133函数的最大（小）值与导数(2)

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1、 1 3 3. .函函数数的的最最大大 小小 值值与与导导数数(2)(2)a1x2x3xo4x5xbxy xfy 143.1图图 xfy abxyo153.1图图 ,.a byfx 一一般般地地 如如果果在在区区间间上上函函数数的的图图象象是是一一条条连连 续续不不断断的的曲曲线线 那那么么它它必必有有最最大大值值和和最最小小值值求函数求函数f(x)在（在（a , b）内的极值；）内的极值； 求函数求函数y=f(x)在在a , b上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤: 求函数求函数f(x)在区间端点在区间端点f(a), f(b)的值；的值； 将函数将函数f(x)在各极值与在各极值与

2、f(a), f(b)比较，其中最大的一比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值个是最大值，最小的一个是最小值 例例 1.求证：求证：10ln()()xxx 证明证明 设设 f(x)=x-ln(1+x)，在，在(0,+)上是可导的，上是可导的， 且且1( )1011xfxxx ， 函数函数 f(x)在在(0,+)上单调递增，上单调递增， 它在它在0,上也是单调递增上也是单调递增， 又又 x0， f(x)f(0)，即即 x-ln(x+1)0-ln(1+0) xln(1+x). 例例 2.已知已知0a当当x为何值时，函数为何值时，函数)(xf=xeaxx）2(2 取得最小值？取得最小值？并并

3、证明你的结论证明你的结论. 解：解： 22( )(2)(2) ()xxfxxaxexaxe22(1)2 xxa xa e令令 ( )0,fx 则则 22(1)20 xa xa得得 221211,11.xaaxaa 列表如下：列表如下： 0 0 极大值极大值 x2 x1 极小值极小值 1(,)x2(,)x y x y ( )f x( )fx12(,)xx0 ,a 122xxa 0, 120,0.xx而而x0时，时， 2( )(2)0,xf xxaxe(0)0,f 当当 时时f(x)取得最小值取得最小值. 2211xaa x y O 1x2x结合函数图象可知：结合函数图象可知： ( )f x无最大

4、值无最大值 例例 3.已知函数已知函数)(ln)(Raaxxxf （1）求函数）求函数)(xf的单调区间的单调区间 （2）当）当0a时，求函数时，求函数)(xf在在2 , 1 上的最小值上的最小值 解：解： （1） 1( ),fxax( )ln,f xxax(0,),x(0,).x当当a0时，时， ( )0fx 即函数的单调增区间为即函数的单调增区间为 (0,).当当a 0时，时， 令令 ( )0,fx 得得 1.xa 当当 时，时， ( )0fx ; 当当 时，时， 10 xa1xa ( )0fx 函数函数f(x)的单调增区间为的单调增区间为 1(0,;a单调减区间为单调减区间为 1(,).

5、a（2） 当当11a，即，即1a时，时， 函数函数f(x)在区间在区间1,2上是减函数，上是减函数， min( )(2)f xf 当当21a，即，即210 a时，时， 函数函数f(x)在区间在区间1,2上是增函数，上是增函数， min( )(1)f xf ln22 . a. a 当当211a，即，即121 a时，时， 函数函数f(x)在区间在区间 上是增函数上是增函数,在在 上是减函数，上是减函数， 11,a1,2a(2)(1)ln2ffa又又 1ln22amin( )(1)f xf . a ln21a 当当 时，时， 当当 时，时， min( )(2)f xf ln22 . a综上可知：综上

6、可知： 当当0ln2a时，函数时，函数 f(x)的最小值是的最小值是a ; 当当ln2a 时，函数时，函数 f(x)的最小值是的最小值是ln22a . 例例 4.已知函数已知函数2816( )f xxxk32254( )g xxxx 其中其中 k 为常数为常数 （1）对任意对任意3 3, x 都有都有( )( )f xg x ，求，求 k 的取值范围；的取值范围； （2）对任意对任意123 33 3, , xx 都有都有12()()f xg x ， 求求 k 的取值范围的取值范围 解解（1）设）设 h(x)=g(x)-f(x)，即，即 h(x)=2x3-3x2-12x+k 对于对于“任意任意

7、x-3,3的都有的都有 f(x)g(x)” 任意任意 x-3,3，h(x)min0, ( )h x=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2) x -3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 h(x) + 0 - 0 + ( )h x k-45 k+7 k-20 k-9 h(x)min=k-450,k45. 所以所以 k 的取值范围是的取值范围是45,. （2）对对“任意的任意的 x1-3,3,x2-3,3都有都有 f(x1)g(x2)” 任意任意 x-3,3，f(x)maxg(x)min. 可求得可求得任意任意 x-3,3, g(x)min=g(-3)=-21, f(x)max=f(3)=120-k. 所以所以 120-k-21,k141. 所以所以 k 的取值范围是的取值范围是141,.