2017年高考数学复习：第四章平面向量

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1、2017年高考数学复习：第四章平面向量一、平面向量的概念及其线性运算一、选择题：1【2016江西赣中南五校一联，理5】如图所示，点是函数图象的最高点，M、N是图象与轴的交点，若，则等于（）A B C D 【答案】B 【解析】由题意可得：，,所以；所以函数的周期为16，即故选B2. (2015四川高考文科T2)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=() A.2B.3C.4D.6【解析】选B.由向量平行的坐标运算可知,26=4x,则x=3.3.(2015新课标全国卷理科T7)设D为ABC所在平面内一点,BC=3CD,则() A. B. C. D. 【解析】选A.由题知4 . (2

2、015新课标全国卷文科T2)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=() A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)【解析】选A.因为AB=(3-0,2-1)=(3,1),所以BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).5.(2015石家庄模拟)已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是() A.a+b=0 B.a=b C.a与b共线反向D.存在正实数,使a=b【解析】选D.因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.则a与b共线同向,故D正确.【误区警示】解答本题易误选B,

3、若a=b,则|a+b|=|a|+|b|,反之不一定成立.6.(2015攀枝花模拟)在ABC中,已知D是AB边上一点,则实数=() 【解析】选D.如图,D是AB边上一点,过点D作DEBC,交AC于点E, 过点D作DFAC,交BC于点F,连接CD,则 7.(2015兰州模拟)若点M是ABC所在平面内的一点,且满足, 则ABM与ABC的面积比为() 【解题提示】取AB的中点为D,利用已知转化为之间的关系求解即可.【解析】选C.取AB的中点为D,则由得即2=3,又与有公共点M,故D,M,C三点共线,且即ABM与ABC两高之比为35, 故面积之比为.8.如图所示,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直

4、线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若则m+n的值为() A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.因为O是BC的中点, 所以又因为所以 因为M,O,N三点共线, 所以=1,所以m+n=2.9. (2015大理模拟)O是ABC所在平面外一点且满足,为实数, 则动点P的轨迹必经过ABC的() A.重心B.内心C.外心D.垂心【解题提示】明确是方向上的单位向量, 利用平行四边形法则可转化为与共线后可解.【解析】选B.如图,设已知均为单位向量, 故AEDF为菱形,所以AD平分BAC,由 得有公共点A, 故A,D,P三点共线, 所以P点在BAC的平分线上,故P的轨迹经过ABC的内心.二、填空题

5、：10.【加固训练】(2014海口模拟)在ABC中,=c,=b, 若点D满足,则=.【解析】如图,因为在ABC中, = c, =b,且点D满足,答案:b+c11.(2015长春模拟)已知m,n满足|m|=2,|n|=3,|m-n|=,则|m+n|=.【解析】由平行四边形的对角线与边的关系及|m-n|与|m+n|为以m,n为邻边的平行四边形的两条对角线的长,得|m-n|2+|m+n|2=2|m|2+2|n|2=26, 又|m-n|=, 故|m+n|2=26-17=9,故|m+n|=3. 答案:312.给出下列命题: 若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件; 0a

6、=0; a=b的充要条件是|a|=|b|且ab; 若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等. 其中正确命题的序号是.【解析】正确;数乘向量的结果为向量,而不是实数,故不正确;当a=b时|a|=|b|且ab,反之不成立, 故错误; 当a,b不同向时不成立,故错误. 答案:三、解答题：13.【2016河南中原名校一联，理10】在中，角，的对边分别为，已知向量，且（1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值【解析】，所以，由正弦定理得，由，由于，因此，所以，由于，（2）由余弦定理得，因此，当且仅当时，等号成立；因此面积，因此面积的最大值14. (2015贵阳模拟)如图,在平行四边形

7、ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,若,求实数m的值.【解析】由N是OD的中点得又因为A,N,E三点共线, 故 故实数m=.15. (能力挑战题)设a,b是不共线的两个非零向量.(1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求证:A,B,C三点共线.(2)若=a+b,=2a-3b,=2a-kb,且A,C,D三点共线,求k的值.【解析】(1)由已知得=3a+b-2a+b=a+2b, =a-3b-3a-b=-2a-4b,故 又与有公共点B,所以A,B,C三点共线.(2)因为=a+b+2a-3b=3a-2b,=2a-kb,且A,C,D三点共线, 故存

8、在实数使得即2a-kb=3a-2b, 二、平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题：1.【2016高考新课标3理数】已知向量 ， ，则（ ）(A) (B) (C) (D)【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得， 所以，故选A2.【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）（A）8 （B）6 （C）6 （D）8【答案】D 【解析】试题分析：向量，由得， 解得，故选D.3.【2016江西赣中南五校一联，理6】外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为（）ABCD【答案】A 4.【2016湖北省优质高中联考，理4】已知向量，若， 则向量与向量的夹角的余弦值是（）A B C D【答

9、案】A 【解析】，因为，所以，解得，当时，故选A5.已知向量a,b满足|a|=,b=(2,4),则“a=(-1,-2)”是“ab”成立的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若a=(-1,-2),则b=-2a,显然ab成立,故充分条件具备.反之,若ab,则b=a,设a=(x,y), 则必有所以y=2x, 又x2+y2=5, 由得 得不出a=(-1,-2),故必要性不具备. 因而是充分不必要条件.6.(2015兰州模拟)在ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点, 则+的值为() 【解析】选A.因为M为BC上任意一点,所以设(x+y

10、=1).又N为AM中点. 7.ABC中,三内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若向量m=(a+c,b), n=(b-a,c-a),且mn,则角C的大小为() 【解析】选B.由mn知(a+c)(c-a)-b(b-a)=0, 即a2+b2-c2=ab,又cos C= 0C0,y0),若ab,则|c|的最小值为.【解析】abxy=8,所以|c|= =4(当且仅当x=y=2时取等号).答案:414. (2015徐州模拟)设=(-b,0),a0,b0,O为坐标原点, 若A,B,C三点共线,则的最小值为.【解析】因为A,B,C三点共线, 所以. 所以2(a-1)-(-b-1)=0,所以2a+b=1.

11、所以即b=,a=时取等号.所以的最小值是8. 答案:815. (2015牡丹江模拟)如图,在ABC中, ,P是BN上的一点, 若,则实数m的值为.【解析】由条件知 答案:三、解答题16. (能力挑战题)已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a0,b0.(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值.(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.【解析】(1)因为四边形OACB是平行四边形,所以,即(a,0)=(2,2-b), 故a=2,b=2.(2)因为=(-a,b),=(2,2-b), 由A,B,C三点共线,得, 所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+

12、b)=ab,因为a0,b0, 所以2(a+b)=ab, 即(a+b)2-8(a+b)0, 解得a+b8或a+b0.因为a0,b0, 所以a+b8,即a+b的最小值是8. 当且仅当a=b=4时,“=”成立.17.【加固训练】已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且(tR),问:(1)t为何值时,点P在x轴上?点P在二、四象限角平分线上?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.【解析】(1)因为O(0,0),A(1,2),B(4,5), 所以 =(1+3t,2+3t).若P在x轴上,只需2+3t=0,t=-; 若P在第二、四象限角平分线上,则1+

13、3t=-(2+3t),t=-.(2) 若四边形OABP是平行四边形,则 即此方程组无解. 所以四边形OABP不可能为平行四边形.三、平面向量的数量积一、选择题：1.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足 =,=-2， 动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )（A） （B） （C） （D）【答案】B 【解析】考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立

14、直角坐标系，写出坐标，同时动点的轨迹是圆，因此可用圆的性质得出最值2.【2016高考天津理数】已知ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B 【解析】试题分析：设，故选B.考点：向量数量积3.【2016年高考北京理数】设，是向量，则“”是“”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】试题分析：由，故是既不充分也不必要条件，故选D.4.【2016高考山东理数】已知非零向量m，n满足4m=3n，cos=.若n（tm+n）， 则实数t的值为（ ） （A）4

15、 （B）4 （C） （D）【答案】B 5.（2015四川高考理科T7）设四边形为平行四边形，。 若点，满足，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【解析】选。在平行四边形内，易得， 所以， =6. (2015广东高考文科T9)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形, AB=(1,-2),AD=(2,1),则ADAC=() A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选D. 因为四边形是平行四边形，所以， 所以7. （2015安徽高考理科T8）是边长为的等边三角形，已知向量，满足， ，则下列结论正确的是（ ） A、 B、 C、 D、【解题指南】根据向量的线性运算法则和数量积进行计

16、算判断。【解析】选D。因为=，所以,故A错误；由于=，所以，所以，故B,C错误；又因为=，所以 8. （2015安徽高考文科T15）是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论中正确的是 。（写出所有正确结论得序号）为单位向量；为单位向量；。【解题指南】根据向量的线性运算法则和数量积进行计算判断。【解析】因为是边长为2的等边三角形， ，所以 ，故正确；因为，所以,故（2）错误；由于,所以，故错误；正确；又因为=，所以， 故正确。答案：9.(2015新课标全国卷文科T4)已知a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=() A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选C.由题意可得a

17、2=2,ab=-3, 所以(2a+b)a=2a2+ab=4-3=1.10.(2015山东高考理科T4)已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则() A. B. C. D. 【解题指南】因为，,所以只需求BD和ABD.【解析】选D.由菱形ABCD的边长为a,ABC=60得BCD=120,ABD=30,在BCD中,由余弦定理得，所以. 11.（2015重庆高考理科6）若非零向量满足，且， 则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【解析】选A.设与的夹角为，因为所以解得，因为，所以.12.（2015重庆高考文科7）已知非零向量满足，且则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【解题指南】直

18、接利用向量的数量积运算即可求出向量的夹角.【解析】选C.设向量的夹角为，由及所以，解得,所以13 . (2015福建高考理科T9)已知ABAC,|AB|=1t,|AC|=t.若点P是ABC所在平面内的一点, 且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则PBPC的最大值等于() A.13 B.15 C.19 D.21【解析】选A.以A点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示,C(0,t),B1t,0,AP=(1,0)+4(0,1)=(1,4),从而PB=1t-1,-4,PC=(-1,t-4),所以PBPC=-4t-1t+17-24t1t+17=13,当且仅当4t=1t即t=12时,等号成立.14.(2

19、015福建高考文科T7)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb,若bc,则实数k的值等于() A.-32 B.-53 C.53 D.32【解析】选A.c=a+kb=(1+k,2+k),因为bc,所以bc=0,即1+k+2+k=0k=-32.15. (2015陕西高考理T7文T8)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是() A.|ab|a|b| B.|a-b|a|-|b| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2【解析】选B.由|ab|=|a|b|cos|, 因为-1cos1,所以|ab|a|b|恒成立;由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得|a-b

20、|a|-|b|,故B选项不成立;根据向量数量积的运算律C,D选项恒成立.16.(2015丽水模拟)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)b=0,则向量a,b的夹角为() 【解析】选A.由(2a+b)b=0得2ab+bb=0, 即2|a|b|cos+b2=0,又|a|=|b|,且a,b为非零向量, 所以2|a|2cos+|a|2=0.所以cos=-,所以=.17.(2015绵阳模拟)已知向量a=(1,1),b=(2,y),若|a+b|=ab,则y=() A.-3 B.-1 C.1 D.3【解析】选D.因为a=(1,1),b=(2,y), 所以a+b=(3,y+1),ab=2+y, 因

21、为|a+b|=ab.所以=2+y,所以y=3.18. (2015太原模拟)在ABC中,设 那么动点M的轨迹必通过ABC的() A.垂心B.内心C.外心D.重心【解析】选C.假设BC的中点是O,则 即所以动点M在线段BC的中垂线上, 所以动点M的轨迹必通过ABC的外心.二、填空题：19.【2016高考新课标1卷】设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .【答案】 【解析】试题分析：由,得,所以,解得.20.【2016高考江苏卷T13】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点， ，则 的值是 . 【答案】考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两

22、个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：21.(2015湖北高考理科T11文科T11)已知向量，则 【解析】因为向量，所以，即所以 即答案:922.已知向量a=(cos,sin),b=(2,2),则|2a-b|的最大值为.【解析】由已知得|2a-b|2=4a2+b2-4ab=4+16-4(2cos+2sin) =20-16 =20-16sin所以当+=2k-(kZ),即=2k-(kZ)时,|2a-b|=36. 所以|2a-b|的最大

23、值为6.答案:623.设两个向量a,b,满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为,若向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角, 则实数t的范围为.【解析】由向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,得0,即(2ta+7b)(a+tb)0,化简即得2t2+15t+70,解得-7t-, 当夹角为时,也有(2ta+7b)(a+tb)0,但此时夹角不是钝角,设2ta+7b=(a+tb),0,故a=2.3.(2015南宁模拟)已知向量a=(cos,-2),b=(sin,1),且ab,则2sincos等于() 【解析】选D.由ab得cos=-2sin, 所以tan=-. 所以2sincos=4.在ABC中,

24、a,b,c分别为角A,B,C所对应的三角形的边长,若=0, 则cos B=() 【解析】选A.由=0得 =0,又不共线, 5. (2015保定模拟)已知ABC的外接圆圆心为O,若,则ABC是() A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不能确定【解析】选C.由可得O为BC边的中点. 又O为ABC的外心,故BC为ABC外接圆的直径,故BAC=90,故ABC为直角三角形.二、填空题:6.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,若函数f(x)=x3+|a|x2+abx在R上有极值, 设向量a,b的夹角为,则的取值范围是.【解析】因为f(x)=x2+|a|x+ab,由题意,得关于x的一元二

25、次方程x2+|a|x+ab=0有两个不同实数根,所以 =|a|2-4ab0,因为|a|=2|b|0,所以4|b|2-42|b|b|cos0,即cos, 因为0,y=cos x在0,上是减函数,所以.答案: (,【误区警示】解答本题易误填,出错的原因是由题意误得关于x的方程x2+|a|x+ab=0有实数根, 即0.事实上,当=0时,方程的实数根并不是函数f(x)的极值点.7.已知向量a=,=a-b,=a+b,若OAB是等边三角形,则OAB的面积为.【解析】因为a=,=a-b, =a+b,所以+=(a-b)+(a+b)=2a=(-1,), 所以所以等边三角形OAB的高为1,边长为, 因此其面积为

26、答案: 三、解答题8. (2015成都模拟)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a+c,b-a),n=(a-c,b), 且mn. (1)求角C的大小. (2)若向量s=(0,-1),t=,试求|s+t|的取值范围.【解析】(1)由题意得mn=(a+c,b-a)(a-c,b)=a2-c2+b2-ab=0,即c2=a2+b2-ab. 由余弦定理得cos C=因为0C,所以C=.(2)因为s+t=(cos A,cos B), 所以|s+t|2=cos2A+cos2B=cos2A+ 9.【加固训练】(2015南昌模拟)已知向量a=与b=(1,y)共线,设函数y=f(x).(1)求函数f(x)的最小正周期及最大值. (2)已知锐角ABC的三个内角分别为A,B,C,若有求ABC的面积.【解析】(1)因为a与b共线, 19 / 19 2017年高考数学复习：第四章平面向量