电大专科《高等数学》复习题集及答案小抄

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1、专业好文档中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答案高等数学一、填空题1函数的定义域是.解. 。 2若函数，则解. 3答案：1正确解法：4.已知，则_, _。由所给极限存在知, , 得, 又由, 知5.已知，则_, _。, 即, 6函数的间断点是。解：由是分段函数，是的分段点，考虑函数在处的连续性。因为 所以函数在处是间断的，又在和都是连续的，故函数的间断点是。7. 设, 则8，则。答案：或9函数的定义域为 。解：函数z的定义域为满足下列不等式的点集。的定义域为：且10已知,则 . 解令，则，11设,则 。 。12 设则 。解13. .解：由导数与积分互为逆运算得，.14.设是连续函

2、数，且，则 .解：两边对求导得，令，得，所以.15若，则。答案： 16设函数f(x,y)连续，且满足，其中则f(x,y)=_.解 记，则，两端在D上积分有：，其中（由对称性），即 ，所以，17求曲线所围成图形的面积为 ，（a0） 解： 18.；解：令，则原幂级数成为不缺项的幂级数，记其各项系数为，因为，则，故.当时，幂级数成为数项级数，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为.19的满足初始条件的特解为.20微分方程的通解为.21微分方程的通解为.22.设n阶方阵A满足|A|=3，则=|= .答案：23.是关于x的一次多项式，则该多项式的一次项系数是. 答案： 2;24. f(x)=是 次多项式，其

3、一次项的系数是 。解：由对角线法则知，f(x)为二次多项式，一次项系数为4。25. A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为AB+BC+AC .26. 事件A、B相互独立，且知则. 解：A、B相互独立， P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.2+0.50.1=0.627. A，B二个事件互不相容，则. 解： A、B互不相容，则P(AB)=0，P(AB)=P(A)P(AB)=0.828. 对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为.解：设A、B、C分别表示

4、事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为，即有 P() =P(A)=0.3629.已知事件 A、B的概率分别为P（A）0.7,P（B）0.6,且P（AB）0.4，则P（） ；P（） ；解： P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.9 P(AB)=P(A)P(AB)=0.70.4=0.3 30.若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为.解：P(A+B)=1P二、单项选择题1函数（ ） A.是奇函数； B. 是偶函数；C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。解：利用奇偶函数的定义进行验证。 所以B正确。2若函数，则（ ） A.

5、；B. ；C.；D. 。解：因为，所以则，故选项B正确。3设 ，则=（ ）A x Bx + 1 Cx + 2 Dx + 3解 由于，得 将代入，得=正确答案：D4已知，其中,是常数，则（ ）(A) , (B) (C) (D) 解. , 答案：C5下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量。A.； B.；C. ；D.解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以而A, C, D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。6下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）(A); (B);(C)； (D)解. , 故不选(A). 取, 则, 故不选(B). 取, 则, 故不选(D). 答案：C

6、7设，则在处（）A连续且可导B连续但不可导C不连续但可导D既不连续又不可导解：（B），因此在处连续，此极限不存在从而不存在，故不存在8曲线在点（1，0）处的切线是（ ） A B C D 解 由导数的定义和它的几何意义可知， 是曲线在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 ，即正确答案：A9已知，则=（ ） A. B. C. D. 6解 直接利用导数的公式计算： , 正确答案：B 10若，则（ ）。A B C D答案：D 先求出，再求其导数。11的定义域为（ ）ABC D解 z的定义域为个，选D。12.下列极限存在的是（ ）（A） （B） （C） （D）解A. 当P沿时，当P沿直线时，故不存在；

7、 B. ，不存在； C. 如判断题中1 题可知不存在； D. 因为，所以，选D13.若，在内（ ）.（A） （B）（C） （D）解：14设为奇函数，且时，则在上的最大值为（ ）AB C D解：（B）因为是奇函数，故，两边求导，从而，设，则，从而，所以在-10，-1上单调增加，故最大值为15函数 ( )(A)、有极大值8 （B）、有极小值8 （C）无极值 （D）有无极值不确定 解， ，为极大值 （A）15.设（ ）.（A）依赖于 （B）依赖于（C）依赖于，不依赖于 （D）依赖于，不依赖于解：根据周期函数定积分的性质有,17.曲线与轴围成的图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为（ ）.（A） （B） （

8、C） （D）解：所求旋转体的体积为故应选(B).18.设，则有（ ）.（A）（B）（C）（D）解：利用定积分的奇偶性质知，所以，故选（D）.19下列不定积分中，常用分部积分法的是（ ）。A BC D答案：B。20设，则必有（ ）（A）I0 (B)I0 (C)I=0 （D）I0的符号位不能确定解： D： 21设f(t)是可微函数，且f(0)=1，则极限（）( )（A）等于0 （B）等于 (C) 等于+ （D）不存在且非 C）解：由极坐标，原极限22.设函数项级数，下列结论中正确的是( ).（A）若函数列定义在区间上，则区间为此级数的收敛区间（B）若为此级数的和函数，则余项，（C）若使收敛，则所有

9、都使收敛（D）若为此级数的和函数，则必收敛于解：选（B）.23.设为常数，则级数（ ）.（A）绝对收敛 （B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与有关解：因为，而收敛，因此原级数绝对收敛. 故选（A）.24.若级数在时发散，在处收敛，则常数（ ）.（A）1 （B）-1 （C）2 （D）2解：由于收敛，由此知.当时，由于的收敛半径为1，因此该幂级数在区间内收敛，特别地，在内收敛，此与幂级数在时发散矛盾，因此.故选（B）.25.的特解可设为（ ）（A） （B）（C） （D）解：C26.微分方程的阶数是指（ ）（A）方程中未知函数的最高阶数； （B）方程中未知函数导数或微分的最高阶数；（C）方程中未知函

10、数的最高次数； （D）方程中函数的次数.解：B27.下面函数( )可以看作某个二阶微分方程的通解.（A） （B）（C） （D）解：C28.A、B均为n阶可逆矩阵，则A、B的伴随矩阵=（ ）.（A）； （B）； （C） （D）； 解答：D 29. 设A、B均为n阶方阵，则必有 。 (A) |A+B|=|A|+|B| (B) AB=BA (C) |AB|=|BA| (D) (A+B)1=A1+B1解：正确答案为(C)30.A,B都是n阶矩阵,则下列各式成立的是 （ ）（A） （B） （C） （D）解答：B 31. 在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为（

11、）（A）（B）（C）（D）解 由事件间的关系及运算知，可选（A）32. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（）（A）（B）（C）（D）解 基本事件总数为，设A表示“恰有3个白球”的事件，A所包含的基本事件数为=5，故P(A)=，故应选（D）。33. 已知，且,则下列选项成立的是（）（A）;（B）（C）（D）解 由题可知A1、A2互斥，又0P(B)1，0P(A1)1，0P(A2)1，所以 P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 故应选（C）。三、解答题1.设函数 问（1）为

12、何值时，在处有极限存在？（2）为何值时，在处连续？解：（1）要在处有极限存在，即要成立。因为所以，当时，有成立，即时，函数在处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时可以取任意值。（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是 于是有，即时函数在处连续。2已知，试确定和的值解. ,即,故3设，求的间断点，并说明间断点的所属类型解. 在内连续, , , 因此, 是的第二类无穷间断点; , 因此是的第一类跳跃间断点.4求方程中是的隐函数的导数（1）,解：方程两边对自变量求导，视为中间变量，即 整理得 （2）设，求，；解：，5设由方程所确定, 求. 解: 设,

13、, , , ,. 6设函数在0,1上可导，且，对于（0 ,1）内所有x有证明在（0,1）内有且只有一个数x使 .7.求函数的单调区间和极值.解 函数的定义域是 令 ，得驻点， -2 0 + 0 - 0 + 极大值极小值故函数的单调增加区间是和，单调减少区间是及，当-2时，极大值；当0时，极小值.8.在过点的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小.解: 设平面方程为, 其中均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为, 且, 令, 则由, 求得 . 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为, 且.9求下列积分 (1)解：极限不存在，则积分发散.(2)解是D上的半球面，由

14、的几何意义知I=V半球=(3) ，D由 的围成。解关于x轴对称，且是关于y的奇函数，由I几何意义知，。4判别级数（常数）的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?解：由，而，由正项级数的比较判别法知，与同时敛散.而收敛，故收敛，从而原级数绝对收敛.4判别级数的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?解：记，则.显见去掉首项后所得级数仍是发散的，由比较法知发散，从而发散. 又显见是Leibniz型级数，它收敛. 即收敛，从而原级数条件收敛.4求幂级数在收敛区间上的和函数：解：，所以.又当时，级数成为，都收敛，故级数的收敛域为.设级数的和函数为，即.再令，逐项微分得，故，又显然有，故5求解

15、微分方程 (1) 的所有解.解 原方程可化为，（当），两边积分得，即为通解。当时，即，显然满足原方程，所以原方程的全部解为及。(2) 解 当时，原方程可化为，令，得，原方程化为，解之得；当时，原方程可化为，类似地可解得。综合上述，有。(3) 解 由公式得 。三、求解下列各题1 计算下列行列式：（.2），解： （3） 解： 3设矩阵A，B满足矩阵方程AX B，其中， , 求X 解法一：先求矩阵A的逆矩阵因为 所以 且 解法二： 因为 所以 4 设矩阵 试计算A-1B解 因为 所以 且 2设.(1)若，求；(2) 若，求；(3) 若，求.解：(1) P(B)=P(B)P(AB) 因为A，B互斥，故

16、P(AB)=0，而由已知P(B)= P(B)=P(B)=(2) P(A)=，由AB知：P(AB)=P(A)= P(B)=P(B)P(AB)=(3) P(AB)= P(B)=P(B)P(AB)=3假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品分别有20件，12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率.解：设B1、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A1、A2分别表示第一、二次选出的为一等品，依题意，有P(A1)=P(B1)P(|B1)+P(B2)

17、P(A1|B2)+P(B3)P(A1|B3) =0.467P()=0.220If we dont do that it will go on and go on. We have to stop it; we need the courage to do it.His comments came hours after Fifa vice-president Jeffrey Webb - also in London for the FAs celebrations - said he wanted to meet Ivory Coast international Toure to disc

18、uss his complaint.CSKA general director Roman Babaev says the matter has been exaggerated by the Ivorian and the British media.Blatter, 77, said: It has been decided by the Fifa congress that it is a nonsense for racism to be dealt with with fines. You can always find money from somebody to pay them

19、.It is a nonsense to have matches played without spectators because it is against the spirit of football and against the visiting team. It is all nonsense.We can do something better to fight racism and discrimination.This is one of the villains we have today in our game. But it is only with harsh sa

20、nctions that racism and discrimination can be washed out of football.The (lack of) air up there Watch mCayman Islands-based Webb, the head of Fifas anti-racism taskforce, is in London for the Football Associations 150th anniversary celebrations and will attend Citys Premier League match at Chelsea o

21、n Sunday.I am going to be at the match tomorrow and I have asked to meet Yaya Toure, he told BBC Sport.For me its about how he felt and I would like to speak to him first to find out what his experience was.Uefa hasopened disciplinary proceedings against CSKAfor the racist behaviour of their fans du

22、ringCitys 2-1 win.Michel Platini, president of European footballs governing body, has also ordered an immediate investigation into the referees actions.CSKA said they were surprised and disappointed by Toures complaint. In a statement the Russian side added: We found no racist insults from fans of C

23、SKA.Baumgartner the disappointing news: Mission aborted.The supersonic descent could happen as early as Sunda.The weather plays an important role in this mission. Starting at the ground, conditions have to be very calm - winds less than 2 mph, with no precipitation or humidity and limited cloud cove

24、r. The balloon, with capsule attached, will move through the lower level of the atmosphere (the troposphere) where our day-to-day weather lives. It will climb higher than the tip of Mount Everest (5.5 miles/8.85 kilometers), drifting even higher than the cruising altitude of commercial airliners (5.

25、6 miles/9.17 kilometers) and into the stratosphere. As he crosses the boundary layer (called the tropopause),e can expect a lot of turbulence.The balloon will slowly drift to the edge of space at 120,000 feet ( Then, I would assume, he will slowly step out onto something resembling an Olympic diving

26、 platform.Below, the Earth becomes the concrete bottom of a swimming pool that he wants to land on, but not too hard. Still, hell be traveling fast, so despite the distance, it will not be like diving into the deep end of a pool. It will be like he is diving into the shallow end.Skydiver preps for t

27、he big jumpWhen he jumps, he is expected to reach the speed of sound - 690 mph (1,110 kph) - in less than 40 seconds. Like hitting the top of the water, he will begin to slow as he approaches the more dense air closer to Earth. But this will not be enough to stop him completely.If he goes too fast o

28、r spins out of control, he has a stabilization parachute that can be deployed to slow him down. His team hopes its not needed. Instead, he plans to deploy his 270-square-foot (25-square-meter) main chute at an altitude of around 5,000 feet (1,524 meters).In order to deploy this chute successfully, h

29、e will have to slow to 172 mph (277 kph). He will have a reserve parachute that will open automatically if he loses consciousness at mach speeds.Even if everything goes as planned, it wont. Baumgartner still will free fall at a speed that would cause you and me to pass out, and no parachute is guaranteed to work higher than 25,000 feet (7,620 meters).cause there