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1、复变函数期末复习一 知识点1第一章主要掌握复数的四则运算，复数的代数形式、三角形式、指数形式及其运算。2 第二章主要掌握函数的解析性，会判断函数是否是解析函数，会求解析函数的导数。3第三章掌握复变函数积分的计算，掌握柯西积分公式。4 第四章掌握复数项级数的有关性质，会把一个函数展开成泰勒级数。5 第五章掌握将函数展开为洛朗级数，掌握孤立奇点的分类及判断。6第六章掌握留数的计算，掌握用留数计算积分，掌握利用留数计算三类实积分。二 例题选讲1 解方程。知识点：复数方程的解法解 因此方程的根为2求的三次方根。知识点：利用复数的三角形式。解 =，所以它的三次方根为当时，它的根为当时，它的根为=当时，它
2、的根为。3设，试证明：。知识点： 利用证明：，又因为，所以。4 证明。知识点：复数模的计算，复数模共轭复数的关系。证明：=。5 三点适合条件，试证明三点是一个内接于单位圆周的正三角形的顶点。知识点：利用平行四边形公式。解：由得 = 所以，同理，所以三点是一个内接于单位圆周的正三角形的顶点。6 试证明：。知识点：利用证明：对于两个复数，我们有 = =.7 试证在复平面上解析，并求其导数。知识点：利用柯西黎曼条件。解：设，则，.这四个偏导数都连续，且满足柯西黎曼条件，所以在复平面上解析，其导数为。8 函数在区域D内解析，并且在D内为常数，试证明在D内必为常数。知识点：利用柯西黎曼条件，利用导数恒为
3、0，则函数应该为常数。解：设，则因为在D内为常数，可以设，即，两边关于求导数得而，所以上式可以化为如果，则在D为常数0，如果，则方程组的系数行列是不为0，齐次方程只有零解，所以 ，在D为常数。9 设函数在区域D内解析，并且也在区域D内解析，试证明在D 内必为常数。 知识点：利用柯西黎曼条件，利用导数恒为0，则函数应该为常数。解：设，则函数在区域D内解析，所以也在区域D内解析，所以所以 ，在D为常数。10证明函数在平面上解析，并求其导数。知识点：利用柯西黎曼条件，利用双曲函数的定义。解：，以上四个偏导数在复平面上连续，且满足柯西黎曼条件在平面上解析，其导数为。11 指明满足条件的z所构成的点集。
4、用复数方程表示曲线解：原式即为，记得，表示一个圆周的外部或内部。12求极限。知识点：这是型，用洛必达法则。解 =3。13 极限。知识点：复变函数的极限的计算解 =。14 将在内展开成幂级数。知识点：利用，以及逐项求导，将分式写成部分分式的和。解 设=， 去分母得 取，得 取，得取，得 所以= =。15 将函数在内展开成洛朗级数。知识点： 利用。注意要求展开成什么形式。解 = =16设函数，求函数在无穷远点处的留数。知识点：函数在无穷远点处留数的定义和计算。解：因为而= 所以是它的一阶极点， 17计算积分。知识点：利用留数定理。解 被积函数在圆周内只有一级极点和二级极点，所以=18分。知识点：利
5、用留数定理或柯西积分公式。解：被积函数有两个极点，这两个极点都在圆周内因此= 而=5而，所以=。19计算积分。知识点：利用留数定理或柯西积分公式。解；由得，这些点都是函数的一阶极点，而只有时奇点才在内。= 而，所以。20计算积分。知识点：利用柯西积分公式或者利用留数定理.解 被积函数有两个极点，这两个极点都在圆周内因此=而=同理，所以=21计算积分解 在上半平面内只有一个奇点，它是二阶极点。所以=，=因此=22计算积分，其中。知识点；令，则,然后化成复变函数沿闭曲线的积分，用留数定理来计算。解 令，则，被积函数有两个一级极点 因为只有，所以只有在单位圆内，所以=23 计算积分。知识点：利用留数
6、定理计算实的积分。解：被积函数有四个极点，只有极点在上半平面内所以=。24证明：对于复数，当时，。证明 因为 。 有因为 。 25设函数在解析,并且它不恒为常数.证明：若为的m阶零点的充要条件是为的m阶极点. 证明：必要性：若为的m阶零点，则其中在点的某个邻域内解析且，所以， 在点的某个邻域内解析且，所以为的m阶极点. 充分性：若为的m阶极点.，则可以表示为 ，且在点的某个邻域内解析且，从而所以为的m阶零点。 26 设为整函数且存在正整数以及正数，使得任意复数有，则函数是一个次数至多为次得多项式或常数证明：在复平面上任取一点，则在上解析由柯西不等式得，其中，所以令得到由的任意性，得到所以函数是
7、一个次数至多为次得多项式或常数。27计算积分解 令，则，被积函数有两个一级极点 因为只有，所以只有在单位圆内，所以=28 设为整函数且存在正整数以及正数，使得任意复数有，则函数是一个次数至多为次得多项式或常数证明：在复平面上任取一点，则在上解析由柯西不等式得，其中，所以令得到由的任意性，得到所以函数是一个次数至多为次得多项式或常数。29 函数在半圆上连续，且在上一致成立，证明：其中。证明：因为在上一致成立，所以，当时候对一切，有当时候所以30 设函数在区域内解析，试证。解：设函数，则，而解析函数的实部与虚部是调和函数，所以有。31 设分别是函数的阶零点,问在有何性质? 解: 证若为的阶零点.则在的某个邻域内,其中在的某个邻域内解析,当时,.因此为可去奇点.当时, 因此为阶零点.当时, 因此为阶极点.32 设为整函数且存在正数，使得任意复数有，则函数是一个次数至多为3次的多项式或常数。证明：在复平面上任取一点，则在上解析由柯西不等式得，其中，所以当时候，令得到由的任意性，得到所以函数是一个次数至多为3次得多项式或常数。33 设曲线为圆弧，证明 。证明： 设，则所以。
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