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1、2014届南通市高三数学期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分6785 5 63 40 11. 复数（其中i是虚数单位）的虚部为 2. 某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 .开始结束输出SYNn a3. 函数的值域为 4. 分别在集合1，2，3，4和集合5，6，7，8中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为 5. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为 . 6 如图是计算的值的一
2、个流程图，则常数a的取值范围是 7. 函数y =的图象可由函数y = sinx的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y = sinx的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的现给出下列四个变换：A. 图象上所有点向右平移个单位；B. 图象上所有点向右平移个单位；C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D. 图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）.请按顺序写出两次变换的代表字母： .（只要填写一组）8. 记maxa，b为a和b两数中的较大数设函数和的定义域都是R，则“和都是偶函数”是“函数为偶函数”的 条件（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既
3、不充分也不必要”中选填一个）9. 在平面直角坐标系xOy中，圆C1：关于直线l：对称的圆C2的方程为 10. 给出以下三个关于x的不等式：，若的解集非空，且满足的x至少满足和中的一个，则m的取值范围是 11. 设，且，则的值为 12. 设平面向量a，b满足，则ab的最小值为 13. 在平面直角坐标系xOy中，曲线上的点到原点O的最短距离为 14. 设函数是定义域为R，周期为2的周期函数，且当时，；已知函数 则函数和的图象在区间内公共点的个数为 二、解答题：本大题共6小题，共90分15设向量a，b，其中（1）若，求的值；（2）设向量c，且a + b = c，求的值16EADBCFP如图，在三棱锥
4、PABC中，平面PAC平面ABC，E，F分别是AP，AC的中点，点D在棱AB上，且求证：（1）平面PBC；（2）平面DEF平面PAC 17如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东的方向，且在港口A北偏西的方向上一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补OAB东北CD给物资后以相同的航速送往科考船已知两船同时出发，补给装船时间为1小时（1）求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；（2）给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？18设公差不为零的等差数列的各项均为整
5、数，Sn为其前n项和，且满足（1）求数列的通项公式；（2）试求所有的正整数m，使得为数列中的项 19.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C上的点到右焦点的距离的最小值为OxyABl（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且求证：原点O到直线AB的距离为定值；求AB的最小值20设函数，其图象在点处切线的斜率为（1）求函数的单调区间（用只含有的式子表示）；（2）当时，令，设，是函数的两个根，是，的等差中项，求证：（为函数的导函数） 【填空题答案】1. 2. 72 3. 4. 5. 2 6. 7. BD（DA） 8. 充分不必要 9
6、. 10. 11. 12. 513. 14. 1515.【解】（1）因为a，b，所以 2分因为，所以ab = 04分于是，故 6分（2）因为a + b ，所以8分 由此得，由，得，又，故 10分代入，得12分而，所以14分16. 【证】（1）在PAC中，因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF / PC2分又因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC5分（2）连结CD因为，所以ACD为正三角形因为F是AC的中点，所以7分因为平面PAC平面ABC，平面ABC，平面PAC平面ABC，所以平面PAC11分因为平面DEF，所以平面DEF平面PAC14分17.【解】（1）由题意知，在OAB中， OA=
7、120，于是，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时 5分（2）由（1）知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合 为使航行的时间最少，快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与科考船在C处相遇7分在OAB中，可计算得，而在OCB中，9分由余弦定理，得，即，亦即，解得或（舍去）12分故即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇？14分18.【解】（1）因为是等差数列，且，而，于是2分 设的公差为d，则由得， 化简得，即，解得或， 但若，由知不满足“数列的各项均为整数”，故5分 于是7分（2）因为， 10分所以要使为数列中的项
8、，必须是3的倍数，于是在中取值，但由于是3的倍数，所以或由得；由得 13分当时，；当时，所以所求m的值为3和416分另解：因为 ，所以要使为数列中的项，必须是3的倍数，于是只能取1或（后略）19.【解】（1）由题意，可设椭圆C的方程为，焦距为2c，离心率为e于是设椭圆的右焦点为F，椭圆上点P到右准线距离为，则，于是当d最小即P为右顶点时，PF取得最小值，所以3分因为所以椭圆方程为5分（2）设原点到直线的距离为h，则由题设及面积公式知当直线的斜率不存在或斜率为时，或于是7分当直线的斜率存在且不为时，则，解得 同理9分在RtOAB中，则 ，所以综上，原点到直线的距离为定值11分另解：，所以因为h为
9、定值，于是求的最小值即求的最小值 ， 令，则，于是， 14分 因为，所以， 当且仅当，即，取得最小值，因而 所以的最小值为16分 20. 【解】（1）函数的定义域为，则，即于是2分当时，在上是单调减函数；当时，令，得（负舍）， 所以在上是单调减函数，在上是单调增函数； 当时，若，则恒成立，在上单调减函数； 若，令，得（负舍）， 所以在上单调增函数，在上单调减函数； 综上，若，的单调减区间为，单调增区间为； 若，的单调减区间为；若，的单调增区间为，单调减区间为8分（2）因为，所以，即因为的两零点为，则相减得：， 因为 ，所以， 于是 14分 令， 则，则在上单调递减， 则，又，则命题得证16分附
10、加题：ADCBO21A. 如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C若DA = DC，求证：AB = 2 BC【证】连结OD，BD，因为AB是圆O的直径，所以因为DC是圆O的切线，所以因为AD = DC，所以于是ADBCDO，从而AB = CO，即2OB = OB + BC，得OB = BC故AB = 2 BC10分21B. 已知矩阵A的逆矩阵A，求矩阵A的特征值【解】因为AA=E，所以A =(A)因为A，所以A =(A) 5分于是矩阵A的特征多项式为f ()= 234， 8分令f () = 0，解得A的特征值1 = 1，2 =4 10分21C. 在平面直角坐
11、标系xOy中，求过椭圆（为参数）的左焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程【解】椭圆的普通方程：，左焦点3分 直线的普通方程：. 6分 设过焦点且与直线平行的直线为 将代入， 所求直线的普通方程为10分21D.已知实数x，y满足：| x + y |，求证：| y |【证】5分 由题设知| x + y |， 从而故| y |10分22从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量是这两点间的距离 （1）求概率； （2）求的分布列，并求其数学期望E()【解】（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有种因为正方体的棱长为1，所以其面对角线长为，正方体每个面上均有两条对角线，所以共有
12、条因此 3分（2）随机变量的取值共有1，三种情况正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是5分从而 7分所以随机变量的分布列是1P()8分因此 10分23在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：，F为其焦点，点E的坐标为(2，0)，设M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，链接ME，NE并延长分别交抛物线C与点P，Q（1）当MNOx时，求直线PQ与x轴的交点坐标；（2）当直线MN，PQ的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：【解】（1）抛物线C：的焦点F(1，0) 当MNOx时，直线MN的方程为 将代入抛物线方程，得不妨设，则直线ME的方程为，由解得或，于是得同理得，所以直线的方程为故直线PQ与x轴的交点坐标(4，0)4分（2）设直线MN的方程为，并设由，于是，从而设直线MP的方程为，由，所以，同理，由，得 即10分13
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