高中数学必修4平面向量测试试卷典型例题(含详细答案)

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1、 高中数学平面向量组卷 一选择题（共18小题）1已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度|=|sin，若=（2，0），=（1，），则|（+）|=（）A4BC6D22已知，为单位向量，其夹角为60，则（2）=（）A1B0C1D23已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A2BC0D4向量，且，则=（）ABCD5如图，在ABC中，BD=2DC若，则=（）ABCD6若向量=（2cos，1），=（，tan），且，则sin=（）ABCD7已知点A（3，0），B（0，3），C（cos，sin），O（0，0），若，则的夹角为（）ABCD8设向量=，=不共线，

2、且|+|=1，|=3，则OAB的形状是（）A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形9已知点G是ABC的重心，若A=，=3，则|的最小值为（）ABCD210如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量=（）ABCD11已知函数f（x）=sin（2x+）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）的值为（）ABC1D212已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(）（+2）=0，则ABC的形状一定为（）A等边三角形B直角三角形C钝三角形D等腰三角形13如图所示，设P为ABC所在平面内的一点，并且=+，则ABP与ABC的面

3、积之比等于（）ABCD14在ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过ABC的（）A垂心B外心C重心D内心15在ABC中，BAC=60，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）ABCD16已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，则OAB的面积为（）ABCD17已知点P为ABC内一点，且+3=，则APB，APC，BPC的面积之比等于（）A9：4：1B1：4：9C3：2：1D1：2：318在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（）A2B4C5D10二解答题（共6小题）19如图示，在ABC中，若A，B两点坐标分

4、别为（2，0），（3，4）点C在AB上，且OC平分BOA（1）求AOB的余弦值； （2）求点C的坐标20已知向量=（cos，sin）和（1）若，求角的集合；（2）若，且|=，求的值21如图所示，若D是ABC内的一点，且AB2AC2=DB2DC2求证：ADBC22已知向量，其中A、B是ABC的内角，（1）求tanAtanB的值；（2）若a、b、c分别是角A、B、C的对边，当C最大时，求的值23已知向量且，函数f（x）=2（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（II）若，分别求tanx及的值24已知，函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调减区间；（3）

5、当时，求函数f（x）的值域 高中数学平面向量组卷（2014年09月24日）参考答案与试题解析一选择题（共18小题）1已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度|=|sin，若=（2，0），=（1，），则|（+）|=（）A4BC6D2考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：利用数量积运算和向量的夹角公式可得=再利用平方关系可得，利用新定义即可得出解答：解：由题意，则，=6，=2，=2=即，得，由定义知，故选：D点评：本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题2已知，为单位向量，其夹角为60，则（2）

6、=（）A1B0C1D2考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2）的值解答：解：由题意可得，=11cos60=，=1，（2）=2=0，故选：B点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题3已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A2BC0D考点：数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值解答：解：由题意可得cos=，解得 m=，故选：B点评：本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，

7、属于基础题4向量，且，则=（）ABCD考点：平行向量与共线向量；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用菁优网版权所有专题：计算题；三角函数的求值分析：根据向量平行的条件建立关于的等式，利用同角三角函数的基本关系与诱导公式，化简即可得到的值解答：解：，且，即，得sin=，由此可得=sin=故选：B点评：本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求的值着重考查了同角三角函数的基本关系、诱导公式和向量平行的条件等知识，属于基础题5如图，在ABC中，BD=2DC若，则=（）ABCD考点：向量的加法及其几何意义菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：由题意可得=，而，代入化简可得答案解答

8、：解：由题意可得=故选C点评：本题考查平面向量的加法及其几何意义，涉及向量的数乘，属基础题6若向量=（2cos，1），=（，tan），且，则sin=（）ABCD考点：平面向量共线（平行）的坐标表示菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：直接由向量共线的坐标表示列式计算解答：解：向量=（2cos，1），=（，tan），且，则2costan（1）=0，即2sin=故选：B点评：共线问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别若=（a1，a2），=（b1，b2），则a1a2+b1b2=0，a1b2a2b1=0是基础题7已知点A（3，

9、0），B（0，3），C（cos，sin），O（0，0），若，则的夹角为（）ABCD考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：计算题分析：根据题意求出的坐标，再由它的模求出角，进而求出点C的坐标，利用数量积的坐标表示求出和夹角的余弦值，再求出夹角的度数解答：解：A（3，0），C（cos，sin），O（0，0），=（3+cos，sin），（3+cos）2+sin2=13，解得，cos=，则=，即C（，），和夹角的余弦值是=，和的夹角是故选：D点评：本题考查向量线性运算的坐标运算，以及数量积坐标表示的应用，利用向量坐标形式进行运算求出对应向量的模，以及它们的夹角的余弦值，进而结合夹

10、角的范围求出夹角的大小8设向量=，=不共线，且|+|=1，|=3，则OAB的形状是（）A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：计算题；平面向量及应用分析：对|+|=1，|=3分别平方并作差可得，由其符号可判断AOB为钝角，得到答案解答：解：由|+|=1，得=1，即，由|=3，得，即，得，4=8，解得0，AOB为钝角，OAB为钝角三角形，故选：D点评：本题考查平面向量数量积运算，属基础题9已知点G是ABC的重心，若A=，=3，则|的最小值为（）ABCD2考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用；平面向量及应用分析：由A

11、=，=3，可求得=6，由点G是ABC的重心，得=，利用不等式则|2=（+6），代入数值可得解答：解：A=，=3，=3，即=6，点G是ABC的重心，=，|2=（+6）=2，|，当且仅当=时取等号，|的最小值为，故选B点评：本题考查平面向量数量积的运算、不等式求最值，注意不等式求最值时适用的条件10如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量=（）ABCD考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：由向量的运算可得=（），=，由数量积的定义可得解答：解：=，=2，=（），=，= = = =，=（）（）= 故选：B点评：本题考查向量数量积的运算，用已知向量表示未知向量

12、是解决问题的关键，属中档题11已知函数f（x）=sin（2x+）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）的值为（）ABC1D2考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的图象；正弦函数的定义域和值域菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论解答：解：函数f（x）=sin（2x+）的周期T=，则BC=，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知：=2（）=2=点评：本题主要考查向量的数量积运算，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键12已知P为三角形A

13、BC内部任一点（不包括边界），且满足(）（+2）=0，则ABC的形状一定为（）A等边三角形B直角三角形C钝三角形D等腰三角形考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：利用向量的三角形法则和平行四边形法则、向量垂直于数量积的关系即可得出解答：解：，=，（）（+2）=0，=0而一定经过边AB的中点，垂直平分边AB，即ABC的形状一定为等腰三角形点评：本题考查了向量的三角形法则和平行四边形法则、向量垂直于数量积的关系、等腰三角形的定义，考查了推理能力，属于难题13如图所示，设P为ABC所在平面内的一点，并且=+，则ABP与ABC的面积之比等于（）A B C D考点：向量在几何

14、中的应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，及三角形面积的性质，由ABP与ABC为同底不等高的三角形，故高之比即为两个三角面积之间，连接CP并延长后，我们易得到CP与CD长度的关系，进行得到ABP的面积与ABC面积之比解答：解：连接CP并延长交AB于D，P、C、D三点共线，=+，且+=1设 =k，结合=+，得=+由平面向量基本定理解之，得=，k=3且=，=+，可得=，ABP的面积与ABC有相同的底边AB高的比等于|与|之比 ABP的面积与ABC面积之比为，故选：C点评：三角形面积性质：同（等）底同（等）高的三角形面积相等；同（等）底三角形面积这比等于高

15、之比；同（等）高三角形面积之比等于底之比14在ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过ABC的（）A垂心B外心C重心D内心考点：向量在几何中的应用菁优网版权所有专题：综合题；平面向量及应用分析：首先根据已知条件可知|=|=，又因为=，设=，=，由向量加法的平行四边形法则可知四边形AEDF为菱形，从而可确定直线AD通过ABC的内心解答：解：|AB|=3，|AC|=2 |=|=设=，=， 则|=|，=+由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF为菱形AD为菱形的对角线，AD平分EAF直线AD通过ABC的内心故选：D点评：本题考查向量加法的平行四边形法则及其几何意义，属于中档题1

16、5在ABC中，BAC=60，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）ABCD考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：计算题分析：先判定三角形形状，然后建立直角坐标系，分别求出，向量的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案解答：解：在ABC中，BAC=60，AB=2，AC=1，根据余弦定理可知BC=由AB=2，AC=1，BC=满足勾股定理可知BCA=90以C为坐标原点，CA、CB方向为x，y轴正方向建立坐标系AC=1，BC=，则C（0，0），A（1，0），B（0，）又E，F分别是RtABC中BC上的两个三等分点，则E（0，），F（0，）则=（1，），

17、=（1，）=1+= 故选A点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中建立坐标系，将向量数量积的运算坐标化可以简化本题的解答过程16已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，则OAB的面积为（）ABCD考点：平面向量数量积的运算；三角形的面积公式菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：由向量的运算可得，以及，代入夹角公式可得cosBOA，由平方关系可得sinBOA，代入三角形的面积公式S=，计算可得解答：解：由题意可得=，同理可得=，而=（）（）=61212=，故cosBOA=，可得sinBOA=，所以OAB的面积S=故选B点评：本题考查平面向量的数量积和三角

18、形面积的求解，熟练掌握公式是解决问题的关键，属中档题17已知点P为ABC内一点，且+3=，则APB，APC，BPC的面积之比等于（）A9：4：1B1：4：9C3：2：1D1：2：3考点：向量在几何中的应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比解答：解：+3=，+=+），如图：， F、P、G三点共线，且PF=2PG，GF为三角形ABC的中位线=2而SAPB=SABCAPB，APC，BPC的面积之比等于3：2：1故选 C点评：本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法则，向量数乘运算

19、的几何意义等向量知识，充分利用向量共线是解决本题的关键18在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（）A2B4C5D10考点：向量在几何中的应用菁优网版权所有专题：计算题；综合题分析：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，由题意得以AB为直径的圆必定经过C点，因此设AB=2r，CDB=，得到A、B、C和P各点的坐标，运用两点的距离公式求出|PA|2+|PB|2和|PC|2的值，即可求出的值解答：解：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系，AB是RtABC的斜边，以AB为直径的圆必定经过C点设AB=2r，CDB=，则A（r，0），B（r，0），C（rc

20、os，rsin）点P为线段CD的中点，P（rcos，rsin）|PA|2=+=+r2cos，|PB|2=+=r2cos，可得|PA|2+|PB|2=r2 又点P为线段CD的中点，CD=r|PC|2=r2所以：= =10 故选D点评：本题给出直角三角形ABC斜边AB上中线AD的中点P，求P到A、B距离的平方和与PC平方的比值，着重考查了用解析法解决平面几何问题的知识点，属于中档题二解答题（共6小题）19如图示，在ABC中，若A，B两点坐标分别为（2，0），（3，4）点C在AB上，且OC平分BOA（1）求AOB的余弦值； （2）求点C的坐标考点：向量在几何中的应用菁优网版权所有专题：综合题分析：（

21、1）由题意可得，把已知代入可求（2）设点C（x，y），由OC平分BOA可得cosAOC=cosBOC即=；再由点C在AB即共线，建立关于x，y的关系，可求解答：解：（1）由题意可得，=（2）设点C（x，y），由OC平分BOA可得cosAOC=cosBOC， =， y=2x又点C在AB即共线，4x+5y8=0 由解得，点C的坐标为点评：本题注意考查了向量的夹角公式的坐标表示的应用，向量共线的坐标表示在三角形中的应用，解题的关键是借助于已知图象中的条件，灵活的应用向量的基本知识20已知向量=（cos，sin）和（1）若，求角的集合；（2）若，且|=，求的值考点：平面向量的坐标运算菁优网版权所有专题

22、：计算题分析：（1）由题意和共线向量的等价条件，列出关于角的方程，求出的一个三角函数值，再根据三角函数求出角的集合（2）由题意先求出的坐标，根据此向量的长度和向量长度的坐标表示，列出方程求出cos（），由余弦的二倍角公式和的范围求出的值解答：解：（1）由题意知，则coscossin（sin）=0，sin=1，sin=，角的集合=|=+2k或=+2k，kZ；（2）由题意得，=（cos+sin，sincos），|=2=，即cos（）=，由余弦的二倍角公式得，= ，即cos（）0，由得cos（）=点评：本题考查了共线向量的坐标表示和向量长度的坐标表示，利用两角正弦（余弦）和差公式和二倍角公式进行变形

23、求解，注意由已知条件求出所求角的范围，来确定所求三角函数值的符号21如图所示，若D是ABC内的一点，且AB2AC2=DB2DC2求证：ADBC考点：向量在几何中的应用菁优网版权所有专题：计算题；证明题；平面向量及应用分析：设=，=，=，=，=，将=+、=+代入22的式子，化简整理22=2+222，结合题意22=22化简，可得（）=0，再结合向量的加减法法则得到=0，由此结合数量积的性质即可得到ADBC解答：解：设=，=，=，=，=，则=+，=+22=（+）2（+）2=2+222由已知AB2AC2=DB2DC2，得22=22，2+222=22，即（）=0=+=，=（）=0，因此，可得，即ADBC

24、点评：本题给出三角形ABC内满足平方关系的点D，求证ADBC着重考查了平面向量的加减法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题22已知向量，其中A、B是ABC的内角，（1）求tanAtanB的值；（2）若a、b、c分别是角A、B、C的对边，当C最大时，求的值考点：平面向量的综合题菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）根据 推断出 =0，利用向量的数量积运算结合二倍角公式求得tanAtanB；（2）由于tanAtanB=0，利用基本不等式得出当且仅当 时，c取得最大值，再利用同角公式求出sinC，sinA，最后由正弦定理求的值解答：解：（）由题意得 =0即，5cos（A+B）+4cos（A

25、B）=0cosAcosB=9sinAsinBtanAtanB=（2）由于tanAtanB=0，且A、B是ABC的内角，tanA0，tanB0=当且仅当 取等号c为最大边时，有，tanC=，sinC=，sinA=由正弦定理得：=点评：本题是中档题，考查三角函数的化简与求值，正弦定理的应用，基本不等式的知识，是一道综合题，考查学生分析问题解决问题的能力，公式的熟练程度决定学生的能力的高低23已知向量且，函数f（x）=2（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（II）若，分别求tanx及的值考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；复合三角函数的单调性菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：

26、（I）化简函数f（x）=2=2sin（2x+），可得函数的周期，令 2k2x+2k+，kz，求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间（II）由，求得tanx=，再由 =，运算求得结果解答：（I）解：函数f（x）=2=2sinxcosx+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），故函数的周期为 =，令 2k2x+2k+，kz，求得 kxk+，故函数的单调递增区间为k，k+，kz（II）解：若，则sinx=cosx，即 tanx=点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的增区间，三角函数的周期性和求法，属于中档题24已知，函数f（x）=（1

27、）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调减区间；（3）当时，求函数f（x）的值域考点：平面向量的综合题；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性菁优网版权所有专题：综合题分析：（1）根据向量的数量积公式，结合二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用周期公式，可求函数f（x）的最小正周期；（2）由2k+2x+2k+得k+xk+，从而可得f（x）的单调减区间；（3）由，可得，从而可求函数f（x）的值域解答：解：（1），函数f（x）=5sinxcosx+sin2x+6cos2x=5sin（2x+）+f（x）的最小正周期；（2）由2k+2x+2k+得k+xk+，kZf（x）的单调减区间为k+，k+（kZ）（3） 1f（x）即f（x）的值域为1，点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查函数的单调性与值域，化简函数是关键20