3.2.1　几类不同增长的函数模型

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1、3.23.2函数模型及其应用函数模型及其应用3.2.13.2.1几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型课标要求课标要求: :1.1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质掌握常见增长函数的定义、图象、性质, ,并体会其增长差并体会其增长差异异.2.2.结合实例体会直线上升结合实例体会直线上升, ,对数增长对数增长, ,指数爆炸等不同函数类型增长的指数爆炸等不同函数类型增长的含义含义.3.3.会分析具体的实际问题会分析具体的实际问题, ,建模解决实际问题建模解决实际问题. .自主学习自主学习课堂探究课堂探究自主学习自主学习新知建构新知建构自我整合自我整合【情境导学情境导学】导入导入在同一坐标系

2、内观察图象在同一坐标系内观察图象(1)y=2(1)y=2x x,y=3,y=3x x,y=4,y=4x x; ;(2)y=log(2)y=log2 2x,y=logx,y=log3 3x,y=logx,y=log4 4x;x;(3)y=x(3)y=x2 2,y=x,y=x3 3,y=x,y=x4 4; ;(4)y=2(4)y=2x x,y=log,y=log2 2x,y=xx,y=x2 2. .想一想想一想 指数函数指数函数, ,对数函数底数大于对数函数底数大于1 1时增长快慢有什么规律时增长快慢有什么规律? ?幂函数的幂函数的幂指数大于幂指数大于0 0且不相同时增长快慢如何且不相同时增长快慢

3、如何? ?( (由图象可知由图象可知, ,指数函数在指数函数在x0 x0时时, ,底数越大增长得越快底数越大增长得越快, ,对数函数在对数函数在x1x1时时底数越大增长得越慢底数越大增长得越慢, ,幂函数在幂函数在x1x1时指数越大增长得越快时指数越大增长得越快) )1.1.三种函数模型的性质三种函数模型的性质知识探究知识探究上升上升函数函数性质性质y=ay=ax x(a1)(a1)y=logy=loga ax(a1)x(a1)y=xy=xn n(n0)(n0)在在(0,+)(0,+)上的上的增减性增减性单调递增单调递增单调递增单调递增单调递增单调递增图象的变化图象的变化随随x x增大逐增大逐

4、渐渐_随随x x增大逐增大逐渐渐_随随x x增大增大逐渐逐渐_上升上升上升上升2.2.三种函数的增长速度比较三种函数的增长速度比较(1)(1)在区间在区间(0,+)(0,+)上上, ,函数函数y=ay=ax x(a1),y=log(a1),y=loga ax(a1)x(a1)和和y=xy=xn n(n0)(n0)都是都是 , ,但但 不同不同, ,且不在同一个且不在同一个“档次档次”上上. .增函数增函数(2)(2)随着随着x x的增大的增大,y=a,y=ax x(a1)(a1)增长速度越来越快增长速度越来越快, ,会超过并远远大于会超过并远远大于y=xy=xn n (n0)(n0)的增长速度

5、的增长速度, ,而而y=logy=loga ax(a1)x(a1)的增长速度的增长速度 . .(3)(3)存在一个存在一个x x0 0, ,当当xxxx0 0时时, ,有有 . .增长速度增长速度越来越慢越来越慢logloga axxxxn na0)(x0)x x0 01 12 23 34 4y y0.90.92 24.14.17.97.916.216.2则则x,yx,y间拟合效果最好的曲线方程是间拟合效果最好的曲线方程是( ( ) )(A)y=log(A)y=log2 2x x (B)y=2x (B)y=2x(C)y=2(C)y=2x x (D)y=x (D)y=x2 2C C4.4.( (

6、函数模型函数模型) )若长方形的长若长方形的长x x是宽的是宽的2 2倍倍, ,则该长方形的面积则该长方形的面积y y与与x x之间的之间的关系式为关系式为. . 12题型一题型一 图象信息迁移问题图象信息迁移问题课堂探究课堂探究典例剖析典例剖析举一反三举一反三【例【例1 1】 如图所示如图所示, ,折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(y(元元) )与通话时间与通话时间t(t(分钟分钟) )之间的函数关系图象之间的函数关系图象, ,根据图象填空根据图象填空: :(1)(1)通话通话2 2分钟分钟, ,需付电话费需付电话费元元; ; (2)

7、(2)通话通话5 5分钟分钟, ,需付电话费需付电话费元元; ; 解析解析: :(1)(1)由题中图象可知由题中图象可知, ,当当0t30t3时时, ,电话费都是电话费都是3.63.6元元. .(2)(2)由题中图象可知由题中图象可知, ,当当t=5t=5时时,y=6,y=6,需付电话费需付电话费6 6元元. .答案答案: :(1)3.6(1)3.6(2)6(2)6(3)(3)如果如果t3,t3,则电话费则电话费y(y(元元) )与通话时间与通话时间t(t(分钟分钟) )之间的函数关系式为之间的函数关系式为 . . 答案答案: :(3)y=1.2t(t3)(3)y=1.2t(t3)方法技巧方法

8、技巧 解答图象信息迁移题的方法解答图象信息迁移题的方法(1)(1)明确横轴明确横轴, ,纵轴的意义纵轴的意义, ,如本题中横轴如本题中横轴t t表示通话时间表示通话时间, ,纵轴纵轴y y表示电表示电话费话费; ;(2)(2)从图象形状上判定函数模型从图象形状上判定函数模型, ,如本题中在区间如本题中在区间0,30,3和和3,+)3,+)上均上均是直线型是直线型; ;(3)(3)抓住特殊点的实际意义抓住特殊点的实际意义, ,特殊点一般包括最高点特殊点一般包括最高点( (最大值点最大值点) )、最低、最低点点( (最小值点最小值点) )及折线的拐角点等及折线的拐角点等; ;(4)(4)通过方程、

9、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题. .即时训练即时训练1 1- -1:1:甲、乙两人在一次赛跑中甲、乙两人在一次赛跑中, ,路程路程s s与时间与时间t t的函数关系如图所示的函数关系如图所示, ,则下列说法正确的是则下列说法正确的是( () )(A)(A)甲比乙先出发甲比乙先出发(B)(B)乙比甲跑的路程多乙比甲跑的路程多(C)(C)甲、乙两人的速度相同甲、乙两人的速度相同(D)(D)甲先到达终点甲先到达终点解析解析: :由题图可知甲、乙同时出发由题图可知甲、乙同时出发, ,且所跑路程相同且所跑路程相同, ,因为甲所用时间因为甲所

10、用时间较少较少, ,所以甲先到达终点所以甲先到达终点. .综上综上, ,选选D.D.【备用例备用例1 1】 一天一天, ,亮亮发烧了亮亮发烧了, ,早晨他烧得很厉害早晨他烧得很厉害, ,吃过药后感觉好多了吃过药后感觉好多了, ,中午时亮亮的体温基本正常中午时亮亮的体温基本正常, ,但是下午他的体温又开始上升但是下午他的体温又开始上升, ,直到半夜亮直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫亮才感觉身上不那么发烫. .下列各图中能基本上反映出亮亮这一天下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0(0时时2424时时) )体温的变化情况的是体温的变化情况的是( () )解析解析: :观察图象观察图象A,A,体温逐

11、渐降低体温逐渐降低, ,不合题意不合题意; ;图象图象B B不能反映不能反映“下午体温下午体温又开始上升又开始上升”; ;图象图象D D不能体现不能体现“下午体温又开始上升下午体温又开始上升”与与“直到半夜直到半夜才感觉身上不那么发烫才感觉身上不那么发烫”. .故选故选C.C.【备用例【备用例2 2】 某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况, ,从某码头乘汽艇出发从某码头乘汽艇出发, ,沿直线方向匀速开往该岛沿直线方向匀速开往该岛, ,靠近岛时靠近岛时, ,绕小岛环行两绕小岛环行两周后周后, ,把汽艇停靠岸边把汽艇停靠岸边, ,上岸

12、考察上岸考察, ,然后又乘汽艇沿原航线提速返回然后又乘汽艇沿原航线提速返回. .设设t t为为出发后的某一时刻出发后的某一时刻,s,s为汽艇与码头在时刻为汽艇与码头在时刻t t的距离的距离, ,下列图象中能大致表下列图象中能大致表示示s=f(t)s=f(t)的函数关系的为的函数关系的为( () )解析解析: :当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时,s=vt,s=vt,图象为一条线段图象为一条线段; ;当环当环岛两周时岛两周时,s,s两次增至最大两次增至最大, ,并减少到与环岛前的距离并减少到与环岛前的距离s s0 0; ;上岸考察时上岸考察时,s= ,s= s s0 0

13、; ;返回时返回时,s=s,s=s0 0-vt,-vt,图象为一条线段图象为一条线段. .所以选所以选C.C.题型二题型二 常见函数模型增长趋势的比较常见函数模型增长趋势的比较【例【例2 2】 函数函数f(x)=2f(x)=2x x和和g(x)=xg(x)=x3 3(x0)(x0)的图象的图象, ,如图所示如图所示. .设两函数的图设两函数的图象交于点象交于点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),且且x x1 1xg(1),f(2)g(2),f(9)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10).f(10)g(10).所以所以1x1x1 12,9x2,

14、9x2 210.10.所以所以x x1 18x8x2 22 015.2 015.从题中图象上知从题中图象上知, ,当当x x1 1xxxx2 2时时,f(x)g(x);,f(x)xxx2 2时时,f(x)g(x),f(x)g(x),且且g(x)g(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, ,所以所以f(2 015)g(2 015)g(8)f(8).f(2 015)g(2 015)g(8)f(8).方法技巧方法技巧 由指数函数、对数函数增长的规律识别图象由指数函数、对数函数增长的规律识别图象, ,即指数函数增即指数函数增长的速度越来越快长的速度越来越快, ,在某一位置会远远超过幂函数的

15、增长在某一位置会远远超过幂函数的增长, ,总存在总存在x x0 0, ,使使xxxx0 0时时,a,ax xxx. .解解: :(1)C(1)C1 1对应的函数为对应的函数为g(x)=0.3x-1,g(x)=0.3x-1,C C2 2对应的函数为对应的函数为f(x)=lg x.f(x)=lg x.(2)(2)当当x(0,xx(0,x1 1) )时时,g(x)f(x),g(x)f(x),当当x(xx(x1 1,x,x2 2) )时时,g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)f(x). .即时训练即时训练2 2- -1:1:函数函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1f(x)=lg x,

16、g(x)=0.3x-1的图象如图所示的图象如图所示. .(1)(1)指出图中曲线指出图中曲线C C1 1,C,C2 2分别对应哪一个函数分别对应哪一个函数; ;(2)(2)比较两函数的增长差异比较两函数的增长差异( (以两图象交点为分界点以两图象交点为分界点, ,对对f(x),g(x)f(x),g(x)的大小进的大小进行比较行比较).).题型三题型三 函数模型的选取函数模型的选取【例例3 3】 某工厂今年某工厂今年1 1月、月、2 2月、月、3 3月生产某种产品分别为月生产某种产品分别为1 1万件、万件、1.21.2万件、万件、1.31.3万万件件, ,为估测以后每个月的产量为估测以后每个月的

17、产量, ,以这三个月的产量为依据以这三个月的产量为依据, ,用一个函数模拟该产品的用一个函数模拟该产品的月产量月产量y y和月份和月份x x的关系的关系, ,模拟函数可以选用二次函数模拟函数可以选用二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c或函数或函数y=ay=ab bx x+c(+c(其其中中a,b,ca,b,c为常数为常数,a0,b0,a0,b0且且b1).b1).已知已知4 4月份该产品的产量为月份该产品的产量为1.371.37万件万件, ,问用上述问用上述哪一种函数作为模拟函数好哪一种函数作为模拟函数好? ?请说明理由请说明理由. .方法技巧方法技巧 开放型的探究题开放型的探究

18、题, ,函数模型不是确定的函数模型不是确定的, ,需要我们去探索需要我们去探索, ,去去尝试尝试, ,找到最合适的模型找到最合适的模型, ,解题过程一般为解题过程一般为: :(1)(1)用待定系数法求出函数解析式用待定系数法求出函数解析式; ;(2)(2)检验检验: :将将(1)(1)中求出的几个函数模型进行比较、验证中求出的几个函数模型进行比较、验证, ,得出最适合的函得出最适合的函数模型数模型; ;(3)(3)利用所求出的函数模型解决问题利用所求出的函数模型解决问题. .即时训练即时训练3 3- -1:1:某工厂生产一种电脑元件某工厂生产一种电脑元件, ,每月的生产数据如表每月的生产数据如

19、表: :月份月份1 12 23 3产量产量( (千件千件) )5050525253.953.9为估计以后每月对该电脑元件的产量为估计以后每月对该电脑元件的产量, ,以这三个月的产量为依据以这三个月的产量为依据, ,用函数用函数y=ax+by=ax+b或或y=ay=ax x+b(a,b+b(a,b为常数为常数, ,且且a0)a0)来模拟这种电脑元件的月产量来模拟这种电脑元件的月产量y y千件与千件与月份月份x x的关系的关系. .请问请问: :用以上哪个模拟函数较好用以上哪个模拟函数较好? ?说明理由说明理由. .题型四题型四 建立函数模型解决实际问题建立函数模型解决实际问题【例例4 4】 一工

20、厂生产某种零件一工厂生产某种零件, ,每个零件的成本为每个零件的成本为4040元元, ,出厂单价为出厂单价为6060元元, ,该厂为鼓励销售商订购该厂为鼓励销售商订购, ,决定当一次订购量超过决定当一次订购量超过100100时时, ,每多订购每多订购1 1个个, ,订购订购的全部零件的单价就降低的全部零件的单价就降低 0.020.02元元, ,但最低出厂单价不低于但最低出厂单价不低于5151元元. .(1)(1)一次订购量为多少个时一次订购量为多少个时, ,零件的实际出厂价恰好为零件的实际出厂价恰好为5151元元? ?(2)(2)设一次订购量为设一次订购量为x x个时零件的实际出厂价为个时零件的实际出厂价为p p元元, ,写出写出p=f(x).p=f(x).(3)(3)当销售商一次订购量分别为当销售商一次订购量分别为500,1 000500,1 000个时个时, ,该工厂的利润分别为多少该工厂的利润分别为多少? ? ( (一个零件的利润一个零件的利润= =一个零件的实际出厂价一个零件的实际出厂价- -一个零件的成本一个零件的成本) )方法技巧方法技巧 数学建模中要对所给条件进行简化及合理的假设数学建模中要对所给条件进行简化及合理的假设, ,从中区从中区分出主要条件及次要条件分出主要条件及次要条件, ,再根据要求选取合适的数学知识来求解再根据要求选取合适的数学知识来求解. .