2第一章：随机误差

《2第一章：随机误差》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2第一章：随机误差（156页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、主主 要要 内内 容：容： p概述：产生原因、随机误差特性、随机误差处理的基本原概述：产生原因、随机误差特性、随机误差处理的基本原则。则。p等精度测量的随机误差，服从正态分布随机误差的特征，等精度测量的随机误差，服从正态分布随机误差的特征，数字特征。数字特征。p算术平均值原理、残余误差，算术平均值的计算校核。算术平均值原理、残余误差，算术平均值的计算校核。 p测量的标准差。单次测量的标准偏差、贝塞尔公式、算术测量的标准差。单次测量的标准偏差、贝塞尔公式、算术平均值的标准偏差、标准差的其它估计方法。平均值的标准偏差、标准差的其它估计方法。p随机误差的正态分布曲线，经验分布曲线，定义、概念、随机误

2、差的正态分布曲线，经验分布曲线，定义、概念、绘制，正态分布曲线，概率函数、特性，正态分布密度函绘制，正态分布曲线，概率函数、特性，正态分布密度函数的概率积分，置信概率、计算。数的概率积分，置信概率、计算。主主 要要 内内 容：容： p单次测量的精度指标：标准差及估计，平均误差，单次测量的精度指标：标准差及估计，平均误差，几率误差，极限误差，别捷尔斯公式。几率误差，极限误差，别捷尔斯公式。p多次次测量的精度指标，算术平均值的分布，算术多次次测量的精度指标，算术平均值的分布，算术平均值的精度指标。平均值的精度指标。p中心极限定理，评定非正态分布随机误差的方法。中心极限定理，评定非正态分布随机误差的

3、方法。几种常用的非正态分布：均匀分布，三角形分布，几种常用的非正态分布：均匀分布，三角形分布，反正弦分布，偏心分布，绝对正态分布，反正弦分布，偏心分布，绝对正态分布， 分布、分布、t 分布、分布、F 分布。分布。 2一、随机误差产生的原因一、随机误差产生的原因p随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不能调节，随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素中，有的是尚更不能消除的微小因素造成。这些因素中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有的是在测量过程中未掌握其影响测量准确的规律；有的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化，而这些微小变化又给对其难以完全控制

4、的微小变化，而这些微小变化又给测量带来误差。测量带来误差。 1.1.测量装置方面的因素；测量装置方面的因素；2.2.环境因素；环境因素；3.3.人员因素。人员因素。例例 题题 举例：举例：某台激光数字波面干涉仪，对其进行准确度考核，某台激光数字波面干涉仪，对其进行准确度考核，在相同测量条件下对某标准平晶的表面面形进行在相同测量条件下对某标准平晶的表面面形进行150150次次重复测量获得面形峰谷值数据。通过实验分析，查询重复测量获得面形峰谷值数据。通过实验分析，查询有关的技术资料和其他信息，可知随机误差来源有关的技术资料和其他信息，可知随机误差来源 。结论：结论：对具体测量问题具体分析，从所用的

5、设备、人员、对具体测量问题具体分析，从所用的设备、人员、测量方法等资源以及环境等要素中去分析寻找主要的测量方法等资源以及环境等要素中去分析寻找主要的随机误差来源。随机误差来源。150150次的面形峰谷值数据次的面形峰谷值数据 0.124 0.120 0.118 0.119 0.121 0.125 0.121 0.123 0.120 0.118 0.119 0.117 0.118 0.121 0.119 0.118 0.119 0.119 0.115 0.120 0.119 0.119 0.119 0.116 0.116 0.118 0.121 0.120 0.122 0.122 0.119 0

6、.121 0.121 0.124 0.121 0.118 0.118 0.119 0.120 0.118 0.119 0.122 0.118 0.119 0.119 0.117 0.118 0.118 0.118 0.120 0.119 0.118 0.120 0.124 0.120 0.118 0.118 0.119 0.121 0.123 0.124 0.123 0.118 0.119 0.119 0.120 0.120 0.119 0.119 0.118 0.123 0.121 0.119 0.118 0.120 0.120 0.120 0.119 0.120 0.123 0.118 0

7、.121 0.119 0.121 0.120 0.123 0.123 0.121 0.118 0.119 0.120 0.121 0.122 0.119 0.121 0.122 0.119 0.120 0.117 0.125 0.119 0.127 0.120 0.124 0.123 0.123 0.118 0.119 0.124 0.122 0.123 0.124 0.121 0.123 0.123 0.121 0.120 0.121 0.123 0.127 0.125 0.121 0.120 0.124 0.123 0.123 0.124 0.123 0.119 0.121 0.123 0

8、.129 0.121 0.120 0.121 0.124 0.123 0.121 0.125 0.119 0.122 0.127 0.121 0.120 0.122 0.121 0.122 0.123 0.124 0.121 数据特点数据特点 p数据列表明，各次测值不尽相同，这说明各次数据列表明，各次测值不尽相同，这说明各次测量中含有随机误差，这些误差的出现没有确测量中含有随机误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小。一个数据的大小。 p但就数据整体而言，却明显具有某种统计规律，但就数据整体而言，却明显具有某种统计

9、规律，这个规律可以用统计直方图来表示。这个规律可以用统计直方图来表示。 统计直方图统计直方图p统计直方图在对称性方面有一统计直方图在对称性方面有一些偏离理想正态分布的情形。些偏离理想正态分布的情形。 p对于测量状态比较完好的光电对于测量状态比较完好的光电类测量仪器，其随机误差的分类测量仪器，其随机误差的分布往往较好的呈现正态分布的布往往较好的呈现正态分布的特征。特征。 p对于测量状态不完好的光电类对于测量状态不完好的光电类测量仪器，特别是对传动机械测量仪器，特别是对传动机械部件磨损较严重而规律尚未掌部件磨损较严重而规律尚未掌握的仪器，其测量随机误差可握的仪器，其测量随机误差可能就呈现其他分布的

10、特征。能就呈现其他分布的特征。 0.114 0.116 0.118 0.12 0.122 0.124 0.126 0.128 0 10 20 30 40 50 0024. 01207. 0 x激光数字波面干涉仪的随机误差主要来源激光数字波面干涉仪的随机误差主要来源测量装置方面的因素测量装置方面的因素 氦氖激光源辐氦氖激光源辐射激光束的频射激光束的频率不够稳定造率不够稳定造成激光波长的成激光波长的漂移。漂移。 CCDCCD光电探测器光电探测器采集信号及其电采集信号及其电信号处理电路造信号处理电路造成干涉图像信号成干涉图像信号的随机噪声。的随机噪声。 离散化采样误差、离散化采样误差、各次装夹定位不

11、各次装夹定位不一致。一致。 测量环境方面的因素测量环境方面的因素 放置测量主机和被放置测量主机和被测试样的隔震台不测试样的隔震台不能很好消除外界的能很好消除外界的低频震动。低频震动。 仪器所在实验仪器所在实验室气流和温度室气流和温度的波动。的波动。 空气尘埃的漂空气尘埃的漂浮、稳压电源浮、稳压电源供电电压的微供电电压的微小波动。小波动。 操作人员方面的因素操作人员方面的因素 操作人员的装夹操作人员的装夹调整不当引起被调整不当引起被采集的测量干涉采集的测量干涉图像质量低、条图像质量低、条纹疏密不当。纹疏密不当。 采集干涉图像的摄采集干涉图像的摄像头变焦倍数过小像头变焦倍数过小造成较大的离散化造成

12、较大的离散化采样误差。采样误差。 减小随机误差的技术途径减小随机误差的技术途径 (1) (1) 测量前，找出并消除或减小测量前，找出并消除或减小其随机误差的物理源其随机误差的物理源; ;(2) (2) 测量中，采用适当的技术测量中，采用适当的技术措施，抑制和减小随机误差措施，抑制和减小随机误差; ;(3) (3) 测量后，对采集的测量测量后，对采集的测量数据进行适当处理，抑制数据进行适当处理，抑制和减小随机误差。和减小随机误差。对防震台充气减震、关空调减少气流、开机对激光器预热等。 戴工作手套装夹工件，调整光路要尽量减少离焦、倾斜，并使干涉条纹疏密适当，人员尽量远离测量光路；必要的话，适当增加

13、重复测量次数取算术平均值等。 视需要，有针对性地对采集的测量干涉图进行预处理，如用低通滤波、平滑滤波等方法来消除中高频随机噪声，用高通滤波法则可以有效消除低频随机噪声。 一、等精度测量一、等精度测量p定义：在多次重复测量（测量列）中，每一个测得定义：在多次重复测量（测量列）中，每一个测得值都是在相同的条件下获得的，各测得值具有相同值都是在相同的条件下获得的，各测得值具有相同的精度，可用同一标准差来表示，这样的测量叫的精度，可用同一标准差来表示，这样的测量叫 等精度测量等精度测量。二、随机误差二、随机误差p定义：定义：当对同一量值进行多次等精度测量时，得到当对同一量值进行多次等精度测量时，得到一

14、系列不同的测量值，每个测量值都含有误差，而一系列不同的测量值，每个测量值都含有误差，而这些误差出现具有随机性，而随着测量次数的增大，这些误差出现具有随机性，而随着测量次数的增大，误差又具有统计规律性，这样的误差叫误差又具有统计规律性，这样的误差叫 随机误差随机误差 。这种统计规律称为这种统计规律称为 误差分布律误差分布律 。随机误差的本质特征随机误差的本质特征 1 1、具有随机性：、具有随机性：测量过程中误差的大小和符号测量过程中误差的大小和符号以不可预知形式的形式出现。以不可预知形式的形式出现。 2 2、产生在测量过程之中：、产生在测量过程之中：影响随机误差的因素影响随机误差的因素在测量开始

15、之后体现出来。在测量开始之后体现出来。3 3、与测量次数有关系：、与测量次数有关系：增加测量次数可以减小增加测量次数可以减小随机误差对测量结果的影响。随机误差对测量结果的影响。 服从正态分布随机误差的特征服从正态分布随机误差的特征 1 1有界性有界性 随机误差总是有界限的，不可能出现无限大的随机随机误差总是有界限的，不可能出现无限大的随机误差。在一定测量条件下的有限次测量结果中，随机误差。在一定测量条件下的有限次测量结果中，随机误差的绝对值不会超过某一界限。误差的绝对值不会超过某一界限。2 2对称性对称性 在一定测量条件下的有限次测量结果，其绝对值相在一定测量条件下的有限次测量结果，其绝对值相

16、等的正误差与负误差出现的次数大致相等。等的正误差与负误差出现的次数大致相等。3 3抵偿性抵偿性 由随机误差的对称性知，在有限次测量中，绝对值相由随机误差的对称性知，在有限次测量中，绝对值相同的正负误差出现的次数大致相同。因此，取这些误同的正负误差出现的次数大致相同。因此，取这些误差的算术平均值时，绝对值相同的正负误差产生相互差的算术平均值时，绝对值相同的正负误差产生相互抵消现象，从而导致了随机误差的第三个特性抵消现象，从而导致了随机误差的第三个特性抵抵偿性。偿性。4 4单峰性单峰性 即绝对值小的误差出现的次数多于绝对值大的误差即绝对值小的误差出现的次数多于绝对值大的误差出现的次数。出现的次数。

17、服从正态分布随机误差的特征服从正态分布随机误差的特征 随机误差的数字特征随机误差的数字特征p算数平均值算数平均值p标准差标准差11niixxn作为测量结果的最佳估计。在等权测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值12,.,nx xx一、算术平均值的意义一、算术平均值的意义无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据 若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋近于真值因为011nniiiixnx根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有 011niixxxn最佳估计的意义最佳估计的意义 若测量次

18、数有限，由参数估计知，算术平均值若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量是该测量总体期望的一个最佳的估计量 ，即满，即满足无偏性、有效性、一致性。足无偏性、有效性、一致性。 满足最小二乘原理满足最小二乘原理在正态分布条件下，满足最大或然原理在正态分布条件下，满足最大或然原理 该所有测量值对其算术平均值之差的平方和该所有测量值对其算术平均值之差的平方和达到最小。达到最小。该测量事件发生的概率最大。该测量事件发生的概率最大。 算术平均值的计算算术平均值的计算inxnxxxnx1).(121)(11CxmnCxmnxiiii其中，其中，mmi i为测量值为测量值x

19、xi i出现的次数，出现的次数，C C为任意常数。为任意常数。 在规定测量条件下，同一被测量的测量列在规定测量条件下，同一被测量的测量列x x1 1，x x2 2，x xn n有算术平均值：有算术平均值： 则称则称 为为 残余误差残余误差 简称简称 残差残差。二、残差二、残差xxviiniixnx11 由算术平均值原理可知，算术平均值是真值的由算术平均值原理可知，算术平均值是真值的最佳估计值，用算术平均值代替真值计算得到的误最佳估计值，用算术平均值代替真值计算得到的误差称为差称为 残余误差残余误差。（一）残差具有低偿性（一）残差具有低偿性残余误差代数和等于零残余误差代数和等于零 021nivv

20、vvmin222212nivvvv残差两个重要特性残差两个重要特性残余误差可求，又称残余误差可求，又称 实用误差公式实用误差公式 。 残差具有两个重要特性。残差具有两个重要特性。（二）残差平方和为最小（二）残差平方和为最小 算术平均值的计算校核算术平均值的计算校核1.残差代数和：xnxvii当 为未经凑整的准确数时，则有x0iv利用这个性质，可用来校核利用这个性质，可用来校核 、 的计算正确性。的计算正确性。xiv算术平均值的计算校核算术平均值的计算校核在一般计算中，往往会遇到小数位数较多或除不尽的情在一般计算中，往往会遇到小数位数较多或除不尽的情况，需对数据进行截取与凑整，存在舍入误差况，需

21、对数据进行截取与凑整，存在舍入误差ixnx1nxnnxviii1即：即：算术平均值的计算校核算术平均值的计算校核经分析证明，用此法进行校验的规则为：经分析证明，用此法进行校验的规则为：（1）残差代数和应符合：）残差代数和应符合：当当 求得的求得的 为准确数，为准确数， 为零。为零。xnxixiv当当 求得的求得的 为非准确数，为非准确数， 。0ivxxnxi当当 求得的求得的 为非准确数，为非准确数， 。0ivxxnxi算术平均值的计算校核算术平均值的计算校核（2）残差代数和应符合：）残差代数和应符合：当当n为偶数时，为偶数时， Anvi2当当n为奇数时，为奇数时， Anvi5.02式中式中A

22、为实际求得的算术平均值为实际求得的算术平均值 末位数的一个单位。末位数的一个单位。 x例题：例题：p测量某直径测量某直径1111次，得到结果次，得到结果如表所示，求如表所示，求算术平均值并算术平均值并进行校核。进行校核。序号序号12000.07+0.00322000.05-0.01732000.09+0.02342000.06-0.00752000.08+0.01362000.07+0.00372000.06-0.00782000.05-0.01792000.08+0.013102000.06-0.007112000.07+0.003mmli/mmvi/74.22000111iil003. 0

23、111iiv算术平均值为：算术平均值为：解：解：0673.20001174.2200011111mmlxii067.2000 x取取用第一种规则校核用第一种规则校核则有：则有：mmmmxnmmlii737.22000067.20001174.22000111mmmmmmxlviiii003. 0737.2200074.2200011111111用第二种规则校核用第二种规则校核则有：则有：mmAnmmvmmAnii005. 05 . 02003. 0001. 055 . 02115 . 02111故用两种规则校核皆说明计算结果正确。故用两种规则校核皆说明计算结果正确。一、单次测量的标准差一、单次

24、测量的标准差测量的标准偏差测量的标准偏差=标准差标准差=均方根误差均方根误差比较下列两组测得值的精度：比较下列两组测得值的精度：第一组第一组20.000519.999620.000319.999420.0002第二组第二组19.999020.000619.999520.001519.9994结论：第一组的精度高。结论：第一组的精度高。标准差标准差nn22221采用二次矩来描述测得值的精度，等精度测量列中，采用二次矩来描述测得值的精度，等精度测量列中，单次测量的标准差单次测量的标准差：)(n应指出应指出：标准差不是测量列中任何一个具体测量值的随机误差，标准差不是测量列中任何一个具体测量值的随机误

25、差， 的大小只说明，在一定条件下，等精度测量列随机误差的概率分的大小只说明，在一定条件下，等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差一般都不等于一般都不等于，但却认为这一系列测量中所有测得值都属同样一个标准差，但却认为这一系列测量中所有测得值都属同样一个标准差的的概率分布，在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测概率分布，在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差量，其标准差也不相同。也不相同。例例 题题: 已知被测轴的直径约定真值已知被测轴的直径约定真值X X0=40+0.0035mm。用量块

26、作标。用量块作标准，在立式光学计上重复测量准，在立式光学计上重复测量260次，并用次，并用xi i表示第表示第i i种测量结果种测量结果（单位：微米）（单位：微米）。n ni i表示表示xi i出现的个数。有关数据列于下表，求单次出现的个数。有关数据列于下表，求单次测量的标准差。测量的标准差。nnii124401. 05000. 0325. 02009. 04001. 03004. 0(260121)2209. 0125. 02904. 01016. 01116. 02126034.110.2m 解：解：二、用残差计算标准差的估计值二、用残差计算标准差的估计值残差残差的两个重要特征：的两个重要

27、特征：1.一组测得值残差之和等于零；一组测得值残差之和等于零；2.一组测得值残差的平方和为最小。一组测得值残差的平方和为最小。真差与残差的关系：真差与残差的关系： 当当n，01iniiv标准偏差的基本估计标准偏差的基本估计贝塞尔公式贝塞尔公式 定义：定义：对同一被测量，在相同测量条件下，进行有限次测量对同一被测量，在相同测量条件下，进行有限次测量得测量列得测量列x xi i （i i1 1，2 2，n n），则单次测量标准偏差的），则单次测量标准偏差的估计值为：估计值为： 122221nvvvns)(n贝塞尔公式的简化计算公式：贝塞尔公式的简化计算公式：11222nCxnCxnxxiiss的含

28、义与作用：的含义与作用：相同条件下，的同一组测量相同条件下，的同一组测量s一定。一定。三、实验标准偏差三、实验标准偏差s的标准差的标准差 p设在同一条件下，对被测量进行设在同一条件下，对被测量进行n n1 1次等精度测量，得测量列次等精度测量，得测量列x xi i（i i1 1，2 2，n n）。用贝塞尔公式即可求得单次测量标）。用贝塞尔公式即可求得单次测量标准偏差要准偏差要1 1。仍在该条件下，再进行。仍在该条件下，再进行n n2 2次测量，同样又可次测量，同样又可得到单次测量标准偏差得到单次测量标准偏差2 2。我们发现，无论两次的测量次。我们发现，无论两次的测量次数数n n1 1和和n n

29、2 2是否相等，而是否相等，而1 1和和2 2不一定相等，不一定相等，这说明由贝塞尔公式计算所得的测量标准偏差，也存在误差。这说明由贝塞尔公式计算所得的测量标准偏差，也存在误差。 p标准偏差标准偏差s s的标准偏差的标准偏差s ss s由下式确定，即由下式确定，即 )1(2nsss四、算术平均值标准偏差四、算术平均值标准偏差 p如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值，由于误差的存在，各个测量列的列测量都有一个算术平均值，由于误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散

30、，算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散，此分散说明了算术平均值的不可靠性，而算术平均值的标准差此分散说明了算术平均值的不可靠性，而算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。 nxDx22)()1(12sxnnvnnii或：nx（式1）最佳测量次数确定最佳测量次数确定p增加测量次数，可以提高测量精度，但是增加测量次数，可以提高测量精度，但是由（式由（式1）可知，测量精度是与测量次数的）可知，测量精度是与测量次数的平方

31、根成反比，因此，要显著地提高测量平方根成反比，因此，要显著地提高测量精度，必须付出较大的劳动。由图可知，精度，必须付出较大的劳动。由图可知， 一定时，当一定时，当n10以后，以后， 已减少得已减少得非常缓慢。由于测量次数愈大，也愈难保非常缓慢。由于测量次数愈大，也愈难保证测量条件的恒定，从而带来新的误差，证测量条件的恒定，从而带来新的误差，因此一般情况下取因此一般情况下取n10以内较为适宜。以内较为适宜。总之，要提高测量精度，应采用适当精度总之，要提高测量精度，应采用适当精度的仪器，选取适当的测量次数。的仪器，选取适当的测量次数。 sxsx例：例：例：例：解：以算术平均值作为被测量的估计值，适

32、当增加测量次数，以满足测量精密度的需要。 由（式1 ） 得：即测量次数： （次） 即对被测量进行9次以上重复测量，它们的算术平均值的精密度便可达到要求。 xsn 904.012.022xsn已知测量的单次测量标准偏差s0.12（略去单位）。问在不改变测量条件的情况下，使被测量估计值的标准偏差达到0.04，需测量多少次？随机误差的正态分布曲线随机误差的正态分布曲线p经验分布曲线经验分布曲线: 定义、概念、绘制定义、概念、绘制p正态分布曲线正态分布曲线: 概率函数、特性概率函数、特性p正态分布密度函数的概率积分正态分布密度函数的概率积分: 概率积分、积分表、概率积分、积分表、置信概率、计算置信概率

33、、计算经验分布曲线经验分布曲线1.1.定义：定义：应用实验方法，将一组等精度测量的测得值画成经应用实验方法，将一组等精度测量的测得值画成经验分布曲线，可以形象地反映随机测量误差的特征。验分布曲线，可以形象地反映随机测量误差的特征。2.2.概念：概念：频数、组中值、频数分布图（又称直方图）频数、组中值、频数分布图（又称直方图）3.3.经验分布曲线绘制方法：经验分布曲线绘制方法： 1) 1) 把数值变量资料编制频数表后绘制频数分布图（又称把数值变量资料编制频数表后绘制频数分布图（又称直方图，它用矩形面积表示数值变量资料的频数分布，直方图，它用矩形面积表示数值变量资料的频数分布，每条直条的宽表示组距

34、，直条的面积表示频数（或频率）每条直条的宽表示组距，直条的面积表示频数（或频率）大小，直条与直条之间不留空隙。）。大小，直条与直条之间不留空隙。）。 2) 2) 连接矩形上边的中点，得经验分布曲线。连接矩形上边的中点，得经验分布曲线。 下面我们以某地下面我们以某地13岁女孩岁女孩118人的身高人的身高(cm)资料，来说资料，来说明身高变量服从正态分布。明身高变量服从正态分布。p频数分布表：频数分布表：p频数分布图（又称直方图）：频数分布图（又称直方图）：p经验分布曲线：经验分布曲线：p理论分布曲线：理论分布曲线：p残差残差经验分布曲线经验分布曲线（坐标原点移至算术平均值处），曲线坐标原点移至算

35、术平均值处），曲线不变：不变：举例：举例：身高（cm）160.5157.5154.5151.5148.5145.5142.5139.5136.5133.5130.5?3020100经验分布曲线经验分布曲线身高(cm) 频数分布逐渐接近正态分布示意图正态分布曲线正态分布曲线正态分布曲线正态分布曲线如果随机变量（如果随机变量（X X）的概率密度函数为：）的概率密度函数为： - x x + 则该随机变量服从正态分布。则该随机变量服从正态分布。 22221xexf 式中：式中：为总体标准差；为总体标准差； 为总体均数；为总体均数； 为圆周率，即为圆周率，即3.141593.14159； e e为自然对

36、数的底，即为自然对数的底，即2.718282.71828。 用理论均值代替真值，则：用理论均值代替真值，则： 自变量自变量为随机误差。为随机误差。用算术平均值代替真值，则：用算术平均值代替真值，则： 22221ef 222)(21xxexf 22221vevf正态分布曲线正态分布曲线p正态分布曲线位于正态分布曲线位于横轴上方，呈钟形。横轴上方，呈钟形。p正态分布曲线以均正态分布曲线以均数所在处最高，且数所在处最高，且以均数为中心左右以均数为中心左右对称。对称。正态分布曲线正态分布曲线p正态分布曲线由两个参数决定，即总体均数正态分布曲线由两个参数决定，即总体均数和总体标准差和总体标准差。 在在不

37、变的情况下，函数曲线形状不变，若不变的情况下，函数曲线形状不变，若变大时，曲线位变大时，曲线位置向右移；若变小时，曲线位置向左移，故称置向右移；若变小时，曲线位置向左移，故称为位置参数。为位置参数。 0 f(x) m ax 1 2 两个参数：两个参数：在在不变的情况下，函数曲线位置不变，若不变的情况下，函数曲线位置不变，若变大时，曲线形状变大时，曲线形状变的越来越变的越来越“胖胖”和和“矮矮”；若；若变小时，曲线形状变的越来变小时，曲线形状变的越来越越“瘦瘦”和和“高高”，故称，故称为形态参数或变异度参数。为形态参数或变异度参数。 =0.5 0 f(x) =1 =2 两个参数：两个参数：（1）

38、对连续型随机变量：）对连续型随机变量：（2）对离散型随机变量：）对离散型随机变量： dxxfx)()(22)( ,.22221nnn211isvn标准差标准差的计算：的计算：1.对于服从正态分布的随机变量（对于服从正态分布的随机变量（X），随机变量值出现在某一），随机变量值出现在某一区间（区间（x1，x2）的概率与正态分布概率密度曲线与横轴在该区）的概率与正态分布概率密度曲线与横轴在该区间所围成的区域的面积大小相对应（相等）。间所围成的区域的面积大小相对应（相等）。2.正态分布概率密度曲线与横轴围成的区域的总面积恒等于正态分布概率密度曲线与横轴围成的区域的总面积恒等于1。3.正态分布概率密度曲

39、线下横轴上一定区间的面积可应用数学正态分布概率密度曲线下横轴上一定区间的面积可应用数学知识求出。知识求出。 4.在实际应用中，由于所有正态分布都可以通过变量换转变为在实际应用中，由于所有正态分布都可以通过变量换转变为标准正态分布，为了省去积分计算不同正态分布曲线下横轴标准正态分布，为了省去积分计算不同正态分布曲线下横轴上一定区间面积的繁琐过程，所以数理统计学家专门编制了上一定区间面积的繁琐过程，所以数理统计学家专门编制了标准正态分布曲线下横轴上一定区间面积分布表，供查表求标准正态分布曲线下横轴上一定区间面积分布表，供查表求标准正态分布曲线下一定区间面积。标准正态分布曲线下一定区间面积。正态曲线

40、下面积分布的规律正态曲线下面积分布的规律2.概率积分概率积分dvebvapbav22221)(,/vt dtebtapbat2221)()(22221)(02222itttttiitdtedtetttpiii正态分布密度函数的概率积分正态分布密度函数的概率积分做变量代换：做变量代换：概率积分概率积分 概率积分表概率积分表1,1xt64.1,64.1xt96.1,96.1xt2,2xt58.2,58.2xt3, 3xt4,4xt标准正态分布区间标准正态分布区间%26.68%90%95%5.95%0.99%7.99%99.99概率概率%正态分布曲线数字特征：正态分布曲线数字特征：1.1.数学期望数

41、学期望2.2.曲线在曲线在x=x=处具有极大值，是单峰的；处具有极大值，是单峰的；3.3.曲线对曲线对x=x=对称；对称；4.4.X X作为一组随机变量（当多次测量时即为一组测作为一组随机变量（当多次测量时即为一组测得值）的结果应该是最可信赖的；得值）的结果应该是最可信赖的；5.5.分布归一化，分布归一化，决定是平是陡；决定是平是陡；6.6.在在 有拐点，有拐点，x x处于（处于（x-x- , , x x+ +）概率为）概率为68.368.3；7.7.对应于对应于（x- x- , , x x+ +）概率为）概率为99.7399.73。dxxxf)(p标准误差与各测量值的误差有着完全不同的含义。

42、各测标准误差与各测量值的误差有着完全不同的含义。各测量值的误差是实在的误差值，而标准误差并不是一个具量值的误差是实在的误差值，而标准误差并不是一个具体的测量误差值，它反映在相同条件下进行一组测量后，体的测量误差值，它反映在相同条件下进行一组测量后，随机误差出现的概率分布情况，只具有统计意义，是一随机误差出现的概率分布情况，只具有统计意义，是一个统计特征量。个统计特征量。概率积分概率积分式表明，作任一次测量，随机式表明，作任一次测量，随机误差落在该区间的概率为。区间称为误差落在该区间的概率为。区间称为置信区间置信区间，相应的，相应的概率称为概率称为置信概率置信概率。显然，。显然，置信区间扩大，则

43、置信概率置信区间扩大，则置信概率提高。提高。aptxxtxpai1)()(置信概率置信概率 a: a:显著度、显著度、p pa a: :置信概率、置信概率、tt误差限、误差限、t t：置信系数：置信系数（1 1） p pa a=0.6827, =0.6827, 一般测量的表示；一般测量的表示；（2 2） p pa a=0.95, =0.95, 一般精密测量的表示；一般精密测量的表示；（3 3） p pa a=0.99, =0.99, 精密测量，仪器检定；精密测量，仪器检定；（4 4） p pa a=0.9973, =0.9973, 精密测量，仪器检定；精密测量，仪器检定；（5 5） p pa

44、a=0.9999, =0.9999, 特别高精密测量。特别高精密测量。1, 1xt96. 1,96. 1xt3, 3xt4, 4xt58. 2,58. 2xt常用置信概率和计算常用置信概率和计算标准差及估计标准差及估计)( ,.22221nnn211isvn平均误差平均误差（1）定义：）定义：该测量列全部随机误差绝对值的算术平均值，该测量列全部随机误差绝对值的算术平均值，用下式表示：用下式表示：（2）计算：）计算： 变量代换 或（3）含义）含义：测得误差不超过平均误差的概率的置信概率为57.62% 。nn.21deyd22222222x54215422nvis测量列的几率误差测量列的几率误差，

45、它将整个测量列的，它将整个测量列的n n个随机误个随机误差分为个数相等的两半。其中一半（差分为个数相等的两半。其中一半（n/2n/2个）随机误差个）随机误差的数值落在的数值落在- + +范围内，而另一半随机误差的数范围内，而另一半随机误差的数值落在值落在- + +范围以外：范围以外：5.0)()(fzf几率误差几率误差几率误差几率误差（1）定义：测得值落入几率误差内外的概率相等）定义：测得值落入几率误差内外的概率相等（2）计算：）计算：13232326745.0,6745.0,%25)(%,50)(22nvttttis或所以，查表得其实际意义是：若有其实际意义是：若有n n个随机误差，则有个随

46、机误差，则有n/2n/2个落在区间个落在区间-,+-,+之内，而另外之内，而另外n/2n/2个随机误差则落在此区间之外。个随机误差则落在此区间之外。几率误差几率误差极限误差极限误差（1）定义：测量误差在极限误差内的概率为）定义：测量误差在极限误差内的概率为99.73%（2）计算：）计算：211isvn2lim1133isvn目前世界各国大多趋于采用目前世界各国大多趋于采用作为评定随机误差的尺度。这作为评定随机误差的尺度。这是因为：是因为： 的平方恰好是随机变量的数字特征之一（方差），的平方恰好是随机变量的数字特征之一（方差），本身又恰好是高斯误差方程本身又恰好是高斯误差方程 式中的一个参数，即

47、式中的一个参数，即 ，所所以采用以采用，正好符合概率论原理，又与最小二乘法最切合，正好符合概率论原理，又与最小二乘法最切合； 对大的随机误差很敏感，能更准确地说明测量列的精对大的随机误差很敏感，能更准确地说明测量列的精度；度； 极限误差与标准偏差的关系简单：极限误差与标准偏差的关系简单： ； 公式推导和计算比较简单。公式推导和计算比较简单。)(fs3lim单次测量的精度指标：单次测量的精度指标：正态分布曲线中各种误差关系：正态分布曲线中各种误差关系：图为正态分布曲图为正态分布曲线以及各精度参数线以及各精度参数在图中的坐标。在图中的坐标。值为曲线上拐点值为曲线上拐点A A的的横坐标，横坐标，值为

48、曲值为曲线右半部面积重心线右半部面积重心B B的横坐标，的横坐标，值的值的纵坐标线则平分曲纵坐标线则平分曲线右半部面积。线右半部面积。标准偏差的几种计算方法标准偏差的几种计算方法1、贝塞尔(Bessel)公式 (2-13)(2-13) 式中，式中， 称为算术平均值误差将它和称为算术平均值误差将它和 代入上式，则有代入上式，则有(2-14)(2-14)0Llii0022011LxxlLxxlLxxlnnxLx)(0 xlviixnnxxvvv2211（一）等精度测量到单次测量标准偏差的计算（一）等精度测量到单次测量标准偏差的计算将上式对应相加得将上式对应相加得 ： ，即，即(2-15)(2-15

49、)若将式若将式(2-14)(2-14)平方后再相加得：平方后再相加得： (2-16)(2-16)将式将式(2-15)(2-15)平方有：平方有：xniiniinv11nnvnniiniiniix111nixiniixxniiniinvvnv122121212221212122nnnnjijiniiniix1 1、贝塞尔、贝塞尔(Bessel)(Bessel)公式公式当当n n适当大时，可以认为适当大时，可以认为 趋近于零，并将代入式趋近于零，并将代入式(2-(2-16)16)得：得：(2-17) (2-17) 由于由于 ，代入式，代入式(2-17)(2-17)得得 ： ，即，即(2-18)(2

50、-18)niji1nvniiniinii121212212nniiniivn122212nvi1 1、贝塞尔、贝塞尔(Bessel)(Bessel)公式公式由贝赛尔公式得：由贝赛尔公式得： 进一步得：进一步得： 则平均误差有：则平均误差有：nnvniii1221niiniivnn12121111nnvniiniiniiniivnnn11)1(12 2、别捷尔斯法别捷尔斯法由式由式2-62-6得：得：故有故有： (2-26)(2-26)此式称为别捷尔斯（此式称为别捷尔斯（PetersPeters）公式，它可由残余误差）公式，它可由残余误差 的绝对值的绝对值之和求出单次测量的标准差之和求出单次测量

51、的标准差 ，而算术平均值的标准差，而算术平均值的标准差 为：为：(2-27)(2-27)253. 17979. 01) 1(2533. 12nnvi1253.11nnvniixvx2 2、别捷尔斯法别捷尔斯法)(mmli)(mmvimmx045.750101iiv序号序号1 12 23 34 45 56 67 78 89 9101075.0175.0175.0475.0475.0775.0775.0075.0075.0375.0375.0975.0975.0675.0675.0275.0275.0575.0575.0875.080.0350.0350.0050.0050.0250.0250.0

52、450.0450.0150.015+0.045+0.045+0.015+0.015-0.025-0.025+0.005+0.005+0.035+0.0350.0012250.0012250.0000250.0000250.0006250.0006250.0020250.0020250.0002250.0002250.0020250.0020250.0002250.0002250.0006250.0006250.0000250.0000250.0012250.001225 2101200825. 0mmvii)(2mmvi32 表 例：例：用别捷尔斯法求得表2-3的标准差。解：计算得到的值分别填

53、于表中，因此有解：计算得到的值分别填于表中，因此有mmmmmmmmz0104.011010250.0253.10330.011010250.0253.1 例：用别捷尔斯法求得表2-3的标准差。用贝赛尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均需先求算用贝赛尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均需先求算术平均值，再求残余误差，然后进行其他运算，计算过程术平均值，再求残余误差，然后进行其他运算，计算过程比较复杂。当要求简便迅速算出标准差时，可用极差法。比较复杂。当要求简便迅速算出标准差时，可用极差法。若等精度多次测量测得值若等精度多次测量测得值 服从正态分布，服从正态分布，在其中选取最大值在其中选取最大值 与最小值

54、与最小值 ，则两者之差称为，则两者之差称为极差：极差： 3 3、极差法、极差法nxxx,21maxxminxminmaxxxn根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为(2-29)(2-29) 因因 故可得故可得 的无偏估计值，若仍以的无偏估计值，若仍以 表示，则有表示，则有(2-30)(2-30) 式中式中 的数值见表的数值见表2-42-4。nndE)()(nndEnndndn2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 201.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97

55、3.08 3.17 3.26 3.34 3.41 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3.74nd42表3 3、极差法、极差法解：解：08. 309. 000.7509.7510minmaxdmmmmmmllnmmmmdn0292.008.309.010 例例2-5 2-5 仍用表2-3的测量数据，用极差法求得标准差。在某些情况下，我们可以知道被测量的真值或满足规在某些情况下，我们可以知道被测量的真值或满足规定精度的用来代替真值使用的量值（称为实际值或约定定精度的用来代替真值使用的量值（称为实际值或约定值），因而能够算出随机误差值），因而能够算出随机误差 ，取其中绝对值最大的一，

56、取其中绝对值最大的一个值个值 ，当各个独立测量值服从正态分布时，则可求，当各个独立测量值服从正态分布时，则可求得关系式：得关系式：(2-31)(2-31)一般情况下，被测量的真值为未知，不能按（一般情况下，被测量的真值为未知，不能按（2-312-31）式求标准差，应按最大残余误差式求标准差，应按最大残余误差 进行计算，其关系进行计算，其关系式为：式为：(2-32)(2-32)式（式（2-312-31）和（）和（2-322-32）中两系数）中两系数 、 的倒数见表的倒数见表2-52-5。max|1inKmaxiimax|ivmax|1invKnKnK4 4、最大误差法、最大误差法n1 2 3 4

57、 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61 0.58 0.56 0.55 0.53 0.52 0.51 0.50 0.50 0.49n16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300.48 0.48 0.47 0.47 0.46 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.44 0.44 0.44 0.43 0.43n2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 301.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.5

58、1 0.48 0.46 0.44nK1nK1nK152 表4 4、最大误差法、最大误差法最大误差法简单、迅速、方便，且容易掌握，因而有广泛最大误差法简单、迅速、方便，且容易掌握，因而有广泛用途。当用途。当 时，最大误差法具有一定精度。时，最大误差法具有一定精度。例2-6 仍用表仍用表2-32-3的测量数据，按最大误差法求标准差，的测量数据，按最大误差法求标准差，则有则有，而，而故标准差为故标准差为10nmmvi045. 0max57.0110KmmmmKvi0256. 0045. 057. 010max4 4、最大误差法、最大误差法某激光管发出的激光波长经检定为某激光管发出的激光波长经检定为

59、，由于某，由于某些原因未对次检定波长作误差分析，但后来又用更精确的方法测些原因未对次检定波长作误差分析，但后来又用更精确的方法测得激光波长得激光波长 ，试求原检定波长的标准差。，试求原检定波长的标准差。解：解：因后测得的波长是用更精确的方法，故可认为其测得值为因后测得的波长是用更精确的方法，故可认为其测得值为实际波长实际波长( (或约定真值或约定真值) )，则原检定波长的随机误差，则原检定波长的随机误差 为为： 故标准差为：故标准差为：m63299130. 0m63299144. 0mmm8101463299144. 063299130. 025. 111KmmK7811075. 110142

60、5. 1例例 贝塞尔公式贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要；方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要； 别捷尔斯公式别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的贝氏公式的1.071.07倍；倍； 用用极差法极差法计算计算，非常迅速方便，可用来作为校对公式，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当当n10n10时可用来计算时可用来计算，此时计算精

61、度高于贝氏公式；，此时计算精度高于贝氏公式； 用用最大误差法最大误差法计算计算更为简捷，容易掌握更为简捷，容易掌握，当，当n10n10时可用时可用最大误差法，计算精度大多高于贝氏公式，尤其是对于破最大误差法，计算精度大多高于贝氏公式，尤其是对于破坏性实验坏性实验(n=1)(n=1)只能应用最大误差法。只能应用最大误差法。5、四种计算方法的优缺点、四种计算方法的优缺点算术平均值的分布算术平均值的分布) 1(,1222nnvnnixx 222)(21xxxexfaptxtpaxx1)()(算术平均值的分布：算术平均值的分布： t分布（分布（n较小时）较小时）nxts/p算术平均值的分布：t分布（n

62、较小时）算术平均值的分布：算术平均值的分布： t分布（分布（n较小时）较小时）)()(xxtxtp算术平均值的分布：算术平均值的分布： t分布（分布（n较小时）较小时）算术平均值的精度指标算术平均值的精度指标p标准差：p平均误差：p几率误差：p极限误差：nnT542/sxnn11xnR32/x3lim 别捷尔斯公式别捷尔斯公式 贝塞尔公式贝塞尔公式1nnvTi145nnvis11311nnvRi) 1(32322nnvRix2) 1(1isvnn) 1(542nnvTi算术平均值的精度指标算术平均值的精度指标几种常用的非正态分布几种常用的非正态分布几种常用的非正态分布几种常用的非正态分布p正态

63、分布与非正态分布随机误差正态分布与非正态分布随机误差p当测量次数很多时，随机误差就显示出明显的规律性。当测量次数很多时，随机误差就显示出明显的规律性。实践和理论（实践和理论（中心极限定理中心极限定理）都已证明，随机误差服从）都已证明，随机误差服从一定的统计规律（正态分布），其特点是：单峰性、对一定的统计规律（正态分布），其特点是：单峰性、对称性、有界性和抵偿性。称性、有界性和抵偿性。p随机误差偏离正态分布，随机误差偏离正态分布，原因：原因：组成随机误差的许多因组成随机误差的许多因素中有突出影响的几个因素存在，产生非正态分布随机素中有突出影响的几个因素存在，产生非正态分布随机误差误差。处理方法有

64、所不同。处理方法有所不同。中心极限定理中心极限定理(central limit theorem)中心极限定理中心极限定理：设从均值为设从均值为 ，方差为，方差为 2 2的一个任意的一个任意总体中抽取容量为总体中抽取容量为n n的样本，当的样本，当n n充分大时，样本均值的充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为抽样分布近似服从均值为 、方差为、方差为 2 2 / /n n的正态分布。的正态分布。p非正态分布随机误差的理论均值和标准差非正态分布随机误差的理论均值和标准差pK阶原点矩和中心矩。阶原点矩和中心矩。p期望是随机变量的一阶原点矩，方差是随机变量的二阶中期望是随机变量的一阶原点矩，方差是

65、随机变量的二阶中心矩。心矩。 评定非正态分布随机误差的方法评定非正态分布随机误差的方法K阶原点矩和中心矩阶原点矩和中心矩K阶原点矩和中心矩阶原点矩和中心矩K阶原点矩和中心矩阶原点矩和中心矩评定非正态分布随机误差的方法评定非正态分布随机误差的方法p相对分布系数相对分布系数p相对不对称系数相对不对称系数极限处的置信系数。为实际分布在分布ttttN,3对称分布。, 0, 0, 0,3NNNNNp不对称的非正态分布的分不对称的非正态分布的分布极限布极限用途：非正态分布随机用途：非正态分布随机 误差的处理误差的处理分布范围的中心。,3)3(3tttNNNN评定非正态分布随机误差的方法评定非正态分布随机误

66、差的方法几种常用的非正态分布几种常用的非正态分布均匀分布，均匀分布，三角形分布，三角形分布，反正弦分布，反正弦分布，偏心分布，偏心分布，绝对正态分布，绝对正态分布，2 2分布、分布、t t 分布、分布、F F 分布。分布。（1 1）均匀分布均匀分布p例如：任何一页七位对数表，取出一个对数，将它舍入到第五位，则例如：任何一页七位对数表，取出一个对数，将它舍入到第五位，则得到两个数字的舍入误差。对得到两个数字的舍入误差。对100100个对数进行舍入，将所得舍入误差按个对数进行舍入，将所得舍入误差按区间分布得表区间分布得表1 1和表和表2 2。表中误差以对数第七位为单位，并将误差分为。表中误差以对数第七位为单位，并将误差分为四组，每组四组，每组2525个误差。个误差。10025252525共计共计5012121214正误差正误差总和总和76100277526501254912131311负误差负误差11000零误差零误差按对数表数据顺序按对数表数据顺序分组分组 误差个数误差个数分类分类表1：按符号分表2：按绝对值分19663431401552531120总和总和761002775265012