③应用举例课后限时作业

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1、课后限时作业（二十三）（60分钟，150分）(详解为教师用书独有)A组一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1.已知等腰ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是 ( )A. B. C. D.解析：依题意，结合图形可得故选D.答案：D2.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a,则cos B=( )A. B. C. D.解析：ABC中，a、b、c成等比数列，且c=2a,则选B.答案：B3. 用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为 ()A8 cm2 B6 cm

2、2 C3 cm2 D20 cm2解析：用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，面积为6 cm2，选B.答案：B4.据新华社2006年5月18日报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是 ( )A.米 B.米 C.米 D.米解析：如图所示：A=75,C=45,所以B=60.又AC=20米，由正弦定理可知,所以 (米).选A.答案：A5.在ABC中，tan

3、Asin2B=tan Bsin2A，那么ABC一定是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形解析：因为tan Asin2B=tan Bsin2A，所以,即所以所以2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B=.选D.答案：D6.某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为 ( )A.500米 B.600米 C.700米 D.800米解析：如图所示，AC=300，BC=500，BCA=90+30=120.在ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosB

4、CA.即(米）.选C.答案：C二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7.已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m=(,-1),n=(cos A,sin A).若mn，且acos B+bcos A=csin C,则角B= .解析：由题知cos A-sin A=0,即tan A=,所以A=.又acos B+bcos A=csin C,由正弦定理可知sin Acos B+cos Asin B=sin2C,即sin(A+B)=sin2C=sin C,所以sin C=1,C=,所以答案：8.已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的

5、长为 .解析：由ABC的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B，而A+B+C=可得B=.由AD为边BC上的中线可知，BD=2，由余弦定理可得AD=.答案：9.在ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos 2C= .解析：由三角形面积公式，得|BC|CA|sin C=20sin C=12,即sin C=.于是cos 2C=1-2sin2C=.答案：10.国际数学家大会会标是以我国古代数学家越爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos 2的值等于

6、 .解析：由题知直角三角形的斜边长为5，设较短的直角边长为x,则另一边长为1+x,由勾股定理得52=x2+(1+x)2,解得x=3.所以sin =,cos 2=1-2sin2=.答案：三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11.一缉私艇发现在北偏东45方向，距离12 n mile的海面上有一走私船正以10 n mile/h的速度沿东偏南15方向逃窜.缉私艇的速度为14 n mile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45+的方向去追，求追击所需的时间和角的正弦值.解：设A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x小时后在B处追上，则有AB=14x,BC=10x,

7、ACB=120.所以（14x）2=122+(10x)2-240xcos 120.所以x=2,AB=28，BC=20，所以.所以所需时间为2小时，.12. 某观测站在A南偏西20方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路上距C 31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?解：如图所示，设ACD，CDB，在CBD中，由余弦定理得cos ，所以sin .而sin sin(60)sin cos 60cos sin 60.在ACD中，所以AD15(千米)所以这人再走15千米就可到达城A.B组一、选择题

8、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)1.设a，b，c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，则a2=b(b+c)是A=2B的( )A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而充分条件 D.既不充分又不必要条件解析：设a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a2=b(b+c),则sin2A=sin B(sin B+sin C),则,所以sin(A+B)sin(A-B)=sin Bsin C.又sin(A+B)=sin C,所以sin(A-B)=sin B,所以A-B=B，A=2B.若ABC中，A=2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a2=b(b+c),所以a2=b(b+

9、c)是A=2B的充要条件，选A.答案：A2. 某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为 ()A. B2 C2或 D3解析：如图，由题意得ABC30. 因为AC，BC3，ABx，AC2AB2BC22ABBCcos 30，所以()232x23x.解得x2或x.答案：C二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3.一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km.解析：如图所示，易知AC=60 km，BAC=30，B=45.在

10、ABC中，由正弦定理得所以 (km).答案：4.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则= .解析：易知A、C为椭圆的左、右焦点，如图所示.由正弦定理可知又由椭圆的性质知AB+BC=10，AC=8，所以答案：三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）5.如图，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的重心G，设MGA=.(1)试将AGM、AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数；（2）求的最大值与最小值.解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的重心，所以MAG=.由正弦定理得则同理可

11、求得(2) 因为所以当或时，y取得最大值.当时，y取得最小值=216.6. (2009海南、宁夏)为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量A，B，M，N在同一个铅垂直平面(如示意图)飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤解：法一：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1，B点到M，N的俯角2，2；A，B间的距离d(如图所示)第一步：计算AM.由正弦定理得AM；第二步：计算AN.由正弦定理得AN；第三步：计算MN.由余弦定理得MN.法二：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N点的俯角2，2；A，B间的距离d(如图所示)第一步：计算BM.由正弦定理得BM；第二步：计算BN.由正弦定得得BN；第三步：计算MN.由余弦定理得MN.