09404346徐智慧不动点原理及其应用

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1、 2013届学士学位毕业论文不动点原理及其应用学 号：09404346姓 名：徐智慧班 级：信息0901指导教师：张文丽专 业：信息与计算科学系 别：数 学 系完成时间：2013年5学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文不动点原理及其应用是我个人在导师张文丽指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果,也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.签名： 日期： 论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的

2、规定,即：学校有权保留送交论文的复印件,允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.签名： 日期： 指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果,已经审阅过论文的全部内容,并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性. 指导教师签名： 日期： I摘 要不动点定理的产生是数学发展史上的一次重大突破,它涉及诸多数学分支,其应用十分广泛.数学中的许多重要的定理,如隐函数定理、微分方程解的存在性定理等,都可以用不动点定理给出简洁的证明.本文首先介绍了Banach不动点原理即压缩映射原理,然后举例说明了Banach不动

3、点原理在数列极限中的应用,并且用Banach不动点原理证明了积分方程、常微分方程解的存在性和唯一性,最后介绍了Banach不动点原理在解线性方程组方面的应用,而在这些应用过程中最关键的的是构造压缩算子T,讲问题转化为求的不动点.关键词: Banach不动点原理;压缩映射;完备度量空间;巴拿赫The Principle and Application of Immovable Point09404346 XU Zhi-hui Information and Computing ScienceFaculty adviser ZHANG Wen-liAbstractThe Principle of

4、Immovable Point is produced in the history of mathematics, a major breakthrough, it involves many branches of mathematics, which is widely used. Many important mathematical theorems, such as the implicit function theorem, differential equations existence theorems, etc., can be with a simple fixed po

5、int theorem proof paper first introduces the Banach fixed point theorem that the contraction mapping principle, then illustrates the Banach fixed point theory to limit the number of columns in the application, and use the Banach fixed point theorem proved integral equations, ordinary differential eq

6、uations existence and uniqueness, and finally introduces the Banach fixed point theorem in linear equations in the application, and in the course of these applications is the most critical structural contraction operator T, say the problem transformed for the sake of a fixed point .Keywords: Banach

7、immovable point;compressed reflection; complete measure space; Banach目 录1.引言12.Banach不动点原理12.1有关概念12.2 Banach不动点原理23不动点定理的应用43.1 “不动点原理”在数列极限中的应用43.2不动点定理在积分方程中的应用63.3不动点定理在常微分方程中的应用73.4 不动点在解线性方程组方面的应用84.结束语9致 谢1111长治学院学士学位论文不动点定理原理及应用09404346 徐智慧 信息与计算科学指导教师 张文丽1.引言1909年,荷兰数学家布劳维创立了不动 点理论.在此基础上,不动

8、点定理有了进一步的发展,并产生了用迭代法求不动点的迭代思想.美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论,称为莱布尼茨不动点理论.1927年,丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题,并提出了尼尔森数的概念.我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形,并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理.不动点理论的另一个发展方向是对于一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题.最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Banach),他于1922年提出的压缩映像原理发展了迭代思想,并给出了Banach不动点定理.这一定理有着及其广泛的应用,像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的

9、许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论. 本文将对Banach不动点定理及其变换形式在数学中的应用加以探索2.Banach不动点原理2.1 有关概念1 定义1 设X是度量空间,T是X到X中的映射,如果存在一个数,使得对所有,则称T是压缩映射. 定义2 设X是度量空间,T是X到X中的映射,如果存在使,则称为映射T的不动点.定义3 设X=（X,d）是度量空间,是X中的点列,如果对任意给定的正数0,存在正整数N=(),使当n,mN时,必有m时, 因,所以m） 所以当,时,即是X中的柯西点列,由X完备,存在,使（）,由三点不等式和定义1,我们有上面不等式右端当时趋于0,所以=0,即.下证唯一性

10、.如果又有 使,则由定义,.因,所以必有=0,即.例l 设是定义在上的函数(不恒为常数),且满足条件:在内处处有导数且, ;对,有,那么方程=有惟一解.证明 在内处处有导数 对,有,且 是的一个压缩映射又根据定理1可得,此时方程=有且只有一个解 是的不动点 在求解的过程中,首先在内任取,当做迭代的初始值,然后令,=,那么在实际应用中为了方便,往往将上述定理改为定理1 10 对数列,若存在常数:,使的一切nN,有-,则收敛证明：对任意的自然数n,p-=-0 为柯西数列 收敛若递推公式由一元可微函数=给出,则可通的导数来考 察.若存在实数,使的l,则应用微分中值定理,可知满 足压缩映射的条件.不过

11、,这时必须验证,是否保持在成立的范围之内3不动点定理的应用3.1 “不动点原理”在数列极限中的应用3例2 设数列,证明数列收敛并求极限解：根据迭代数列,构造函数,其中 在上单调递增 .又 = 是上的一个压缩映射. 由定理1知数列收敛, =即 此例题告诉我们在应用定理的时候,要注意找到满足定理条件的闭区间,并构造相关的压缩映射,这是解决问题的关键所在.例3 设数列满足,证明数列收敛并求极限证明：根据迭代数列,构造函数,易知有唯一的不动点,且可以变形为由定理可知,则即数列是以首项,公差为的等差数列.则对应的通项公式为解出,得所以可得.此例题说明,借助不动点构造新的函数列,求出迭代数列的通项公式,再

12、判断其极限是否存在,此时不要求对迭代函数判断是否为压缩映射,只要满足的形式,且有唯一的不动点即可.例4 设映射为自己,且 (3)任取,令= (4)求数列有极限,满足方程=注 由(3),(4)式可得 (5) 此式很像压缩映射的条件,但实际不然,因为(5)式相当于r=1.而非0r1.证明：(3)式表明连续,只要证明了单调, (n=1,2,),自然有极限,在（4）式中取极限便知的极限满足=.因为映为自身,所以当时,由式（4）知亦然.既然,故一切n,恒有,剩下只需证明单调性.事实上,若,则=,而任一n,若时,便有.=将带负号的项移到不等式的另一端,然后同除以2,即得=故单增.同理,若时,可证单减.所以

13、设的极限为,则有得=以上介绍了用“不动点定理”求极限的各种方法,“不动点定理”在方程解方面也有重要应用.3.2 不动点定理在积分方程中的应用4下面应用不动点定理给出积分方程解的存在性和唯一性的证明.设是定义在内的可测函数,满足,记,那么,当时,必有惟一的适合线性积分方程.证明：在上定义映射由于,可知,因此T是到的映射.只要证明是压缩映射即可证明方程解的存在、惟一性.对任意的,记,由假设有,而,即是压缩映射,所以存在惟一的满足.即.也就是说,当必有惟一的适合线性方程.3.3 不动点定理在常微分方程中的应用6应用不动点定理证明常微分方程解的存在性和惟一性.设是矩形上的二元连续函数.在这个矩形中,其

14、中为一常数,又关于满足条件,即存在常数k,对任意的,有,那么方程有惟一的满足初始条件的连续函数解,其中,按通常的距离是完备的距离空间,因此是完备的空间.令,则是的映射,事实上,对于,因,而在上二元连续,所以右端的积分有意义,它是积分上限的连续函数,又对于一切的.所以.事实上,由关于满足条件,故对任意两点,有令则且,所以是上的压缩映射.所以存在惟一的使得.由于方程满足初始条件的解与的不动点一致,因此就得到了元方程的解得存在、惟一性.3.4 不动点在解线性方程组方面的应用8在n维实向量空间中,采用范数其中则不难验证在范数下成为一个Banach空间.在中讨论下列线性代数方程组在系数满足什么条件时,存

15、在惟一的解.解：将写成下列向量形式,其中,是nn矩阵,令,则又可写成.显然是的一个映射.任取,令而,于是利用范数有由此可见,当对一切成立时,是上的压缩映射.从而有惟一不动点,即是方程的惟一解.4.结束语不动点理论是20世纪数学中非常重要的一部分,半个多世纪以来,它一直是世界数学家追逐的目标之一,其影响可以说遍及整个数学界.运用不动点定理,可以使许多复杂的数学问题简单化,例如论文中提到的函数的不动点和不动点定理在数列极限中的应用,等等.因此,不动点定理是沃恩学习并掌握更多的数学理论的必要工具.不动点理论描写的运动的函数、映射,反应了世界万物出于变化之中,但是,变中有不变,运动之中有不动,不动点理

16、论正是在动与静这对矛盾展开中出现的规律性结果.参考文献:1 程其襄, 等. 实变函数与泛函分析基础M. 北京: 北京大学出社,2003.2 孙永生,泛函数分析讲义M .北京：北京师范大学出版社, 1986,184 -185.3 冯艳青.数学分析的不动点问题J.青海师范大学学报（自然科学版）,2001.4 童淑玲,关文吉.积分方程局部解的存在唯一性J.渭南师范学院学报.2007,22(2):15-165 张海.Banach不动点定的注记及应用J.安庆师范学院学报（自然科学版）,2005.6 韩梅.微分方程正解的存在唯一性J.吉林师范大学学报,2007（1）：84-86.7 王金诚.浅析不动点原理

17、应用J.科技信息,2007,（4）：195.8 谭长明,龙丽.不动点定理在方程解方面的应用J.吉林师范大学学报（自然科学版）,2007,28（1）:84-86.9 刘易成,李志阳.新的不动点及应用J,数学学报,2006,49（5）:10671074.10 装礼文,数学分析中的典型问题与方法M,北京：高等教育出版社,1993.致 谢本文是在指导老师由张文丽副教授的精心指导下完成的,无论是在选题、确定研究内容和研究过程中都凝聚着由老师的辛勤与汗水.由老师的严谨治学态度、无私奉献的精神、丰富的教学经验令我受益匪浅.在她那里不仅让我学到了许多宝贵的知识财富,更让我懂得了许多做人的道理.在这里我衷心地向我的指导教师张文丽副教授表示最诚挚的谢意和尊敬.最后向所有关心我和帮助我的老师和同学们表示我衷心的感谢和最诚挚的谢意！