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1、电磁感应问题中焦耳热求解方法归类例析教学案例 近年来高考试题、各地模拟试题频频出现电磁感应中求解电热能即焦耳热的题型，其解题途径往往有两条：一是用公式Q=I2Rt求解；二是计算克服安培力做的功W克安，运用W克安Q来间接计算。学生在解题中常常因为不能很好的理解和应用而陷入迷茫，为了提高学生的甄别能力，避免解题时出错，本文将几种电磁感应问题中焦耳热的求解方法归类总结如下：一、用公式Q=I2Rt计算的三种情形1、用公式Q=I2Rt直接计算Q=I2Rt直接应用的前提是电流恒定或电流I以方波规律变化，对于动生电动势EBLV一般指在匀强磁场中导体棒切割磁感线的速度V不变；而对于感生电动势，则要求不变。例1
2、、如图所示，矩形金属线圈的质量为m，电阻为R，放在倾角为的光滑斜面上，其中ab边长度为L，且与斜面底边平行。MN、PQ是斜面上与ab平行的两水平虚线，间距为D。在t=0时刻加一变化的磁场，磁感应强度B大小随时间t的变化关系为B=B0-Kt，开始方向垂直斜面向上，Kt1B0Kt2。在t=0时刻将线圈由图中位置静止释放，在t=t1时刻ab边进入磁场，t=t2时刻ab边穿出磁场，穿出磁场前的瞬间线圈加速度为0。（重力加速度为g）求：（1）从t0到tt1运动过程中线圈产生的热量Q；（2）在tt1时刻，线圈中电流大小；（3）线圈的ab边在穿过磁场过程中克服安培力所做的功W。LNQMPabcd解析：（1）
3、求解的是均匀变化磁场引起的感生电流产生的焦耳热，在0到t1时间内：是恒定不变的，感应电流大小，所以在0到t1时间内产生的焦耳热QI2Rt1， （2）在0到t1时间内，矩形线圈做初速度为0加速度agsin的匀加速直线运动，t1时刻，速度v1gsint1，t1时刻，线圈中既有感生电动势，又有动生电动势，根据楞次定律和右手定则，两个电动势同向，所以E2（B0Kt1）Lv1LDK， E2（B0Kt1）L gsint1LDK，所以 （3）t2时刻，ab边穿出磁场瞬间的速度为v2，此时只有动生电动势 E3（Kt2B0）L v2， I3，由于t2时刻加速度为0，根据牛顿第二定律：mgsin （Kt2B0）I
4、3L0，考虑ab边进入MN到ab边离开PQ的过程中，利用动能定理： mgDsinW克安mv22mv12 解得：W克安mgDsinmg2sin2t122、用电流I的有效值计算 当导体棒垂直切割磁感线运动时，产生的动生电动势EBLV，公式中只要B、L、V任意一个物理量按正弦（余弦）规律变化，回路中都会产生正弦（余弦）交流电，此时就可以用电流的有效值来计算焦耳热。例2、如图所示，矩形裸导线框长边的长度为2，短边的长度为，在两个短边上均接有电阻R，其余部分电阻不计，导线框一长边与轴重合，左边的坐标x=0，线框内有一垂直于线框平面的磁场，磁场的磁感应强度满足关系。一光滑导体棒AB与短边平行且与长边接触良
5、好，电阻也是R，开始时导体棒处于x=0处，从t=0时刻起，导体棒AB在沿x方向的力F作用下做速度为v的匀速运动，求：（1）导体棒AB从x=0到x=2的过程中力F随时间t变化的规律；（2）导体棒AB从x=0到x=2的过程中回路产生的热量。解析：（1）根据题意，在t时刻AB棒的坐标为 xvt； 动生电动势EBvB0v；而回路总电阻 R总RRR；所以回路总电流因为棒匀速运动，则有FF安BIL解得 F （0 t）（2）导体棒AB在切割磁感线过程中产生半个周期的正弦交流电，电流的有效值为 根据 Q=解得： 3、用微元法（或基本积分）来计算 现在的高三学生，高中数学已经教授了导数和微积分的基本知识，例如常
6、数的导数为0，幂函数的导数为，sinx的导数为cosx ，cosx的导数sinx，对于电磁感应问题中，电流I随时间有规律变化的题型，可以尝试用微元法或积分进行计算。例3、如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行固定在倾角=370的绝缘斜面上，两导轨间距L=1m，导轨的电阻可忽略。M、P两点间接有阻值为R的电阻。一根质量m=1kg，电阻r=0.2的均匀直金属杆ab放在两导轨上，与导轨垂直且接触良好。整套装置处于磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，自图示位置起，杆ab受到大小为F=0.5V+2（式中V为杆ab运动的速度，力F的单位为N）、方向平行导轨沿斜面向下的拉
7、力作用，由静止开始运动，测得通过电阻R的电流随时间均匀增大。g取10m/s2，sin370=0.6。(1)试判断金属杆ab在匀强磁场中做何种运动，并写出推理过程；(2)求电阻的阻值R；MRPabFxNQB(3)求金属杆ab自静止开始下滑通过位移x=1m所需的时间t和该过程中整个回路产生的焦耳热Q；解析：（1）根据题意，IKt(K为定值)，而，所以： V=at，所以a为恒量，金属棒ab在匀强磁场中做初速度为0的匀加速直线运动。 （2）根据闭合电路欧姆定律： ，由牛顿第二定律： FmgsinF安ma F安BIL F0.5v2联立以上式子，可解得 +8由第（1）题知：加速度a为恒量，与V无关，所以=
8、0，可解得R=0.3，并且 a=8m/s2。（3）由于F=0.5V+2，F是变力，F与位移x的关系比较复杂，在中学阶段，求解金属杆ab自静止开始下滑通过位移x=1m做的功对于一般学生是比较困难的，而，所以可以用微元法或积分来计算焦耳热。由x=，得t=0.5s，t=0.5s内产生的焦耳热微元法：Q=I2（R+r）323232简单积分：Q=32三、用W克安=Q间接计算的三种情形1、用动能定律求解W克安 动能定理告诉我们，外力对物体所做的功，等于物体动能的变化，W合例4、如图所示,一根质量为m的金属棒MN水平放置在两根竖直的光滑平行金属导轨上,并始终与导轨保持良好接触,导轨间距为L,导轨下端接一阻值
9、为R的电阻,其余电阻不计.在空间内有垂直于导轨平面的磁场,磁感应强度大小只随竖直方向y变化,变化规律B=ky,k为大于零的常数.质量为M=4m的物体静止在倾角=30的光滑斜面上,并通过轻质光滑定滑轮和绝缘细绳与金属棒相连接.当金属棒沿y轴方向从y=0位置由静止开始向上运动h时,加速度恰好为0.不计空气阻力,斜面和磁场区域足够大,重力加速度为g.求:（1）金属棒上升h时的速度(2)金属棒上升h的过程中,电阻R上产生的热量；解析：（1）当金属棒上升h时，加速度为0，由整体法得： Mgsin300=mg+F安金属棒受到的安培力 F安=BIL=KhIL而 感应电流I=， 所以联立解得：V=；（2）电阻
10、R上产生的热量为Q，对整体运用动能定理： MghsinmghW克安=所以 W克安=mgh所以 Q= W克安=mgh可见，如果所研究的物体（物体系）同时受几个力的作用，这几个力中只有F安是变力，其余为恒力，并且初末速度已知，用动能定理来解决问题事半功倍。2、用功能原理来求解W克安 机械能守恒定律告诉我们，在只有重力和弹力做功时，系统的机械能守恒，言下之意，如果除重力和弹力以外的其他力对物体也做功，系统的机械能就会发生变化，而且这些力做了多少功，系统的机械能就转化了多少，这就是功能原理。例5、相距L1.5m的足够长金属导轨竖直放置，质量为m11kg的金属棒ab和质量为m20.27kg的金属棒cd均
11、通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图（a）所示，虚线上方磁场方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同。ab棒光滑，cd棒与导轨间动摩擦因数为0.75，两棒总电阻为1.8，导轨电阻不计。ab棒在方向竖直向上，大小按图（b）所示规律变化的外力F作用下，从静止开始，沿导轨匀加速运动，同时cd棒也由静止释放。（1）求出磁感应强度B的大小和ab棒加速度大小；（2）已知在2s内外力F做功26.8J，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热；解析：（1）由（b）图可得：外力F=11+1.8t,对ab棒分析： 而 V=at，代入数据可解得：，利用（b）图，当t=0时，a=1m/s
12、2，所以：=0，所以B=1.2T，（2）2s内，ab棒上升的距离 ；ab棒增加的重力势能： ab棒增加的动能： ab棒增加的机械能： =由功能关系得：WFW克安=也就是外力F做的功加上安培力做的功等于ab棒增加的机械能。所以，W克安=WF=26.8224.8J从以上例题可以看出，功能原理也可以推广到电磁感应问题中，除重力（弹力）以外的外力（包括安培力）做的功等于物体机械能的变化量。3、用能量守恒定律来求焦耳热Q 能量的转化与守恒定律是自然界的基本规律，也是物理学的重要规律，在电磁感应中用能量守恒来求解焦耳热历来是高考的热点、重点与难点。例6、如图所示，两条光滑的绝缘导轨，导轨的水平部分与圆弧部
13、分平滑连接，两导轨间距为L，导轨的水平部分有n段相同的匀强磁场区域（图中的虚线范围），磁场方向竖直向上，磁场的磁感应强度为B，磁场的宽度为s，相邻磁场区域的间距也为s，s大于L，磁场左右两边界均与导轨垂直。现有一质量为m，电阻为r，边长为L的正方形金属框，由圆弧导轨上某高度处静止释放，金属框滑上水平导轨，在水平导轨上滑行一段时间进入磁场区域，最终线框恰好完全通过n段磁场区域。地球表面处的重力加速度为g，感应电流的磁场可以忽略不计，求：（1）刚开始下滑时，金属框重心离水平导轨所在平面的高度；（2）整个过程中金属框内产生的电热解析：设金属框刚好完全进入水平轨道时的速度为V0，考虑金属框进入第一个匀
14、强磁场区域时受到安培力，由动量定理：，即；进行求和，得到： 所以： ，也就是金属框完全进入第一个磁场区域，速度变化量大小为：，根据对称性：金属框从第一个磁场区域完全出来，速度变化量大小也为： ，因此，金属框穿过第一个磁场区域，速度变化量大小为： 2根据题意，最终金属框完全通过n段磁场区域，所以： V00n设刚开始下滑时，金属框重心离水平导轨所在平面的高度为h，则有机械能守恒得：，所以： (2)考虑整个过程，由能量守恒，金属框减少的机械能转化为焦耳热Q，所以： 电磁感应问题中焦耳热的求解是教学难点，在上述实例中，从不同角度、用不同的方法阐述了如何求解焦耳热，在实际教学中，通过归类讨论，有利于提高学生灵活运用所用知识解决实际问题的能力，有利于培养学生的创造性思维，开阔学生解题的思路。8
电磁感应问题中焦耳热求解方法归类例析
