23_第23讲　圆的基本性质

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1、栏目索引第第2323讲圆的基本性质讲圆的基本性质栏目索引总纲目录考点一 与圆有关的概念和性质考点二 圆心角、圆周角预学案预学案记易记易类型一 与圆有关的概念和性质类型二 圆周角定理及垂径定理精讲案精讲案学易学易栏目索引预学案记易预学案记易考点一与圆有关的概念和性质考点一与圆有关的概念和性质1.圆的有关概念圆的有关概念定义:在同一平面内,线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆,定点O叫做圆心,线段OP叫做 圆的半径 .圆的集合定义:圆是到定点的距离等于 定长的点的集合.圆的有关概念:连接圆上任意两点的线段叫做弦;经过圆心的弦叫做直径;圆上任意两点间的部分叫做弧;

2、大于半圆的弧叫做优弧;小于半圆的弧叫做劣弧;圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.栏目索引预学案记易特别提醒特别提醒1.弦和弧的两个端点都在圆上,但弦是线段,弧是曲线.2.直径是圆中最长的弦,半径不是弦;半圆不是直径.栏目索引预学案记易2.圆的对称性圆的对称性,垂径定理及其推论垂径定理及其推论圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形,圆还具有旋转不变性.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧 .推论:(1)平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)平分弧的直径垂直于平分弧所对的弦.栏目索引预学案记易特别提醒特别提醒用垂径定理进行计

3、算或证明时,常常连接半径或作出弦心距,构造直角三角形求解.栏目索引预学案记易即学即练即学即练1.(2018南通模拟)如图,AB是O的直径,点C是O上的一点,若BC=3,AB=5,ODBC于点D,则OD的长为2. 栏目索引预学案记易考点二圆心角、圆周角考点二圆心角、圆周角1.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 相等 ,所对的弦相等,弦心距相等.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.栏目索引预学案记易2.圆周角圆周角圆周角:顶点在圆上,并且两边

4、都和圆相交的角.圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 .推论:(1)半圆(或直径)所对的圆周角是直角;(2)90的圆周角所对的弦是直径.栏目索引预学案记易特别提醒特别提醒应用圆心角、弦、弧、弦心距的关系时,前提条件是“在同圆或等圆中”,它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间的转化方法.如果没有“在同圆或等圆中”这个前提条件,在应用时推出的结论是错误的.栏目索引预学案记易即学即练即学即练2.(2018钦州三模)如图,BC是O的弦,OABC,AOB=70,则ADC的度数是( B )A.70 B.35 C.45 D.60栏目索引精讲案学易精讲案学易类型一

5、与圆有关的概念和性质类型一与圆有关的概念和性质例例1(2016昆明)如图,AB为O的直径,AB=6,ABCD,垂足为G,EF切O于点B,A=30,连接AD、OC、BC.下列结论中不正确的是( D )A.EFCDB.COB是等边三角形 C.CG=DG D.的长为BC32栏目索引精讲案学易命题思路命题思路本题考查了切线的性质、弧长公式、圆心角与圆周角.解题的关键是(1)求出ABE=AGC=90;(2)找出COB是等边三角形.失分警示失分警示用切线的性质和垂径定理判断A;用等边三角形的判定定理判断B;用垂径定理判断C;用弧长公式计算出的长判断D.BC栏目索引精讲案学易实战预测实战预测1.已知O的半径

6、为10,AB,CD是O的两条弦,ABCD,AB=16 cm,CD=12 cm,则弦AB和CD之间的距离是2或14cm.栏目索引精讲案学易类型二圆周角定理及垂径定理类型二圆周角定理及垂径定理例例2(2017云南,14,4分)如图,B、C是A上的两点,AB的垂直平分线与A交于E、F两点,与线段AC交于D点.若BFC=20,则DBC=( A )A.30 B.29 C.28 D.20栏目索引精讲案学易命题思路命题思路本题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质.失分警示失分警示不能利用圆周角定理得到BAC=40,不能根据线段垂直平分线的性质推知AD=BD.栏目索引精讲案学易实战预测实战预测2.如图,AB

7、是O的直径,点C是半径OA的中点,过点C作DEAB,交O于D,E两点,过点D作直径DF,连接AF,则DFA= 30.栏目索引试真题练易试真题练易(2015云南曲靖)如图,在半径为3的O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则cos D=. 13栏目索引探疑难知易探疑难知易易错题易错题(2018绍兴)如图,公园内有一个半径为20米的圆形草坪,A,B是圆上的点,O为圆心,AOB=120,从A到B只有路,一部分市民为走“捷径”,踩坏了花草,走出了一条小路AB.通过计算可知,这些市民其实仅仅少走了15步(假设1步为0.5米,结果保留整数).(参考数据:1.732,取3.142)

8、AB3栏目索引探疑难知易解析解析作OCAB于C,则AC=BC,OA=OB,A=B=(180-AOB)=(180-120)=30,在RtAOC中,OC=OA=10米,AC=OC=10 米,AB=2AC=2069(步),而的长=84(步),84-69=15(步),所以这些市民其实仅仅少走了15步.121212333AB12020180栏目索引探疑难知易错解错解69误区鉴定误区鉴定利用弧长公式计算出的长,最后求与弦AB的差即可.AB栏目索引探疑难知易当堂巩固当堂巩固如图,点A、B、C都在O上,OCOB,点A在劣弧上,且OA=AB,求ABC的度数. BC栏目索引探疑难知易解解 OA=OB=AB,即OAB是等边三角形,AOB=60,OCOB,COB=90,COA=90-60=30,ABC=COA=15.12