人教A版数学必修4第一章1.2.1 任意角的三角函数 课件(共23张PPT)

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1、1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 新 课 引 入传说摩天轮的每个盒子里都装满了幸福，当我们传说摩天轮的每个盒子里都装满了幸福，当我们仰望摩天轮的时候，就是在仰望幸福，摩天轮有仰望摩天轮的时候，就是在仰望幸福，摩天轮有多高，幸福就有多高。多高，幸福就有多高。问问 题题 探探 索索问题问题1 1：如图，摩天轮的半径为如图，摩天轮的半径为10m10m，中心，中心O O离地面为离地面为20m20m，现在小明坐上了摩天轮，并，现在小明坐上了摩天轮，并从点从点P P开始以每秒开始以每秒1 1度的速度逆时针转动，当度的速度逆时针转动，当转动转动3030秒后小明离地面的高度是多少？秒后

2、小明离地面的高度是多少？PO. .10m20m30300 0P P1 1M M2 0 + 1 0 s in 3 02 5= =oh 30s后离地面高度 120s离地面的高度20 + 10sin120oh 在初中阶段在初中阶段, ,我们在直角我们在直角三角形中是如何定义锐角的三角形中是如何定义锐角的三角函数：三角函数：cba正弦函数：正弦函数：余弦函数余弦函数 ( (邻邻边边比比斜斜边边) )cosaBc 正切函数：正切函数： ( (对对边边比比邻邻边边) )tanbBa BAC ( (对对边边比比斜斜边边) )sinbBc 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来你能用直角坐标系中角的终边上点的

3、坐标来表示锐角三角函数吗？表示锐角三角函数吗？ 我们先在平面上我们先在平面上建立一个直角坐标系建立一个直角坐标系xoy, ,将直角三角形将直角三角形B B的顶点放在坐标原点的顶点放在坐标原点, ,始边放在始边放在x轴的非负轴的非负半轴上半轴上, ,设设AB为它的为它的终边终边, ,如右图：如右图：xyoAC用坐标形式表示锐角三角函数用坐标形式表示锐角三角函数: :sincostanbryarbax设点设点A(a,b)是锐角是锐角终边上的任意一点，终边上的任意一点，记记OP=r（r0）则：）则：22 rabBAC（ a,b）r如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？如果改变点在终边上的位置

4、，这三个比值会改变吗？M11sinbr11cosar11tanbaOMPPMO22=br对边斜边22=ar邻边斜边22=ba对边邻边诱思 探究MOyx=22,P a b11,P a b结论： 由相似三角形的性质可以得出，改变点P在终边上的位置，它们的比值没有变化，比值仍然是相应坐标与点到原点的距离之比或是纵横坐标之比。问题： 当角的终边op在第二、三、四象限时，那么这个角的三角函数值又是怎样的呢？ 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做

5、叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正切，即的正切，即xy0tanxxy1、任意角的三角函数：、任意角的三角函数： 所以，正弦，余弦，正切所以，正弦，余弦，正切都是以都是以角为自变量角为自变量，以角终，以角终边上点的边上点的坐坐标和点到原点距标和点到原点距离的比值或坐标的比值离的比值或坐标的比值为函为函数值的函数，我们将他们称数值的函数，我们将他们称为为三角函数三角函数. 使比值有意义的角的集合即为使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域三角函数的定义域. 那么你能说出他们的定义域分那么你能说出他们的定义域分别是什么吗？别是什么吗？)0 , 1 (AxyoP( , )x y

6、的终边说说 明明. .（1） 正弦、余弦总有意义正弦、余弦总有意义.当当 的终边在的终边在 y横坐标等于横坐标等于0， xytan无意义，此时无意义，此时 )(2zkk轴上时，点轴上时，点P 的的（2）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数三角函数可以看成是自变量为实数的函数. 例例1 当小明在摩天轮当小明在摩天轮 转动到点转动到点 时，求小明这时时，求小明这时候所在终边角候所在终边角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 .3( 6, 8)P 223( 6)( 8)10OP 解解:由已知可得由已知

7、可得 于是，于是， 4sin;5yr 3cos;5xr 84tan=63yxPO36, 8P 1解： 当角 的终边在第二象限时，22-1,2125在角 的终边上取点，则r=22 5-152sin,cos-,tan-255155 2当角 的终边在第四象限时， 221, 2125r 在角 的终边上取点，则22 5152sin,cos,tan-255155 探究提高PO变式1 当小明在摩天轮上转动到直线 时，求此时角 的正弦、余弦、正切值2yx OPMPsinOPOMcostanMPOM，则若1 rOPyxyx3.锐角三角函数（在单位圆中）锐角三角函数（在单位圆中）以原点以原点O为为圆心，以单位圆心

8、，以单位长度为半径的圆，称为单位圆长度为半径的圆，称为单位圆. yoP( , )x yx1M2.任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(yxP 那么:（1） 叫做 的正弦正弦，记作 ，即 ；ysinysin （2） 叫做 的余弦余弦，记作 ，即 ； cosxxcos（3） 叫做 的正切正切，记作 ，即 。 xytanxytan 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都是以是以角为自变量角为自变量，以，以单位圆单位圆上点上点的的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为函数值的为函数值的函数，我们将他们称为函数，我们将他们称为三角函数三角函数.0

9、, 1AOyxyxP ,)0(x)0 , 1 (AxyoP( , )x y的终边说说 明明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值横坐标的比值. .的横坐标，的横坐标， 正切就是正切就是 交点的纵坐标与交点的纵坐标与. .（2） 正弦、余弦总有意义正弦、余弦总有意义.当当 的终边在的终边在 y横坐标等于横坐标等于0， xytan无意义，此时无意义，此时 )(2zkk轴上时，点轴上时，点P 的的如何求如何求三角函数值三角函数值?关键：关键： 求出求出例例2求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐标系中，作解：在直角

10、坐标系中，作 AOB，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 )23,21(所以所以 2335sin2135cos335tan思考：若把角思考：若把角 改为改为 呢呢? 3567,2167sin， ,2367cos3367tan实例 剖析xyoAB35任意角的三角函数的定义过程：任意角的三角函数的定义过程：直角三角形中定义锐角三角函数 abrarbtan,cos,sin直角坐标系中定义锐角三角函数 abrarbtan,cos,sin直角坐标系中任意角的三角函数 sin, co s, tanbabrra单位圆中定义任意角的三角函数 ,sinyxcosxytan,1. 内

11、容总结：内容总结： 三角函数的概念三角函数的概念.三角函数的定义域三角函数的定义域.运用了定义法、公式法、数形结合法解题运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结合的思想划归的思想，数形结合的思想.归纳 总结2 .方法总结：方法总结：3 .体现的数学思想：体现的数学思想：2 0 + 1 0 s in 3 02 5= =oh 30s后离地面高度 2 0 + 1 0 sin 1 2 02 053= =+ +oh 120s离地面的高度摩天轮有个美丽的传说，当摩天轮转到最摩天轮有个美丽的传说，当摩天轮转到最高点时许下的愿望一般能实现，你能求出高点时许下的愿望一般能实现，你能求出小明第一次到达最高点许愿时转过的角小明第一次到达最高点许愿时转过的角 的正弦、余弦、正切值吗的正弦、余弦、正切值吗?