2015-2016学年江苏省无锡市江阴市高三（下）暑假数学试卷解析版

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1、2015-2016学年江苏省无锡市江阴市高三（下）暑假数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1（5分）（2015春扬州期末）已知集合A=x|x0，B=1，0，1，2，则AB=2（5分）（2011江苏二模）若（i是虚数单位）是实数，则实数a 的值是3（5分）（2015江西二模）已知=（3，4），=（1，2m），=（m，4），满足，则m=4（5分）（2016梅州二模）在ABC中，若A=60，B=45，BC=3，则AC=5（5分）（2013春兴庆区校级期末）已知函数f（x）=若f（2a2）f（a），则实数a的取值范围为6（5分）（2015蓟县校级模拟）不论k为何实数，直线y=k

2、x+1与曲线x2+y22ax+a22a4=0恒有交点，则实数a的取值范围是7（5分）（2014镇江二模）已知奇函数f（x）是R上的单调函数，若函数y=f（x2）+f（kx）只有一个零点，则实数k的值是8（5分）（2015陕西）设曲线y=ex在点（0，1）处的切线与曲线y=（x0）上点P的切线垂直，则P的坐标为9（5分）（2011天津）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为10（5分）（2013福建）椭圆：=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1，则该椭圆的

3、离心率等于11（5分）（2014秋苏州期末）已知圆M：（x1）2+（y1）2=4，直线l：x+y6=0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C使得：BAC=60，则点A的横坐标x0的取值范围是12（5分）（2014广州一模）设为锐角，若cos（）=，则sin（）=13（5分）（2014春青羊区校级期末）已知正实数x，y满足x+y+3=xy，若对任意满足条件的x，y，都有（x+y）2a（x+y）+10恒成立，则实数a的取值范围为14（5分）（2015张家港市校级模拟）已知函数f（x）=x2+bx+c（b，cR），对任意的xR，恒有f（x）f（x）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）f（

4、b）M（c2b2）恒成立，则M的最小值为二、解答题（共6小题，满分90分）15（14分）（2012天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1，xR（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值16（14分）（2014南京校级四模）如图，四棱锥PABCD中，O为菱形ABCD对角线的交点，M为棱PD的中点，MA=MC（1）求证：PB平面AMC；（2）求证：平面PBD平面AMC17（14分）（2015杨浦区一模）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，MON=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线

5、段AB平行于线段MN（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设AOB=，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？18（16分）（2015盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x=4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率19（16分）（2009沙坪坝区校级模拟）已知f（x）=|x21|+x2+kx；（）若k=2，求方程f（x）=0的解；（）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）

6、上有两个解x1、x2，求k的取值范围20（16分）（2015四川）已知函数f（x）=2xlnx+x22ax+a2，其中a0（）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（）证明：存在a（0，1），使得f（x）0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+）内有唯一解2015-2016学年江苏省无锡市江阴市高三（下）暑假数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1（5分）（2015春扬州期末）已知集合A=x|x0，B=1，0，1，2，则AB=【分析】由A与B，求出两集合的交集即可【解答】解：A=x|x0，B=1，0，1，2，AB=1，0，故答案为：1，0【点

7、评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）（2011江苏二模）若（i是虚数单位）是实数，则实数a 的值是【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质化简 ，由虚部等于0，求出a 值【解答】解：= 是实数，a=1，故答案为：1【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数3（5分）（2015江西二模）已知=（3，4），=（1，2m），=（m，4），满足，则m=【分析】根据平面向量的坐标运算，利用两向量垂直，数量积为0，求出m的值【解答】解：=（3，4），=（1，2m），=（m，4），+=

8、（2，2m+4）；又，2m+（4）（2m+4）=0，解得m=故答案为：【点评】本题考查了平面向量的坐标运算以及两向量垂直的应用问题，是基础题目4（5分）（2016梅州二模）在ABC中，若A=60，B=45，BC=3，则AC=【分析】由A与B的度数分别求出sinA与sinB的值，再由BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长【解答】解：A=60，B=45，BC=3，由正弦定理=得：AC=2故答案为：2【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键5（5分）（2013春兴庆区校级期末）已知函数f（x）=若f（2a2）f（a），则实数a的取值范围为【分析】先根据二次函

9、数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f（x）的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可【解答】解：函数f（x），当x0 时，f（x）=x2+4x，由二次函数的性质知，它在0，+）上是增函数，当x0时，f（x）=4xx2，由二次函数的性质知，它在（，0）上是增函数，该函数连续，则函数f（x） 是定义在R 上的增函数f（2a2）f（a），2a2a解得2a1实数a 的取值范围是（2，1）故答案为：（2，1）【点评】本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型，利用单调性将不等式f（2a2）f（a）转化为一元二次不等式，求出实数a 的取值范围，属于中档题6（5分）（201

10、5蓟县校级模拟）不论k为何实数，直线y=kx+1与曲线x2+y22ax+a22a4=0恒有交点，则实数a的取值范围是【分析】直线y=kx+1与曲线x2+y22ax+a22a4=0恒有交点，说明直线系过的定点必在圆上或圆内【解答】解：直线y=kx+1恒过（0，1）点的直线系，曲线x2+y22ax+a22a4=0表示圆圆心（a，0），半径为：），直线与曲线x2+y22ax+a22a4=0恒有交点，必须定点在圆上或圆内，即：所以，1a3故答案为：1a3【点评】本题考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，两点间的距离公式，直线系等知识是中档题7（5分）（2014镇江二模）已知奇函数f（x）是R上的单

11、调函数，若函数y=f（x2）+f（kx）只有一个零点，则实数k的值是【分析】由函数y=f（x2）+f（kx）只有一个零点f（x2）+f（kx）=0只有一解f（x2）=f（xk）只有一解x2=xk有唯一解=14k=0，问题得解【解答】解：函数y=f（x2）+f（kx）只有一个零点，只有一个x的值，使f（x2）+f（kx）=0，函数f（x）是奇函数，只有一个x的值，使f（x2）=f（xk），又函数f（x）是R上的单调函数，只有一个x的值，使x2=xk，即方程x2x+k=0有且只有一个解，=14k=0，解得：k=故答案为：【点评】本题考察了函数的零点，函数的单调性，函数的奇偶性，只要基础牢固，问题容

12、易解决8（5分）（2015陕西）设曲线y=ex在点（0，1）处的切线与曲线y=（x0）上点P的切线垂直，则P的坐标为【分析】利用y=ex在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标【解答】解：f（x）=ex，f（0）=e0=1y=ex在（0，1）处的切线与y=（x0）上点P的切线垂直点P处的切线斜率为1又y=，设点P（x0，y0）=1，x0=1，x0，x0=1y0=1点P（1，1）故答案为：（1，1）【点评】本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中9（5分）（2011天津）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，AD=2，

13、BC=1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0ba），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0ba）则=（2，b），=（1，ab），=（5，3a4b）=5故答案为5【点评】此题是个基础题考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决

14、问题的能力10（5分）（2013福建）椭圆：=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1，则该椭圆的离心率等于【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角=60又直线与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1，可得，进而设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角与斜率有关系=tan，=60又椭圆的一个交点满足MF1F2=2MF2F1，设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得该椭圆的离心率e=故答案为【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的

15、关系、勾股定理、含30角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法11（5分）（2014秋苏州期末）已知圆M：（x1）2+（y1）2=4，直线l：x+y6=0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C使得：BAC=60，则点A的横坐标x0的取值范围是【分析】从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则PAQ为60时，PMQ为120，所以MA的长度为4，故可确定点A的横坐标x0的取值范围【解答】解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为A

16、P，AQ，则PAQ为60时，PMQ为120，所以MA的长度为4，故问题转化为在直线上找到一点，使它到点M的距离为4设A（x0，6x0），则M（1，1），（x01）2+（5x0）2=16x0=1或5点A的横坐标x0的取值范围是1，5故答案为：1，5【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是明确从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角12（5分）（2014广州一模）设为锐角，若cos（）=，则sin（）=【分析】根据题意求得sin（+）=，再根据sin（）=sin（+），再利用两角差的正弦公式计算求得结果【解答】解：为锐角，cos（）

17、=为正数，+是锐角，sin（+）=，sin（）=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=，故答案为：【点评】本题着重考查了两角和与差的正弦公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题13（5分）（2014春青羊区校级期末）已知正实数x，y满足x+y+3=xy，若对任意满足条件的x，y，都有（x+y）2a（x+y）+10恒成立，则实数a的取值范围为【分析】依题意，由正实数x，y满足x+y+3=xy，可求得x+y6，由（x+y）2a（x+y）+10恒成立可求得ax+y+恒成立，利用双钩函数的性质即可求得实数a的取值范围【解答】解：正实数x，y满足x+y+3=xy，而xy，x+y+3

18、，（x+y）24（x+y）120，x+y6或x+y2（舍去），x+y6又正实数x，y有（x+y）2a（x+y）+10恒成立，ax+y+恒成立，a，令x+y=t（t6，）g（t）=t+，由双钩函数的性质得g（t）在6，+）上单调递增，=g（t）min=g（6）=6+=a故答案为：（，【点评】本题考查基本不等式，考查双钩函数的单调性质，求得x+y6是关键，考查综合分析与运算的能力，属于中档题14（5分）（2015张家港市校级模拟）已知函数f（x）=x2+bx+c（b，cR），对任意的xR，恒有f（x）f（x）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）f（b）M（c2b2）恒成立，则M的最小值为【

19、分析】f（x）=2x+b，由题设，x2+（b2）x+cb0恒成立，从而（b2）24（cb）0，进而c，由此利用导数性质能求出M的最小值为【解答】解：f（x）=2x+b，由题设，对任意的xR，2x+bx2+bx+c，即x2+（b2）x+cb0恒成立，所以（b2）24（cb）0，从而c，于是c1，且c=|b|=|b|，当c|b|时，有M=，令t=，则1t1，而函数g（t）=2（1t1）的值域是（）；因此，当c|b|时，M的取值集合为）；当c=|b|时，由（）知，b=2，c=2，此时f（c）f（b）=8或0，c2b2=0，从而f（c）f（b）（c2b2）恒成立；综上所述，M的最小值为 故答案为：【点

20、评】本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题重点考查学生的代数推理论证能力解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用二、解答题（共6小题，满分90分）15（14分）（2012天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1，xR（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间上是增函数，在区间，上是减

21、函数，从而可求得f（x）在区间上的最大值和最小值【解答】解：（1）f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcoscos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数f（x）的最小正周期T=（2）函数f（x）在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又f（）=1，f（）=，f（）=1，函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为1【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得f（x）=sin（2x+）是关键，属于中档题16（14分）（2014南京校级四模）如图，四棱锥PABCD中，O为菱形A

22、BCD对角线的交点，M为棱PD的中点，MA=MC（1）求证：PB平面AMC；（2）求证：平面PBD平面AMC【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明OMPB，从而可得线面平行；（2）先证明AC平面PBD，即可证明平面PBD平面AMC【解答】证明：（1）连结OM，因为O为菱形ABCD对角线的交点，所以O为BD的中点，又M为棱PD的中点，所以OMPB，（2分）又OM平面AMC，PB平面AMC，所以PB平面AMC； （6分）（2）在菱形ABCD中，ACBD，且O为AC的中点，又MA=MC，故ACOM，（8分）而OMBDO，OM，BD平面PBD，所以AC平面PBD，（11分）又AC平面AMC，所以平

23、面PBD平面AMC （14分）【点评】本小题主要考查空间线面关系等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力17（14分）（2015杨浦区一模）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，MON=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设AOB=，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【分析】（1）作OHAB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；（2）设AOB=（0）

24、，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值【解答】解：（1）如图，作OHAB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，AOB=，AB=2Rsin，OH=Rcos，OE=DE=AB=Rsin，EH=OHOE=R（cossin），S=ABEH=2R2（sincossin2）=，（2）设AOB=（0），则AB=2Rsin，OH=Rcos，oe=AB=Rcos，OE=AB=Rsin，EH=OHOE=R（cossin），S=ABEH=R2（2sincos2sin2）=R2（sin+cos1）=R2sin（+）1，0，+，+=即=时，Smax=（1）R2，此时A在弧MN的四等分点处答：当A在弧

25、MN的四等分点处时，Smax=（1）R2【点评】本题考查扇形的面积公式，考查三角函数的性质，比较基础18（16分）（2015盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x=4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率【分析】（1）由题意知，直线l的方程为y=2（xa），即2xy2a=0，利用点到直线的距离公式可得：右焦点F到直线l的距离为，化为ac=1，又椭圆C的右准线为x=4，即，及其a2=c2+b2，解出即可（2）方法

26、一：由（1）知，F（1，0），直线BF的方程为，与椭圆方程联立可得P，即可得出kPA；方法二：由（1）知，F（1，0），直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x2），联立直线得出交点代入椭圆方程即可得出方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x2），与椭圆方程可得根与系数的关系，利用B，F，P三点共线kBP=kBF，解出即可【解答】解：（1）由题意知，直线l的方程为y=2（xa），即2xy2a=0，右焦点F到直线l的距离为，ac=1，又椭圆C的右准线为x=4，即，将此代入上式解得a=2，c=1，b2=3，椭圆C的方程为

27、（2）方法一：由（1）知，F（1，0），直线BF的方程为，联立方程组，解得或（舍），即，直线l的斜率方法二：由（1）知，F（1，0），直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x2），联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，0得k0或，方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x2），联立方程组，得（4k2+3）x216k2x+16k212=0，当B，F，P三点共线时有，kBP=kBF，即，解得或，又由题意知，0得k0或，【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜

28、率计算公式、三点共线，考查了推理能力与计算能力，属于难题19（16分）（2009沙坪坝区校级模拟）已知f（x）=|x21|+x2+kx；（）若k=2，求方程f（x）=0的解；（）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1、x2，求k的取值范围【分析】（）这个方程为绝对值方程，可以利用绝对值的代数意义去绝对值符号，再分情况解一元二次方程即可，最后方程的解集为两种情况的并集（）先根据绝对值的代数意义，把函数f（x）化为分段函数，根据函数在（0，1）上的解析式为一次函数，可判断，当x（0，1时，f（x）为单调函数，所以与x轴的交点至多有一个，即f（x）=0在（0，1上至多一个解而当方程f（

29、x）=0的两个解若都在（1，2）上，则x1x2=，与两根都属于（1，2）矛盾，所以判断方程f（x）=0在（0，2）上的两个解x1、x2，一个在（0，1，一个在（1，2）再根据两种情况的解析式求出k值，解出范围，最后，两种情况求出的k的范围取交集【解答】（I）解：当k=2时，f（x）=|x21|+x2+2x=0当x210时，即x1或x1时，方程化为2x2+2x1=0，解得x=当x210时，即1x1，方程化为1+2x=0，解得x=，由得，方程f（x）=0的解为或x=（II）解：不妨设0x1x22，因为f（x）=，所以f（x）在（0，1是单调递函数，故f（x）=0在（0，1上至多一个解，若x1，x2

30、（1，2），则x1x2=（1，2）由f（x1）=0，得k=，所以k1；由f（x2）=0，得k=k1故当k1时，f（x）=0在（0，2）上有两个解【点评】本题主要考查了含绝对值的方程的解法，以及方程根的判断，做题时要善于借助函数的单调性与韦达定理20（16分）（2015四川）已知函数f（x）=2xlnx+x22ax+a2，其中a0（）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（）证明：存在a（0，1），使得f（x）0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+）内有唯一解【分析】（I）函数f（x）=2xlnx+x22ax+a2，其中a0可得：x0g（x）=f（x）=2（x1lnxa），可得g（

31、x）=，分别解出g（x）0，g（x）0，即可得出单调性（II）由f（x）=2（x1lnxa）=0，可得a=x1lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）22xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x01lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出【解答】（I）解：函数f（x）=2xlnx+x22ax+a2，其中a0可得：x0g（x）=f（x）=2（x1lnxa），g（x）=，当0x1时，g（x）0，函数g（x）单调递减；当1x时，g（x）0，函数g（x）单调递增（II）证明：由f（x）=2（x1lnxa）=0，解得a=x1lnx，令u

32、（x）=2xlnx+x22（x1lnx）x+（x1lnx）2=（1+lnx）22xlnx，则u（1）=10，u（e）=2（2e）0，存在x0（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x01lnx0=v（x0），其中v（x）=x1lnx（x1），由v（x）=10，可得：函数v（x）在区间（1，+）上单调递增0=v（1）a0=v（x0）v（e）=e21，即a0（0，1），当a=a0时，有f（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0再由（I）可知：f（x）在区间（1，+）上单调递增，当x（1，x0）时，f（x）0，f（x）f（x0）=0；当x（x0，+）时，f（x）0，f（x）f（x0）=0；又当x（0，1，f（x）=2xlnx0故当x（0，+）时，f（x）0恒成立综上所述：存在a（0，1），使得f（x）0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+）内有唯一解【点评】本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题