共顶点，正六边形六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕能否看做是某条线段绕O点旋转点旋转若干次所形成的图形？若干次所形成的图形？ 能。看做是一条边（如能。看做是一条边（如线段线段AB）绕）绕O点，按照同点，按照同一方法连续旋转一方法连续旋转60、120、180、240、300形成的。形成的。 6. ABC绕绕C点旋转后，顶点点旋转后，顶点A

19、的对应点的对应点为点为点D，试确定顶点，试确定顶点B 对应点的位置，以及旋对应点的位置，以及旋转后的三角形。转后的三角形。 解：（解：（1）连结）连结CD（2）以）以CB为一边作为一边作BCE，使得使得BCE=ACD（3）在射线）在射线CE上截取上截取CB=CB则则B即为所求的即为所求的B的对应点。的对应点。（4）连结）连结DB则则DBC就是就是ABC绕绕C点点旋转后的图形。旋转后的图形。ABCDEF 7. 如图如图,DEF是由是由ABC绕某一中心旋转一绕某一中心旋转一定的角度得到定的角度得到,请你找出这旋转中心。请你找出这旋转中心。 旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。O 8. 如下图是菊花

20、一叶和中心与圆圈，现以如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O 为旋转中心画出分别旋转为旋转中心画出分别旋转45、90、135、180、225、270、315的菊花图案。的菊花图案。 解：（1）连结OA （2）以O点为圆心，OA长为半径旋转45，得A。 （3）依此类推画出旋转角分别为90、135、180、225、270、315的A、A、A、A、A、A。 （4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶。 那么所画的图案就是绕O点旋转后的图形。 9. 如图，如果上面的菊花一叶，绕下面的如图，如果上面的菊花一叶，绕下面的点点O为旋转中心，请同学画出图案，它还是原为旋转中心，请同学画出图案，它还是原来的菊花吗？来的菊

21、花吗？ 显然，画出后的图案不是菊花，而是另外的一种花了OCBA 10. 如图所示的方格纸中，将如图所示的方格纸中，将ABC向右向右平移平移8格，再以格，再以O为旋转中心逆时针旋转为旋转中心逆时针旋转90，画出旋转后的三角形。画出旋转后的三角形。 11. 将点阵中的图形绕点将点阵中的图形绕点O按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转900，画出旋转后的图形。，画出旋转后的图形。 O 解：面积不变。 理由：设任转一角度，如图所示。 在RtODD和RtOEE中 ODD=OEE=90 DOD=EOE=90-BOE OD=OD ODD OEE SODD =SOEE S四边形OE BD =S正方形OEBD=41

22、12. 如何作出该图案绕如何作出该图案绕O点按逆时针旋点按逆时针旋转转90的图形。的图形。解：（1）连结OA，过O点沿OA逆时针作AOA=90，在射线OA上截取OA=OA。（2）用同样的方法分别求出B、C、D、E、F、G、H的对应点B、C、D、E、F、G、H。（3）作出对应线段AB、BC、CD、DE、EF、FA、A G、GD、DH、HA（4）所作出的图案就是所求的图案。 13. K是正方形是正方形ABCD内一点，以内一点，以AK为一边作正为一边作正方形方形AKLM，使，使L、M在在AK的同旁，连接的同旁，连接BK和和DM，试用旋转的思想说明线段试用旋转的思想说明线段BK与与DM的关系。的关系。

23、 解：四边形ABCD、四边形AKLM是正方形 AB=AD，AK=AM，且BAD=KAM为旋转角且为90 ADM是以A为旋转中心，BAD为旋转角由ABK旋转而成的 BK=DM 14. P是等边是等边 ABC内的一点，把内的一点，把 ABP按不同的方按不同的方向通过旋转得到向通过旋转得到 BQC和和 ACR， （1）指出旋转中心、旋转方向和旋转角度？）指出旋转中心、旋转方向和旋转角度？ （2） ACR是否可以直接通过把是否可以直接通过把 BQC旋转得到？旋转得到？AQRPCB 15. 画出画出ABC绕点绕点C按顺时针方向旋按顺时针方向旋转转120后的对应的三角形。后的对应的三角形。ABMNDEC

24、16. 将等边将等边ABC绕着点绕着点O按某个方向旋转按某个方向旋转90后后得到得到A/B/CABCOA/B/C/ABCABCABCABC 17. 两个边长为两个边长为1的正方形，如图所示，的正方形，如图所示， 让让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为，现把其中一个正方形难知道重合部分的面积为，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由。化？说明理由。 习题答案习题答案 5. 左图中，点左图中，点O为旋转中心，旋转角为为旋转中心，旋转角为60. 右图中，点右图中，点O为旋转中心，旋转角为为旋转中心，旋转角为90.6. 五角星图案，绕着点五角星图案，绕着点O旋转，旋转角为旋转，旋转角为72时，时，旋转后的五角星能与自身重合，如图，等边三角旋转后的五角星能与自身重合，如图，等边三角形绕着点形绕着点O旋转，旋转角为旋转，旋转角为120时，旋转后的等时，旋转后的等边三角形能与自身重合边三角形能与自身重合.