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1、三角形三边关系定理在初中数学中的应用
三角形是最简单的多边形，是研究和学习几何的基础，而三角形三边关系定理是研究三 角形的基础，可见三角形三边关系定理的重要的地方，笔者针对三角形三边关系定理在初中 数学中的应用做一一的总结，希望能够给学习那个定理的人有必然的帮忙。
一、定理及其推论
定理：三角形任意两边之和大于第三边：推论：三角形任意两边之差小于第三边。定理 • • • •
分析：不管是定理仍是推论都有‘‘任意"二字，因此定理和推论都包括三项内容，用a, b, c表示三角形的三边，那么定理能够表示为：a+b〉c,a+c>b,b+c>a;推论那么表示为： a-b
2、ab）,应历时只需抓住两条边来验证第三边即可。具体的应用参考下 面的例题。
三：定理的应用
1、判定三条线段是不是能够组成三角形
例题1以下几组线段中，不能组成三角形的是：（）
,4, 5 , 4, 6 C. 5, 6, 8 , 10, 15
解法分析：下而咱们以A选项为列来详细说明定理的利用，第一咱们任意的掏出两条线段, 不妨咱们取3和4.然后依照定理咱们做出4-3
3、不能组成三角形, 此题显然1<5<7,因此能够组成三角形。答案为
例题2以4cm, 8cm, 10cm, 12cm四根木条中的三根组成三角形，能够组成的三角形的个数是: （）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解法分析：四根木条选3根有四种情形：
4cm, 8cm, 10cm; 4cm, 8cm, 12cm;4cm, 10cm, 12cm; 8cm, 10cm, 12cm.由三角形三边关系定理知以 12cm, 8cm, 4cm不能组成三角形，其它三种情形均符合题意，因此能组成三个三角形，应 选择Co
说明：事实上判定可否组成三角形的条件和依照已知两边判定第三边的取值范围是一样的
4、， 因此在那个地址就不一一表达了。
2、判定三点是不是共线
三角形三边关系定理的要紧内容是描述组成三角形的条件，那么若是不能组成三角形会 是情形呢？其中就包括三点共线的情形，当a-b〈cb）或c=a+b时，a,b,c三条线段共线。
例题3已知A, B, C三点，且AB=3, BC=4, AC=7.判定这三点是不是在一条直线上？
解法分析：依照题意显然有3+4=7,因此这三点共线。需要说明的是a-b=c和c=a+b本 质上是一样的，因为3+4=7能够表示为3=7-4 .
3、与三角形周长相关，尤其是等腰三角形周
5、长。
例题4等腰三角形aABC两边的长别离是7和4,求三角形的周长为（）
B. 25 C. 11 或 25
解法分析：因为是等腰三角形，因此第一要判定7和4哪个是腰？哪个是底，因此要进行分 类讨论，把因此的可能都列举出来：7、7、4和7、4、4,然后依照三角形的三边关系定理 来验证，结果两种情形都符合，故答案为D.
例题5 等腰4ABC两边的长别离是一元二次方程x=-6x+8=0的两根，那么那个等腰三角形
的周长是：（）
A. 8 B. 10 C.8 或 10 D. 6
解法分析：解法同例题4,不同的是两种组合别离为4、4、2和4、二、2,符合条件的只有 4、4、2,故答案为需要
6、说明的是因为关于周长的问题不单单限于等腰三角形，但由于 等腰三角形具有典型性，因此在那个地址举例说明。
4、证明线段的不等关系
例题6 如图1,在aABC中，D是BC边上的任意一点，求证：AB-BC+AO2AD-
证明：
在△ABD 和4ACD 中，VAB-BD>AD,AC+CD>AD, .\AB+BC-AC>2AD.
变式：如图1,在AABC中，D是BC边上的中点，求证：AB +AO2AD。
♦ ♦
证明：延长AD到E点，使得AD=AE,连结BE和CE,如图2,因为AD和BC相互平分，因
此四边形ABCD是平行四边形，因此AC=BEO
在△ ABE 中，AB+BE
7、>AE,又〈BE=AC, AE=2AD, AAB+AO2AD.
例题7如图，已知A、B两个村在河的同侧，要在河边建一个水站向两个村供水，为了使水
站到两村距离之和最小，问水站应该建在哪里？
B
解法分析：做A点关于直线的对称点C,连结AB与直线的交点即为水站的位置。若是水站 建在 D 处,因为 AD=CD,CMBD>BC,因此 AD+BD>BC0 五、判定两个圆的位置关系（创新应用）
上述的几种情形是在初中数学中常见的三角形三边关系定理的应用，在笔者的教学进程 中，发觉若是利用那个定理来判定两圆的位置关系十分的简练和有效，在那个地址与大伙儿 一路分享，希望对大伙儿能有所启
8、发。咱们都明白两圆的位置关系有6种，主若是依照两圆 半径壬，r二和圆心距d三者之间的关系，如何把它们和三角形的三边关系联系起来呢？我是 如此做得，如图3,以两圆相交为例.当两圆相交时，这三条线段恰好组成一个三角，显然 知足三角形三边关系定理，即（假设而当两圆相切时，恰好对应等号
成立时，如图2所示。为了使应用的加倍方便，咱们能够用数轴来表示两圆的位置关系，如
内含
内切
r产尸d
相交
外离
外切
勺+r2H
图4
d圆心距
在判定两圆的位置关系时，只需抓住数轴上的两点即可，然后看圆心距在数轴上位置就能够
够一目了然的判定出两圆的位置关系。具体的利用参照下而例题。
9、
例题8已知两圆的半径别离为3和4,圆心距取下列何值时两圆相交（）
A 5 B 6 C 7 D 8 解析：套用三角形三边关系定理，有4-3< d<4+3,可知圆心距在1〜7之间的时候为相交， 因此答案为B。
例题9已知两圆相切，其中一个圆的半径为5,圆心距为8,求另外一个圆的半径()
A 3 B 7 C 13 D3 或 13
解析：两圆相切对应的恰好是三点共线的情形，即等号成立的时候，因此答案为D。
参考文献：
[1]张克.《三角形三边关系定理及推论的应用》.《数学教学通信》2007年1月上半 月第266期
[2]彭现省.《三角形三边关系定理的应用》.《数学大世界》，2020. (3)
[3]李婵娟.《三角形三边关系定理应用聚焦》.《试题研究：教学论坛》2020年第6 期
初中数学中的应用
