第七章 矩阵函数

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1、 第七章 矩阵函数在定义了矩阵范数之后，便可以度量线性空间中矩阵的大小和矩阵间的接近程度，进而引入极限的概念，并基于此建立矩阵分析理论。本章将介绍矩阵序列和矩阵级数的定义和收敛性判断，并给出矩阵函数的定义和计算方法。7.1 矩阵序列与极限本章中数域均指(或)，所讨论矩阵均为方阵，非方阵的情况按照相应的范数也可类似定义。我们把阶矩阵序列，简记为，其中，显然，一个阶矩阵序列中各矩阵的所有对应位置构成个数列，其中。定义1 设矩阵序列 ()，其中，若个数列都收敛，即存在数，使得则称矩阵序列是收敛的，并把矩阵称为的极限，或称矩阵序列收敛于，简记为 或若这个数列中至少有一个不收敛，则称矩阵序列是发散的。例

2、1 讨论阶矩阵序列和的敛散性，其中，。解 因为，故有，即矩阵序列是收敛的。又因为数列的极限不存在，故矩阵序列是发散的。若把向量看做是特殊的矩阵序列，则向量序列收敛的定义类似可得。由定义1可知，一个矩阵序列的收敛等价于个数列的收敛，但用初等分析的方法来研究未免有些繁琐，因此可以借助矩阵范数将矩阵序列的敛散性与一个数列的敛散问题等价。定理1 阶矩阵序列收敛于矩阵的充要条件是，其中范数为任一种矩阵范数。证明 由矩阵范数的等价性可知，必存在实数，使得对于任意的矩阵都有故有即可通过矩阵的范数来进行定理证明。必要性。 设，由定义1可知，对于每一个都有，即于是即故有对于矩阵的任意范数都有充分性。 因为，则有

3、。因此，对于每一个都有此即于是根据矩阵范数的等价性可知，定理1对于任何一种矩阵范数都成立。定理2若矩阵序列收敛，则其极限是唯一的。证明 假设矩阵序列收敛极限不唯一。不妨设阶矩阵序列收敛于矩阵，同时收敛于矩阵，且。则至少存在一组，使得，其中。即对于数列来说有且这与收敛数列极限的唯一性相悖，故假设不成立，得证矩阵序列收敛极限唯一。由于矩阵序列收敛的充分必要条件是各元素组成的数列收敛，而数列的极限是唯一的，因此矩阵序列的极限也是唯一的。定理3若矩阵序列收敛，则此矩阵序列有界。即存在正数，使得对一切都有。证明 设序列收敛于，即，亦即对，存在，使得时，有从而其中，。取，即有利用数列收敛的概念和定理1，容

4、易得到矩阵序列如下的性质。(1) 设，其中，则(2)设，其中，则(3) 设，且，则(4) 设，且均可逆，则矩阵序列也收敛，且证明 (1) 因为故 (2) 由于又由已知条件可知，再由有界，故知即(3) 由(2)，令，则，故有。再将看成，看成，则有。(4) 因为此时，()，设为的伴随矩阵，则有故注：性质(4)中的的可逆性是不可少的，因为的可逆不能保证一定可逆。例2 讨论矩阵序列的收敛性及其极限的可逆性。解答 显然每个都是可逆的，且。而的极限为它是不可逆的。定理4 设且，则矩阵序列收敛。证明 先证对角线上元素序列收敛。由已知条件有，对任意的，有取，即第个位置为1，其余位置均为，代入上式得(设)，故的

5、极限存在。 再证一般的元素序列收敛()。将上面的换成，得故收敛。再由和都收敛知收敛，因此存在。现在考虑由矩阵的幂所构成的矩阵序列的收敛性。定理5 设矩阵，则的充要条件是。证明 设的标准形为且存在可逆变换，使得。其中特征值所对应的块具有如下形式且表示矩阵的互异特征值的个数，表示特征值所对应的代数重复度，且有，表示特征值所对应的子块的个数，表示特征值所对应的第个子块的维数。于是显然，的充要条件是。又因为我们把子块分解成两项 （7-1）其中，这个矩阵有一个很好的性质，即的幂次每增加1次，主对角线上方这排1就向右上方平移一次，特别有于是由二项式定理有 （7-2）其中 于是的充要条件是，而的充要条件是。

6、因此的充要条件是。推论 设矩阵，若存在矩阵范数，使得，则。例3 判别矩阵序列的敛散性。(1) ， (2) ，(3) 解 (1) 因为矩阵的特征值为，故有，因此由定理5有序列收敛，且。(2) 有时也不必求出矩阵的所有特征值才能确定与1的大小关系。由于，由定理5的推论知序列收敛，且。(3) 简单求解得矩阵的特征值分别为，因此有。所以序列发散。由定理5的证明过程，不难得出当时，矩阵序列发散。因为，则至少存在一个，则由的具体形式可知其对角线元素构成的数列发散，故矩阵序列发散，从而发散。例4 设矩阵，试判断序列的敛散性。解 简单求解得矩阵的特征值分别为，则有矩阵的谱半径，此时利用定理5及其推论无法判断序

7、列的敛散性，但可按照定理5的证明思路来分析。首先求得矩阵的标准形为即存在可逆阵，使得，从而有因此有所以发散。例5 设矩阵，则讨论取何值时序列收敛于。解 求得矩阵的特征值分别为，故有的谱半径。由本节定理5有，当时，矩阵序列收敛于。7.2 矩阵幂级数本节我们将给出矩阵级数的定义，并利用矩阵序列极限的概念讨论级数收敛及其相应的性质。这些内容会给矩阵函数的研究，微分方程的求解等问题带来方便。7.2.1 矩阵级数的概念和性质定义1 设(或)是一个矩阵序列，则称其无穷和为矩阵级数，常简记为。对于任意正整数，定义矩阵级数的前项部分和为若由构成的矩阵序列收敛，且有，则称矩阵级数收敛，且有。若矩阵序列发散，称矩

8、阵级数发散。定义2 设为(或)中的矩阵级数，若对某矩阵范数，正项数项级数收敛，则称矩阵级数绝对收敛。根据矩阵范数的等价性可知，这里的矩阵范数是任意的。定理1 矩阵级数，()收敛的充分必要条件是对任意的，数项级数收敛，其中。证明 必要性。 设收敛，即其部分和序列收敛。根据矩阵序列收敛的充要条件可知，各分量序列收敛，即级数收敛。充分性。 设对任意的，级数收敛，即数列收敛，其中。由矩阵序列收敛的充要条件可知部分和序列收敛，即收敛。注：定理给出了矩阵级数收敛的另一种定义。即设是(或)空间中的矩阵级数，则若个数项级数都收敛，则称矩阵级数收敛。定理2 矩阵级数绝对收敛的充分必要条件是对任意的，正项数项级数

9、收敛，其中。证明 必要性。 设绝对收敛，即收敛，由矩阵范数的等价性知收敛，而由正项级数的比较判别法得收敛。充分性。 设对任意的，收敛，则对任意的，存在，使得当时，有故因此收敛，所以绝对收敛。推论 若矩阵级数绝对收敛，则收敛。例1 设，判断矩阵级数的敛散性。解 因为数项级数，故有矩阵级数为收敛的，且有。例2 设，判断矩阵级数的敛散性。解 因为每个位置所确定的矩阵级数都绝对收敛，且有， ，则有矩阵级数绝对收敛，且。矩阵级数也有和矩阵序列极限类似的运算性质，性质如下。(1) 收敛矩阵级数的和唯一。(2) 若，其中()，则。(3) 若非奇异，收敛(或绝对收敛)，则也收敛(或绝对收敛)，且 。这几个性质

10、的证明，请读者参考矩阵序列极限性质的证明，自行完成。定理3 设矩阵级数绝对收敛于，矩阵级数绝对收敛于，其中()，则这两个矩阵级数的积也绝对收敛，且其和为。证明 由绝对收敛的定义知级数和收敛，故级数收敛，又由于由比较判别法知绝对收敛。记，则于是由和知。7.2.2 矩阵幂级数下面对矩阵幂级数作深入讨论，它是研究矩阵函数的重要工具。定义3 设，称形如的矩阵级数为方阵的幂级数。根据矩阵范数绝对收敛的定义，我们有定理4 设变量的幂级数的收敛半径为，为阶方阵，则若的谱半径，则矩阵幂级数绝对收敛；若的谱半径，则幂级数发散。证明 设是方阵的标准形，则存在可逆矩阵，使得其中，其中，表示矩阵的标准型中子块的个数，

11、表示的标准型中第个子块的维数。于是且由（7-1）至（7-2）的推导有所以且其中，则当时，幂级数都绝对收敛，故矩阵幂级数绝对收敛。当时，幂级数发散，故发散。推论1 若矩阵的某一范数在数项幂级数的收敛域内，则矩阵幂级数绝对收敛。例3 证明对任意(或)，矩阵幂级数都绝对收敛，从而收敛。证明 由于的数项级数的收敛域为整个空间，即其收敛半径为，因此对任意的方阵必有成立，由定理4可知矩阵幂级数必然绝对收敛，从而收敛。若一个矩阵级数收敛，且收敛到矩阵，则称为矩阵级数的和。以后记例3中矩阵级数的和为，即同理可证对任意的方阵，矩阵幂级数和都绝对收敛，从而收敛。分别记两矩阵级数的和为和。 通常称为矩阵指数函数，和

12、为矩阵三角函数。定理5 设，则矩阵幂级数绝对收敛的充要条件是，且其和为。证明 必要性。 由于所给矩阵幂级数绝对收敛，则收敛，故。由本章7.1节定理5可知，。充分性。 因为幂级数的收敛半径，则由本节定理4知，当时，矩阵幂级数收敛。 因为，所以非奇异，并且。令，()则从而即，()因此，原级数的和为。例4 求矩阵幂级数的和。解答 设由于，故。由定理5知，所求幂级数收敛，且其和为。因此，。7.3 矩阵多项式矩阵多项式与矩阵函数均为矩阵理论中非常重要的概念，本节将给出矩阵多项式的相关概念和性质。矩阵的最小多项式在矩阵相似、若当标准型、矩阵函数和矩阵方程中都有很重要的应用，本节将给出矩阵多项式和最小多项式

13、的概念和一些性质，并给出Cayley-Hamilton定理。以下讨论的矩阵都是复数域上的n阶方阵。7.3.1 矩阵的化零多项式定义1 设是关于变量的次多项式，其中系数，则对任意方阵，称是关于方阵的矩阵多项式；且多项式的次数也称为矩阵多项式的次数，记为。显然的值也为复数域上的n阶方阵。下面给出矩阵多项式的几个性质。性质1 设分别为上关于变量的多项式，则对任意的方阵有：（1），其中，；（2），其中，。性质2 设为上关于变量的多项式，则对任意给定的可逆阵，有：。性质3 设为上关于变量的多项式，若方阵为分块对角阵，即有其中，分为较更低阶方阵，则有性质4 设为上关于变量的多项式，若为方阵关于特征值的特征

14、向量，即，则也为的关于的特征向量。即。定义2 设，如果多项式满足，则称是矩阵的化零多项式。容易看出，如果，则对任意的多项式，令，都满足，可见化零多项式不唯一。定理1 任何方阵都存在化零多项式。证明 设，由于的维数为，所以这个向量必线性相关，即存在一组不全为零的数：，使得：作多项式，且不恒为零，则有，即中任意的，都存在化零多项式。定理2 （Cayley-Hamilton定理） 设矩阵，且为的特征多项式，即有则。证明略显然，若，是的次数大于或等次的多项式，则由多项式的带余除法可知可以表示为方阵的特征多项式和某多项式的乘积，再加上一个次数小于的余式的形式：由Cayley-Hamilton定理有即利用

15、矩阵的化零多项式可以将阶方阵的多项式的次数降为不超过阶的多项式，简化了矩阵多项式的计算。例1 设矩阵，试计算如下矩阵多项式的值，其中。解 矩阵的特征多项式，则由Cayley-Hamilton定理，即：。因多项式所以，。例2 已知，试利用Cayley-Hamilton定理求。解 矩阵的特征多项式为，由Cayley-Hamilton定理有多项式，所以，即。7.3.2 矩阵的最小多项式定义3 设方阵，则在的所有化零多项式中，次数最低的首一多项式称为的最小多项式，记为。定理3 设方阵，则的任一化零多项式都能被其最小多项式整除。证明 由多项式的带余除法有其中，或。故有所以，即也是的化零多项式。又因为是的

16、最小多项式，可知是的所有化零多项式中次数最低的，故有，即。定理4 方阵的最小多项式是唯一的。证明 设都是的最小多项式，可知都是的零多项式，则由定理3可知且所以有。又由于都是首一多项式，所以，即。定理5设矩阵为分块矩阵，且有则的最小多项式等于（）的最小多项式的最小公倍式。证明 设的最小多项式为（），的最小多项式为，的最小公倍式是，由整除知。因此即整除。又因为 则对于每一个有，即整除。而是的最小公倍式，故整除，综上有。定理6 阶块的最小多项式是。证明 显然的特征多项式为，由Cayley-Hamilton定理知为的化零多项式，且首系数为1。则由定理3可知最小多项式是必是的一个因子，注意到，而所以的最

17、小多项式为。定理7 设，则的最小多项式是的最后一个不变因子。证明 因为与矩阵相似，所以，存在存在可逆矩阵，使得： 其中， 。由定理5知，的最小多项式为的最小多项式的公倍式，且由定理6知的最小多项式为，。即：显然，的最小多项式就是的最小多项式，即。由于一个初等因子决定一个块，而初等因子是不变因子分解在互不相同的一次因式的方幂。矩阵的个各阶不变因子满足，因此有，又由最小公倍式定义得，且与都是首一的。所以可推得。推论1 设矩阵有个不同特征值分别为，相应的几何重复度分别为，所对应的各初等因子的幂次分别为，若记，则的最小多项式为：。推论2 相似矩阵具有相同的最小多项式。证明 设，且与相似，分别是与的最小

18、多项式。由与相似，即存在可逆矩阵使得，则有与具有相同的Jordan标准型。综合定理7可知与具有相同的最小多项式。 需要指出的是，虽然相似矩阵有相同的最小多项式，但最小多项式相同的矩阵不一定相似。 例如 与的最小多项式都等于，但是它们的特征多项式不同，因此与不是相似的。推论3 矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是的最小多项式没有重根。例3 设矩阵，其中，求的最小多项式。解 显然，矩阵的Jordan标准型，因此有有两个初等因子，分别为和，由本节定理7的推论1有的最小多项式为。例4 设矩阵，求矩阵的最小多项式。解 首先求出矩阵的Smith标准形：所以，由定理7知的最小多项式为；例5 设矩阵，试求的最小

19、多项式。解 显然矩阵的最小多项式是其零多项式的因式，故可利用矩阵的特征多项式来求解。经过简单运算可得矩阵的特征多项式为因此，的最小多项式有如下六种可能，将带入上述六式得，所以的最小多项式为。例6 设阶方阵的一个化零多项式为，即有试证明方阵可对角化。证明 显然多项式有如下因式分解形式则可知的最小多项式为的因式，因为没有重根，故也没有重根，由本节定理7的推论3可知矩阵可对角化。7-4 矩阵函数 矩阵函数的概念与通常的函数概念相类似，是以阶方阵为自变量和因变量的一种函数，是的一种映射。本节将利用矩阵幂级数给出矩阵函数的定义，并给出矩阵函数的Jordan表示和多项式表示。7.4.1 矩阵函数的幂级数定

20、义定义1 设复数域上数项幂级数的收敛半径为，且在收敛域内该幂级数收敛于函数，即有如果矩阵，且满足的谱半径，则显然矩阵幂级数收敛，且称此幂级数的和为矩阵函数，记为，即 根据定义，可以得到在形式上和微积分中的一些函数类似的矩阵函数，例如，一些常见的函数的幂级数展开式为 相应的就有矩阵函数 通常，我们分别称为矩阵指数函数，矩阵正弦函数和矩阵余弦函数。定理1 设，为矩阵函数，则有（1）和可交换，即（2） 函数和（或差）的矩阵函数等于矩阵函数的和（或差），即（3） 函数积的矩阵函数等于矩阵函数的积，即（4） 若，则。 证明略定理2 矩阵指数函数具有如下基本性质：(1) 若，则;(2) ；(3) 证明 （

21、1）因为矩阵加法满足交换律，所以只需证明即可。根据矩阵指数函数的表达式可得，(2) 在（1）中令,则得,所以，(3) 设的特征值为，则的特征值为，因此定理3 矩阵三角函数具有如下基本性质：(1) (2) ，(3) (4) 若，则证明 (1) 因为，将分为偶数和奇数，则有 (2) 同(1)证可得， 两式相加得两式相减得，(3) 因为，所以，又因为，所以，(4) 若，得 同理可证 7.4.2矩阵函数的计算在介绍矩阵函数的计算方法之前，我们先来学习一个概念。定义2 设方阵的最小多项式为其中，为A的r个互不相同的特征值。如果对于任意的特征值，函数及其导在处都存在，即这m个值都存在，则称函数在矩阵的谱上

22、有定义，并称这些值为在方阵上的谱值。例1 设，验证在下列矩阵的谱上是否有定义（1） , （2）,解答 （1）先求出矩阵的最小多项式，,在的谱上有定义,（2）求出矩阵的最小多项式，但不存在，所以，在矩阵的谱上无定义。下面将在矩阵的谱上有定义的概念用于矩阵函数的计算中。方法1：Jordan标准形法定理4 设，为矩阵的Jordan标准形，为其相似变换矩阵，且满足，如果在的谱上有定义，则其中，称此表达式为矩阵函数的Jordan表示。证明 设是方阵的标准形，则存在可逆矩阵，使得其中于是且其中，若幂级数形式为，则有 （7-3）其中 （7-4）设幂级数的收敛半径为，则当时，级数收敛到函数，因此当方阵谱半径时

23、有矩阵幂级数收敛到，同理矩阵幂级数收敛到矩阵函数，其中。因此由式（7-3）有 （7-5）另外，在式（7-4）中若的特征值，则幂级数是绝对收敛的，且其和为。同理，时，级数，都绝对收敛，且有其和分别为，其中，。故有 例2 设，求的Jordan表示，并计算矩阵函数。解答 首先求出的Smith标准型为故有的Jordan标准形矩阵为设矩阵，使得，即，建立方程组显然前两个方程同解，求解方程得基础解系为取，其中的选取要保证第三个方程有解，即方程系数矩阵的值和增广矩阵的秩要相等，有即矩阵这里选取，并求得第三个方程的一个特解为。故有矩阵，从而的Jordan表示为当时，可得，当时，可得，当时，可得，当时，可得，。

24、用Jordan标准形法求矩阵函数的步骤如下：1求矩阵的Jordan标准形，并求相似的变换矩阵，使得；2计算；其中3利用求出。可以看利用Jordan标准型的方法计算矩阵函数，首先要求得方阵的Jordan标准型及相似矩阵，计算量较大。为了简化计算，我们来介绍另一种计算矩阵函数的方法。方法2：待定系数法从Cayley-Hamilton定理知道，对于任意的方阵来说，它的次或更高次的幂可以用一个次数不超过次的的多项式来描述。从这个思路出发，不难理解可以用的次数不超过次的多项式来计算矩阵函数。更进一步若设方阵的最小多项式的次数为，则又有矩阵的任意次数大于或等于的多项式可以用一个次数不超过的多项式来表示，同

25、样不难理解可以用的次数不超过的多项式来计算矩阵函数。接下来我们来讨论方阵的某一函数是否可以用的次数不超过次的多项式来表示。显然利用特殊矩阵可以将（7-4）式变成更紧凑的形式其中满足，且故（7-5）式所描述的矩阵函数又可以表示为 （7-6）故对给定的矩阵，的值完全由如下个值决定：，决定。因此如果的多项式满足，则显然由（7-6）和 （7-7）可得。反之，若的多项式满足，由（7-6）和（7-7）显然可得，。定理5 设的最小多项式为，函数在矩阵的谱上有定义，如果存在在的谱上也有定义，则的充要条件为。其中，。定理 6 设函数在矩阵的谱上有定义，且的最小多项式为，则若的次多项式满足， 则有。定理6 说明可以用矩阵的次多项式来计算矩阵函数，那么如何来寻找这个次多项式呢？下面给出具体做法。设矩阵的最小多项式为，其中为矩阵的个互异特征值，且，设的次多项式为 （7-8）且满足 （7-9）这样，多项式（7-8）的系数完全可由（7-9）确定，则称为函数的多项式表示。例3 设，求的多项式表示，并求。解 首先求矩阵的标准型，由故的最小多项式为，设：则满足，于是解得 所以，的多项式表示为，当时，可得，于是有当时，可得，于是有，用待定系数法求矩阵函数的步骤如下：1求矩阵的最小多项式；，其中为矩阵的个互异特征值，且；2构造多项式；3利用确定多项式的系数；4计算。6