圆锥曲线(求轨迹方程)汇总

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1、专题圆锥曲线(求轨迹方程)求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x, y之间的关系或F(x, y) = 0；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点 的轨迹方程；(3)代入转移法(相关点法)：动点P(x, y)依赖于另一动点Q(x0, y0)的变化而变化，并且 Q(x0, y0)又在某已知曲线上，则可先用x, y的代数式表示xo, yo,再将x0, y0代入已知曲线得 要求的轨迹方程.1 . 一个区别 “轨迹方程”与“轨迹”“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的.前者只须求出轨迹的方程，标出变 量x, y的范围；后者除求出方程外，还应

2、指出方程的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、 大小等有关的数据.2 .双向检验一一求轨迹方程的注意点求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性 与纯粹性”的影响.考向一直接法求轨迹方程【例11已知动点P(x, y)与两定点M(-1,0), N(1,0)连线的斜率之积等于常数 30).(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)试根据人的取值情况讨论轨迹C的形状.【解】(1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零，所以kPM kPN=匕 T-x+ 1 x 122=N整理得x2

3、与=1(正0, xw切.即动点P的轨迹C的方程为x2今=1(正0, xw切.(2)当 A0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；当一1京0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点);当人=1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(一1,0), (1,0).当 点一1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点).【对点练习1】已知A, B为平面内两定点，过该平面内动点 M作直线AB的垂线，垂足为N.若MN2= ；AN NB,其中人为常数，则动点M的轨迹不可能是()A .圆 B .椭圆 C.抛物线 D.双曲线【解析】以AB所在直线

4、为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x, y), A( a,0), B(a,0),则 N(x,0).因为 MN2= :AN NB,所以 y2= Xx+ a)(a-x),即 送 + y2= X a,当上1时，是圆的轨迹方程;当N 0且 计1时，是椭圆的轨迹方程;当 右0时，是双曲线的轨迹方程；当 上0时，是直线的轨迹方程.综上，方程不表示抛物线的方程.【答案】C考向二定义法求轨迹方程【例2】已知两个定圆Oi和O2,它们的半径分别是1和2,且|。1。2| = 4.动圆M与圆Oi内切, 又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.【解】 如图所示，以。

5、1。2的中点。为原点，。1。2所在直线为x轴建立平面直角坐标系.由 |。1。2|=4,得 01( 2,0), 02(2,0).设动圆M的半径为r,则由动圆M与圆01内切，有|M01|=r1;由动圆 M 与圆 02外切，有 |MO2|=r + 2.；|MO2|M01|=3.点M的轨迹是以01, 02为焦点，实轴长为3的双曲线的左支.32227.a = 2, c=2 .b =c a =4.4x2 4y23.二点M的轨迹万程为 g三=1 x0-2 .【对点练习2】如图8-8-1所示，已知圆A: (x+2)2+y2=1与点B(2,0), 分别求出满足下列条件的动点 P的轨迹方程.(1)PAB的周长为1

6、0;(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；.(3)圆P与圆A外切，且与直线x= 1相切(P为动圆圆心).【解】(1)根据题意，知 |PA|+|PB|+|AB| = 10,即 |PA|+|PB| = 64=|AB|, 图 8-8-1故P点轨迹是椭圆，且 2a=6,2c= 4,即a = 3, c=2, b=45.、 x2 y2因此其轨迹万程为g + ,= 1(yw0).(2)设圆 P 的半径为 r,则 |FA|=r+1, |PB|=r,因此 |PA|PB|= 1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a=1,2c= 4,即a=g c= 2, b=乎, 24 21因此其轨迹方程为

7、4x-y=1x依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x= 2的距离，故其轨迹为抛物线，且图 8-8-2开口向左，p = 4.因此其轨迹方程为y2= 8x.考向三 代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图8-8-2所示，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=4|PD|.5(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为4的直线被C所截线段的长度.5xp=x,5yp=4y.P在圆上，；x2+222:25, g方程为 25+y6=1(2)过点(3,0)且斜率为5的直线方程为v= 5(x- 3),设直线与55C 的交点为

8、A(xi, yi), B(x2,y2),将直线方程y=4(x 3)代入C的方程，得舄+ 5253河3 +河 x12 x22.x- 3 225 i即 x23x 8=0.线段 AB 的长度为 |AB|=x1 x2 2 + y1 y2 2 =1+16 x1x22 =25【对点练习2(2014合肥模拟)如图8-8-5所示，以原点O为圆心的两个 同心圆的半径分别为3和1,过原点。的射线交大圆于点P,交小圆于 点Q, P在y轴上的射影为 M.动点N满足PM=沪而且PMQN=0.(1)求点N的轨迹方程；(2)过点A(0,3)作斜率分别为k1, k2的直线l1, l2与点N的轨迹分别 交于E, F两点，k1

9、k2= 9.求证：直线EF过定点.【解】(1)由PM= 屈且pM QN = 0可知N, P, M三点共线且PMXQN.过点 Q 作 QNLPM,垂足为 N,设 N(x, y), |OP|=3, |OQ|=1,由相似可知 P(3x, y).P在圆 x2+y2 = 9 上,(3x)2+y2 = 9,即y+x2=1.所以点N的轨迹方程为5+x2=1.(2)证明：设 E(xe, yE), F(xf, yF),依题意，由y= k1x+ 32 小2=1? (k2 + 9)x2+6kix=0,6k16k1,解得乂=0或乂=一二. 所以xe= 一7,yE = k1k2+9k2+96ki27-3k2k2+9+3

10、=卜2+9 6k1E k2+9髭2. -9, 金二用k2凯代中的k1,同理可得F6k13k2-27k2+9 k2+9 .显然E, F关于原点对称，直线EF必过原点O.【解】(1)设M的坐标为(x, y), P的坐标为(xp, yp),由已知得【达标训练】、选择题1 .若M, N为两个定点，且|MN|=6,动点P满足PMPN = 0,则P点的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线1 ，一1,1 一 ， 一， 2 .已知点F 4, 0 ,直线l： x= 4,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线 段BF的垂直平分线交于点 M ,则点M的轨迹是()A.双曲线B .椭圆C.圆D.抛物线3

11、. (2014天津模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1), B(1,3),若点C满足OC= KA 十 %OB(O为原点)，其中21, 4R,且N+龙=1,则点C的轨迹是()A.直线 B .椭圆 C.圆 D.双曲线图 8-8-44 . (2014合肥模拟)如图8-8-4所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于E,则点E的轨迹是()A .圆B .椭圆C.双曲线D.抛物线5 .设过点P(x, y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于O为坐标原点，若BP = 2PA,)B.3x2 3y2 = 1(x0, y0)D. 3x2+3y2=1(x0, y0)A, B两

12、点，点Q与点P关于y轴对称, 且OQ AB = 1,则点P的轨迹方程是(A.2x2 + 3y2=1(x0, y0)C. 3x2-3y2=1(x0, y0)6.已知动点P在曲线2x2 y=0上移动，则点A(0, 1)与点P连线中点的轨迹方程是()7.平面上有三个点B. y= 8x2C. 2y= 8x2-1D. 2y=8x2+1A(-2, y), B 0, y , C(x, y),若ABBC,则动点C的轨迹方程是8.动圆与。Ci： x2 + y2=1外切，与。C2：x2+y2-8x+ 12 = 0内切，则动圆圆心的轨迹是9.已知 ABC的顶点B(0,0), C(5,0), AB边上的中线长|CD|

13、 = 3,则顶点A的轨迹方程为 aa _10.(2014 佛山,g拟)在4ABC 中，A 为动点，B, C 为定点，B 2, 0 , C 2, 0 (a0), 且潴足条件sin C-sin B = 2sin A,则动点A的轨迹方程是:三、解答题11.已知定点F(0,1)和直线1i： v= 1,过定点F与直线1i相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于P, Q两点，交直线l1于点R,求RPRQ的最小值.12. (2011课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0, 1), B点在直线y= -3上，M点满足MB/OA, MAAB=MBBA, M点的轨

14、迹为曲线 C.(1)求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求。点到l距离的最小值.13. (2013课标全国卷H )在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2也 在y轴上截得线段长为273.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线v= x的距离为12,求圆P的方程.【达标训练】参考答案一、选择题2. A.【解析】:PM PN=0, ；PM，PN,点P的轨迹是以线段MN为直径的圆.3. D.【解析】由已知：|MF|=|MB|,由抛物线定义知，点 M的轨迹是以F为焦点，l为准线 的抛物线. fx=321_ 及，3 .A .【解析】设 C(x,y),因为OC=人O

15、A+ &OB,所以(x,y)= X(3,1)+ 夙1,3),即y+ 3x1二 10，解得3y x页=10，y =归+ 3及，y+ 3x 3yx又入+处=1,所以口0- + 0 = 1,即x+2y=5,所以点C的轨迹为直线，故选A.4 . B .【解析】由题意知，|EA|+|EO|=|EB| + |EO|=r(r为圆的半径)且r|OA|,故E的轨迹为 以O, A为焦点的椭圆，故选B.5. A.【解析】 设 P(x, y), A(xa,0), B(0, yB),则 BP=(x, y-yB), PA= (xa x, y),x= 2 xax ,.BP=2PA,y- yB= 2y,3 xA qX , 即

16、 2. A3x, 0 , B(0,3y).yB = 3y.又 Q(x, y), . OQ=(-x, y), AB=3 c .二二 3 2 八 2,一 ？x, 3y , OQ AB = 2X + 3y = 1,则点P的轨迹方程是2x2 + 3y2=1(x0, y 0).Xy，-1x6. C.【解析】设 AP 中点 M(x, y), P(x , y ),则 x=, y=；22y= 2x,= 2y+ 1,代入 2x2 y= 0,得 2y=8x21,故选 C.二、填空题7. y2=8x。【解析】AB= 0, y ( 2, y)= 2,y 一八 y y一2，BC=(X，y) 0, 2 = x，2，.AB

17、BC,ABBC = 0,o=y-2Xy-2=2ynBA动点C的轨迹方程为y2 = 8x.8 .以Ci, C2为焦点的双曲线的右支。【解析】OC2的圆心为C2(4,0),半径为2,设所求动圆的圆心为 M,半径为r,因为动圆与。Ci 外切，又与。C2 内切，所以 r2, |MCi|=r+1，|MC2|=r 2.由一得 |MCi|MC2| = 30且v丰0).【解析】由正弦定理： 皤一弟=：*喏，即AB| a 3a2R 2R 2 2R 1aAC尸引BC|,故动点A是以B, C为焦点，a为实轴长的双曲线右支.三、解答题11.【解】(1)由题设知点C到点F的距离等于它到11的距离,点C的轨迹是以F为焦点

18、，11为准线的抛物线，动点C的轨迹方程为x2 = 4y.(2)由题意知，直线12的方程可设为y=kx+ 1(kw0),与抛物线方程联立消去y,得x24kx 4=0. 设 P(x1, y1)，Q(x2, y2),则 x + x2=4k,x1x2 = 4.又易得点 R 的坐标为. .RP RQ= x1 + 2, y1+ 1222x2 + k，y2+1 = x+k x2+k +(kx1 + 2)(kx2+2)22 422 4,21二 (1 + k2)x1x2+ k+2k (x1 + x2) + k2+ 4= 4(1 + k2)+4k 1+2k +k2+4=4 k2+p +8., + *2,当且仅当k

19、2=1时取等号， kARp IRQ4X2 + 8=16,即曲RQ的最小值为16.12.【解】(1)设 M(x, y),由已知得 B(x, -3).又 A(0, 1),所以 MA=( x, -1-y),MB=(0, -3-y), AB=(x, -2).再由题意可知(MA+MB)AB=0,即(一x, -4-2y) (x, 2)=0,所以曲线 C 的方程为 y=4x2 2.(2)设P(x。，y)为曲线C: y= 4x22上一点，因为y =2x,所以l的斜率为2x0.1.12y0x0|因此直线l的方程为y y0 = 2x0(xx),即xx2y+ 2y0 x2 = 0.则。点到l的距离d= 厂,27x0

20、 + 41 212xo+4 1 ； 24又y0=4x2 2,所以4标= 2x0+4+扁 支.当x0 = 0时取等号，所以。点到l距离的最小值为2.13【解】设P(x, y),圆P的半径为r.由题设y2 + 2=r2,x2+3=r2,从而y2+ 2 = x2+ 3.故P点的轨迹方程为y2 x2=1.(2)设P(x0, yo).由已知得xo-yo|2R=2.又P点在双曲线y2 x2=1上,|x0y0|= 1,从而得22yo xo = 1.xo yo= - 1, y0 x2= 1x0y0=1,xo = O,由22 得此时，圆P的半径r=y3.yo x0= 1yo = - 1.xo= o,得此时，圆P的半径r =m.yo=1,故圆 P 的方程为 乂2+(丫+1)2 = 3或乂2+“ 1)2 = 3.