对面积的曲面积分(39)课件

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1、2021-9-16对面积的曲面积分(39)1新课引入新课引入前面我们讲述了两类曲线积分：前面我们讲述了两类曲线积分： 对对弧长弧长曲线积分（第一类）曲线积分（第一类） 对对坐标坐标曲线积分（第二类）。曲线积分（第二类）。这一节我们讲述了对面积的曲面积分，这一节我们讲述了对面积的曲面积分， 同样我们也要讲述两类曲面积分：同样我们也要讲述两类曲面积分： 对对面积面积的曲面积分（第一类）的曲面积分（第一类） 对对坐标坐标的曲面积分（第二类）。的曲面积分（第二类）。2021-9-16对面积的曲面积分(39)2W( , )d( , )dLLP x yxQ x yy( , )d( , )dLLP x yx

2、Q x yy( , )d( , )dLP x yxQ x yy( , , )d( , , )d( , , )dLLLP x y zxQ x y zyR x y zz( , , )d( , , )d( , , )dLP x y zxQ x y zyR x y zzddLP xQ y dddLP xQ yR z 或2021-9-16对面积的曲面积分(39)3MdSzdnxyzSo设光滑曲面设光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:则面积则面积 A 可看成曲面上各点可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积处小切平面的面积 d S 无限积累而成无限积累而成. 设它在设它在 D 上的投影为上的

3、投影为 d ,dcosdS221cos1001( , )( , )xyfx yfx y见页22d1( , )( , ) dxySfx yfx y(称为面积元素或面积微分称为面积元素或面积微分)则则Mnd2021-9-16对面积的曲面积分(39)4第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 第九章第九章 （Surface Integral for Area)一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算二、对面积的曲面积分的计算三、小结与思考练习三、小结与思考练习2021-9-16对面积的曲面积分(39)5oxyz引例引例: 设曲面形构件具有连续面

4、密度设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想类似求平面薄板质量的思想, 采用采用kkkkS),(可得可得nk 10limM),(kkk求质求质 “分割分割, 近似求和近似求和, 求极限求极限” 的方法的方法,量量 M.其中其中, 表示表示 n 小块曲面的直径的小块曲面的直径的最大值最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质1. 曲面形构件质量的计算曲面形构件质量的计算2021-9-16对面积的曲面积分(39)62. 对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念

5、2021-9-16对面积的曲面积分(39)7( , , )1f x y z dSS特别地特别地, 当当 时时,曲面积分曲面积分 就是曲面就是曲面 块块 S的面积的面积. 2021-9-16对面积的曲面积分(39)83. 对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质 则对面积的曲面积分存在则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性对积分域的可加性.12,S S则有则有12( , , )d( , , )d( , , )dSSSf x y zSf x y zSf x y zS12( , , )( , , ) dSk f x y zk g x y zS 线性性质线性性质.则为常数设,21kk),(zy

6、xf若在光滑曲面在光滑曲面 S 上连续上连续, 积分的存在性积分的存在性. 若若 S 是分片光滑的是分片光滑的,例如分成两例如分成两片光滑曲面片光滑曲面12( , , )d( , , )dSSkf x y zSkg x y zS2021-9-16对面积的曲面积分(39)9二、对面积的曲面积分的计算二、对面积的曲面积分的计算 （证明从略（证明从略. ）2021-9-16对面积的曲面积分(39)1022( , ) , ;1xzxDzyyf xzy d dx zx z( , , )f xzydS则则22( , ), , 1.yzyDzxx yfy zx dzzyd( , , )fy zxdS( ,

7、)xx y z：若曲面则则():,yy x z若曲面2021-9-16对面积的曲面积分(39)111d,SSzS其其中中例例1 计算计算 2222xyza是是球球面面被被 平面平面 (0)zhha所截所截 得的顶得的顶部部 ( (图图22-1) ). xyhOza221 图图为为 定义域定义域 S222,zaxyD解解 曲面曲面 的方程为的方程为 圆圆域域 2222.xyah由于由于 222221,xyazzaxy2021-9-16对面积的曲面积分(39)12222dd dSDSax yzaxy因此由公式因此由公式 (2) 求得求得 222202dahrarar 2 ln.aah2222200

8、ddahar rar 22220 ln()ahaar yxDoxzyha2021-9-16对面积的曲面积分(39)13若若 是球面是球面2222azyx被平行平面被平行平面 z =h 截截出的上下两部分出的上下两部分,) (dzS) (dzS0hln4aa则则hhoxzy思考思考: :2021-9-16对面积的曲面积分(39)14()dxyz xyzS 1()dxyz xyzS2()dxyz xyzS3()dxyz xyzS4()dxyz xyzS2021-9-16对面积的曲面积分(39)15123()d()(0d)dxyz xyzSxyz xyzSxyz xyzS(1)1d(3)dxyDxy

9、xxxyxyyy31202021-9-16对面积的曲面积分(39)16例例3 3积分曲面积分曲面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy2021-9-16对面积的曲面积分(39)17 dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 2021-9-16对面积的曲面积分(39)18xyD例例4. 计算曲面积分计算曲面积分 ,d)(22 SSyx其中其中 S 为立体为立体122 zyx的边界曲面的边界曲面.1 解解设设1, 1:221

10、yxzS1:222 yxzS 1d)(22SSyx 10220ddrrr 2412 1:22 yxDxy xyDyxyxdd001)(222021-9-16对面积的曲面积分(39)19 2d)(22SSyx 10220dd2rrr 22 Dyxyxyyxxyxdd1)(22222222 Dyxyxdd2)(22)21 (2222d)(22 SSyx所以所以2021-9-16对面积的曲面积分(39)20例例5 计算计算 ()d ,SxyzxyzSS22zxy其中其中 为圆锥面为圆锥面 被圆柱面被圆柱面 222xyax 所割所割 下的部分下的部分 ( (图图22-2) ). 解解 对于圆锥面对于圆

11、锥面 22,zxy 有有 222 图图yxO22zxy 222xyax z2222,xyxyzzxyxy 2021-9-16对面积的曲面积分(39)21222()d d .xyDxyxyxyx y()dSIxyzxyzS2212;xyzz因此因此用二重积分的极坐标变换用二重积分的极坐标变换, ,Sxy222:().xyDxaya在在平面上的投影为平面上的投影为而而 2021-9-16对面积的曲面积分(39)222 cos32022(sin cossincos )ddaIrr 44224 2(sin cossincos )cosda 45208 2cosad 4642.15a2021-9-16对

12、面积的曲面积分(39)23内容小结内容小结2对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上的二重积分计算的二重积分计算. （按照曲面的不同情况投影到三（按照曲面的不同情况投影到三坐标面上）坐标面上）1对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念;注意：注意：一投、二代、三换一投、二代、三换2021-9-16对面积的曲面积分(39)24思考与练习思考与练习1. 在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中, 有有因子因子 , 试说明这个因子的几何意义试说明这个因子的几何意义.221yxzz 答：答：是曲面元的面积是曲面元的面积,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法线与是曲面法线与 轴夹角的轴夹角的余弦余弦的倒数的倒数.z2021-9-16对面积的曲面积分(39)25),0(:2222zazyx在第为1一卦限中的部分一卦限中的部分, 则有则有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研考研 )2.对面积的曲面积分(39)