毕业设计（论文）一维单原子链中点缺陷局域模的研究

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1、成绩（采用四级记分制）本科毕业论文（设计）题目：一维单原子链中点缺陷局域模的研究学生姓名 学 号 指导教师 院 系 物理学系 专 业 应用物理学 年 级 2007届 教务处制二一一年六月诚信声明本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或在网上发表的论文。特此声明。论文作者签名： （手写签名）日 期： 2011年6月7日摘要晶体原子在格点附近的振动称为晶格振动（Crystal lattice vibratio

2、n），格点在晶体中表示原子的平衡位置。从经典力学的观点来看，晶格振动是个力学中的微小振动问题, 只要是力学体系自平衡位置发生微小位移时，这个力学体系的运动都是小振动。固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内，我们讨论了X 光衍射发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。如：

3、固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。简正振动和振动模可以用来描述它。所以晶格的振动模之所以具有波的形式，是因为晶格具有周期性，而晶格的振动模称为格波。在晶体中所有原子都参与的一种振动模式表示为一个格波。格波具有光学波和声学波两种模式或两类。声子即为格波能量的量子，声子有光学波声子和声学波声子之分。晶格振动（或者声子）与晶体的电导、热导、比热等都有关系。晶格振动的研究始于固体热容研究，19 世纪初人们就通过Dulong-Petit 定律认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到20世纪初才

4、由Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子振动的研究，1912年玻恩(Born，1954年Nobel物理学奖获得者)和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发表的更为简单的Debye热容理论（弹性波近似）已经可以很好的说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye模型不足，所以1935年Blakman才重新利用Born和Von-Karman近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后来黄昆先生在晶格振动研究上成就突出，特

5、别是1954年和Born共同写作的晶格动力学一书已成为该领域公认的权威著作。对晶格振动的研究意义远不止于其热学性质。研究固体微观过程与宏观性质的重要基础即为晶格振动。晶格振动对于晶体的光学性质、电学性质、磁性、超导电性、结构相变等一系列物理中的问题，都有着及其重要的作用。尤其是在近些年以来，单分子操纵技术与纳米材料越来越受到人们的注重。通过对分子、原子的操纵，实现对材料在纳米尺度上进行加工，实现对单分子、单原子电子器件的制作，一直以来都是人们追求的目标。伴随着单分子操纵技术的迅速发展，人们对单个分子进行操纵的愿望已经成为了现实。我们己经可以由不同于以往的从下到上的思想用一个个的原子逐步的构建我

6、们所需要的原子器件。这也使得通过改变材料的微观结构对材料的各种基本性质进行调控成为可能。关键词： 晶格振动；点缺陷；杂质；一维单原子链；局域模；Abstract Atoms in the vicinity of the crystal lattice vibration is called lattice vibration (Crystal lattice vibration), that the crystal lattice of atoms in the equilibrium position. From the perspective of classical mechanics,

7、 mechanics of lattice vibrations is a tiny vibration, as long as the mechanical system of small displacement from the equilibrium position occurs when the movement of the mechanical system are small vibration. Many properties of solids can be understood based on static models (ie the crystal lattice

8、 model), that is, the atoms that constitute a solid strictly periodic in space in order, within that framework, we discussed the conditions of X-ray diffraction occurs, seek out of the crystal binding energy, the future will be within this framework, the establishment of band theory to calculate the

9、 equilibrium properties of metal a lot. However, it is actually the original (from) a sub-configuration approximation, because the atoms or ions are not strictly fixed at its equilibrium position, but in solid control of the temperature within the energy range near the equilibrium position to do mic

10、ro-vibration . Only in-depth understanding of the laws of lattice vibration, the more the nature of the crystal can be understood. Such as: solid heat capacity, thermal expansion, thermal conductivity, melting, sound propagation, electrical conductivity, piezoelectricity, optical and dielectric prop

11、erties of some of the displacement phase-change, superconductivity, crystal and radiation interactions and so on. Normal vibration and the vibration mode can be used to describe it. So why the lattice vibrational modes in the form of a wave, because the lattice has a periodicity, but the lattice vib

12、rational modes as lattice wave. All the atoms in the crystal are involved in a vibration mode is expressed as a lattice wave. Lattice wave with optical waves and acoustic waves or both of two modes. Phonon is the quantum lattice wave energy, an optical phonon and acoustic phonon wave phonon wave div

13、ided. Lattice vibrations (or phonons) and the crystal conductivity, thermal conductivity, specific heat and so are relationships. Lattice Vibrations of Solid State Heat Capacity Study began in the early 19th century people to understand through the Dulong-Petits law to: heat capacity of the thermal

14、motion of atoms in the macro performance of the most direct, but until the early 20th century by the quantum hypothesis, Einstein by Plank explains why the solid heat capacity decreases with decreasing temperature phenomena (1907), thus promoting the atomic vibrations of the solid, Born 1912 (Born,

15、1954 年 Nobel Prize in Physics) and von Karman (Von- Karman) published a paper on the crystal lattice vibration, the first use of periodic boundary conditions, but their research was neglected because of the same year published a more simple Debye heat capacity theory (elastic wave approximation) has

16、 to be good description of the experimental results at that time, but later more accurate measurements show that the Debye model is inadequate, so the re-use before 1935 Blakman Born and Von-Karman approximation of lattice vibration discussed and developed into the current theory of lattice dynamics

17、 . Later, Mr. Huang Kun achievements in the study of lattice vibrations prominent, especially Born in 1954 and co-writing Lattice Dynamics, a book has become the recognized authority in the field of work. Significance of the Lattice Vibrations of far more than its thermal properties. Of solid micro

18、and macro properties of the process is the important basis for the lattice vibrations. For the crystal lattice vibration optical properties, electrical properties, magnetic properties, superconductivity, structural phase transition . . and a series of physics problems, all have their important role.

19、 Especially since in recent years, single molecule manipulation technology and nano-materials more and more people pay attention. Through molecular, atomic manipulation, to achieve the nano-scale materials processing, to achieve single molecule and atom production of electronic devices has long been

20、 one goal. With the single-molecule manipulation technology is developing rapidly, peoples desire to manipulate single molecules has become a reality. We already can be different from the past thoughts from the bottom to one of the atoms with a gradual build what we need atomic device. It also makes

21、 the microstructure of materials by changing the material properties of various basic control possible.Keywords：Lattic vibration; point defect; impurities; one-dimensional single-atom chain; localized modes;目录序言11单分子操纵技术21.1原子力显微镜21.2 扫描隧道显微镜21.3光镊技术31.4本章小结42完整晶格中晶格的振动921引言922晶格振动的量子化92.3周期性边界条件2.4

22、光学波和声学波2.5一维单原子链中的晶格振动2.6一维双原子链中的晶格振动2.7本章小结3一维单原子链中的空位31引言243.2一维单原子链形成空位的几率3.3一维单原子链空位复合的几率3.4一维单原子链空位数3.5本章小结4单个杂质对晶格振动的影响2441引言2442单个杂质对晶格振动频率的影响2443单个杂质对局域振动模的影响2644本章小结30总结10参考文献 11序言晶体中原子的一种最基本的运动方式即为晶体中原子围绕其平衡位置所作的微小振动。晶格具有周期性，所以，晶格的振动模具有波的形式，我们称其为格波。格波和一般连续介质波有共同的波的特质，但也有不同的特点。在晶体中产生格波是由于原子

23、间的相互作用力的存在，当原子间的相互作用力符合虎克定律时，格波即为简谐波。格波独立存在，不发生相互作用。倒格子空间中的第一布里渊区内的波矢可以用来描述晶体中的所有格波。光学波和声学波的区别，后者是相邻原子的振动方向相同，波长很长时，格波是晶胞中心在振动，可以看作连续介质的弹性波；前者是相邻原子的振动方向相反，波长很长时，晶胞中心不动，晶胞中的原子作相对振动。 因为边界条件得存在，使格波发生分立，如果晶体中含有个N原胞，每个原胞含有n个原子，晶格振动的能量是量子化的，晶格振动的量子单元称作声子，声子具有能量w，与光子的区别是不具有真正的动量，这是由格波的特性决定的。晶格振动频率与波数矢量之间的函

24、数关系称为格波的色散或者称为晶格振动谱。晶格振动的色散关系可以进行测定。则共有3Nn个格波，其中3(n-1)支是光学波， 3支是声学波，每支包含N个格波。当原子链中存在杂质或缺陷时，原子链的晶格振动模和振动频率变发生改变。目前对一维单原子（双原子）链中杂质引起的晶格振动模的研究中，杂质为替位式的较多，关于间隙式杂质引起的晶格振动模的研究也有。一维单原子链是一种最简单的晶体结构，其基元是一维布拉伐格子，原胞中只含有一个原子。这种简单的模型在研究晶格振动时很有用。在温度较低情况下，晶格的微笑振动可以采取简谐近似和最近邻似，原子在平衡位置附近的热振动可以视为简谐振动。固体的许多性质都可以基于静态模型

25、来理解（即晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内，我们讨论了X 光衍射发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。本文主要对一维原子链的晶格振动以及加入杂质原子后晶格的振动情况与局域

26、振动模的分布情况进行了详细的研究 第一章介绍了目前单分子操纵技术的概况，分别从和光场、电场与原子力方面介绍了目前实现原子、分子操纵的原理，重点介绍了和光镊子，扫描隧道显微镜ScanningTunnelingMicroscope，简称STM、原子力显微镜AtomicForceMicroscope，简称AFM技术。 第二章介绍了在完整晶格情况下的晶格振动对一维单原子链和一维复原子链的情况分别进行讨论，给出了明晰的晶格振动图像并对晶格振动进行量子化，得到了声子的概念。 第三章对完整晶格进行掺杂处理，详细讨论了杂质原子对一维原子链的晶格振动的影响和杂质所引起的局域振动情况 本人主要研究了在原子链中添加

27、两不同杂质原子的情况由于杂质的存在，晶格的对称性在很大程度上被破坏，所以格波中原本简并的很多能级都发生了分裂随着两杂质原子间距离的变化，格波的振动频率也会在一定范围内震荡变化当其中一个杂质的质量和位置固定，变化另一杂质的质量的时候，所得结果同添加一个杂质情况大致相同。1单分子操纵技术1.1引言 近些年来，单分子操纵技术与纳米材料逐渐受到人们的关注，通过对原子、分子操纵，实现在纳米尺度上对材料进行加工，完成单原子、单分子电子器件的制作，一直是人们不懈追求的目标，伴随着单分子操纵技术的不断发展，人们对单个分子进行操纵的想法已经成为了现实，人们已经可以由不同于以往的从下到上的思想用一个个的原子逐步构

28、建我们所需要的原子器件，这也使得通过改变材料的微观结构对材料的各种基本性质进行调控成为可能。对材料性质的认识和调控离不开对小尺度材料的晶格振动、声子结构和电子结构的研究 。1.2光镊子实现在纳米尺度上对材料进行精细加工，完成单分子，单原子和单电子器件的制作，对分子和原子实施操控，一直以来都是人们追求的目标。著名的物理学家以及诺贝尔物理奖的获奖者查理费曼曾在四十年多年前对于物理学的未来做出了一个十分精彩的预言:“如果我们能够按自己的意愿排列原子，将会出现何物？这些物质的性质又如何？虽然现在这个问题我们不能作出回答，但也绝不怀疑我们能在如此小的尺寸上操纵原子。”光学梯度力可以形成光阱，而它是光镊子

29、操纵分子的基本原理。光压是由光照射到物体表面时, 光子的部分能量传递给物体时形成的。光阱是当我们适当设计光场分布时, 物体可以俘获在一定位置, 此种光场称为光阱。为了实现迁移分子，可以通过移动光束的方法达到目的。因为在微观领域该技术能够实现宏观镊子功能, 所以被称为光镊子技术。通过激光照射悬挂在真空中旋转镜片, St immer 测量出光压。当强度为9毫瓦、波长为2微米的光照射在2平方微米的镜片上时, 光压为58N每平方米, 相当于62pN 的力。由于非破坏性和非接触性是光镊子的最大特点, 所以光镊子主要适用于有机体的移动、旋转与排列以及活细胞。 图1 STM的基本原理图朱棣文是美籍华裔科学家

30、，是1997 年诺贝尔物理学奖得主，由于开发用激光冷却捕捉原子的方法而获奖。图1为瑞典的Umea大学用光镊子将直径为4微米的小球组成的字母E和F。在光镊子技术方面中国科技大学的研究也取得了不少的成果。13 扫描隧道显微镜1986的诺贝尔物理奖得主，即IBM公司苏黎世研究院的物理学家H. Rohrer与G.Binning，在1981年,发明了扫描隧道显微镜,使Si(111) 表面的原子结构得到了细致入微的研究, 进而使我们直接观察物质表面上单个原子的梦想成为现实，同时也带领我们第一次进入原子的世界。量子隧道效应是STM 的基本原理。STM 的基本原理如图1所示。图中，圆圈为原子, 上面六个原子为

31、探针针尖,中间深色部分为原子核, 下面十一个原子为待测试样面，周围分散的黑点与浅色部分为电子云。当偏置电压施加在试样面与针尖间距离足够小时( 0. 4nm) ,隧道效应就会出现,同时隧道电流当电子在试样面与针尖之间流动时出现。随同探针在试样面间的距离减小, 在大小一样的偏置电压作用下, 试样面原子与针尖原子的电子云部分重叠,与此同时隧道电流也迅速增大(能够增大1 2 个数量级) ,从而使两者之间的相互作用逐渐增强。因为隧道电流随距离呈指数形式变化, 所以, 试样面上由于电子排列形成的分布不均的表面将会引起隧道电流急剧的变化。若想得到试样面的原子排列的详细情况，可以通过检测变化的隧道电流，并加以

32、计算机处理, 便能得到试样面的原子排列信息。扫描隧道显微镜的最早发明主要是应用在观察方面, 但是随着它的进一步发展研究, 人们的梦想进行单原子操纵，也成为了现实。在偏置电压下,试样面与针尖之间产生强大电场(1091010V m )，是由于由于同试样面与针尖之间的距离很小。单原子的操纵与移动之所以得到实现，是由于试样面上的吸附电子在强电场作用下, 通过蒸发被提取或者移动,在试样面上留下空穴, 从而实现单原子的移动和操纵。与此相同,针尖上附着的原子也能够在强电场作用下, 历经蒸发而沉积到试样面上, 从而达到单原子的放置。迄今为止，分子操纵最熟悉的技术便是利用扫描隧道显微镜操纵分子。中科院物理所等单

33、位在扫描隧道显微镜研究方面也取得了巨大成果, 特别是白春礼院士, 在某些方面已达到世界领先水平。他将STM 称为“微观世界的手与眼。”图2是Eigler实验组通过对CO分子的操作组成的人形结构。13原子力显微镜虽然STM的优点很多，但是其应用往往受到限制,缘由是STM 是基于隧道效应, 所以, 只能观察由半导体材料制成的试样面与导体。而原子力显微镜的发明出现, 将观察对象由半导体、导体推广到了绝缘体。原子力显微镜是在STM 的理论基础上发明的。图3所示为AFM原理示意图, 微反射镜装在悬臂梁上。由于试样面原子排列产生“凸凹不平”，当探针在平行面上扫描时，试样面与针尖间的距离在竖直方向上可以产生

34、变化。依据固体物理学理论可知, 当试样面与探针针尖相当近时。 它们之间会产生原子间力。试样面与针尖间竖直方向的距离的不同将会引起原子间力在试样面与针尖间的变化。悬臂梁由于变化的原子间力将会在垂直方向发生振动。所以，试样面与针尖间变化的原子间力将可以通过光束的偏转检测出来。用计算机进行处理输入的激光束的偏转信号，能够得到试样面的表面信息。接收计算机输出的反馈信号可以通过在试样面下方装有压电材料得到。为了保护探针针尖，必须调节试样面的高度。 图2 STM操纵 图3A FM 原理示意图利用金试样与镍探针面研究A FM，Landmanl意识到，当试样面与探针之间距离小于0.2nm时, 探针移动发生不稳

35、定现象，金原子在很短的时间内，很快跳到镍探针上。为了实现对原子的操作，可以经过控制试样面与针尖之间的距离的大小，当试样面与针尖之间的原子间力大于试样面原子之间的键合力达到。图4 为Canon公司利用A FM在LB膜上刻写的商标。图4 AFM分子操纵图14 本章小结迄今为止扫描隧道显微镜技术在分子操纵方面的应用最多, 取得的研究硕果也最多，第二是光镊子, 主要是在基因工程、生命科学、细胞学等领域取得的成就，第三是原子力显微镜，它主要还处于研究阶段。对于分子操纵来说，探针针尖的工艺及其重要,。如何增加探针使用的寿命、提高针尖尖度已经成为人们重点研究的对象。对于隧道显微镜来说，研究的重点是对偏置电压

36、的控制。电压比较高时, 电场强度就会增大, 有助于原子的迁移; 但是场强过大时, 在试样面与针尖之间就会发生复杂的化学反应, 这将引起原子操纵过程的复杂化。在扫描隧道显微镜与原子力显微镜中关键的因素是接触面处的接触距离。适当的接触距离, 不仅有助于增加针尖的使用寿命,还有助于提高对分子的操纵。原子间相互作用力的大小与电场的强弱同接触距离有着相当密切的联系，特别是原子力显微镜, 经研究发现,当接触距离达到某个值时,接触面间的原子会发生“突跳”,“突跳”对于原子的操纵，影响很大。对于光镊子的稳定性问题的研究有待进一步发展。在国家纳米科技发展纲要(20012010) 中, 我国已将扫描隧道显微镜和原

37、子力显微镜纳为急需研究的纳米科技发展的共性关键技术。我们坚信在不久的将来, 分子操纵技术将在更大更多的领域得到发展。2完整晶格中的晶格振动2.1引言研究材料的晶格振动，最先就要研究最简单的情况完整晶格中的晶格振动。原子在晶体中并不是处在自己的平衡位置上永恒不动的，却是围绕平衡位置作微小的振动。因为晶体内原子间相互作用力的存在，各个原子并不是孤立的，而是相互紧密联系的，因此各种模波在晶体中就形成了。因为晶格是周期性的，模式的能量值不是连续的，而是分别对应于这些分立的振动模式，可用一些孤立的简谐振子来描述，这些谐振子的能量量子为，我们称其为声子，其中是振动模的角频率。2.2 一维单原子链中的晶格振

38、动晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出晶格振动的基本特点。一维原子链是研究和学习跟的典型的例子。它的振动不仅简单可解，而且能较全面的表现格波的特点。一维单原子链能够看作是一个最简单的晶格，在平衡位置时晶格常数为(即原胞体积为)，每个原胞内含有一个原子，质量是，原子限制只在沿链的方向运动。偏离格点的位移用，,表示，如图2-1中所标明。另外还假设，只有近邻原子间存在相互作用，互作用能可以一般的写成 （2-1） 图2-1 一维单原子链其中为原子相对于平衡位置的偏离。此处采用了简谐近似。在

39、这个近似下，相邻原子间的作用力为 (2-2)上式说明相邻原子间的作用力为正比于相对位移的弹性恢复力。首先依据牛顿定理直接解运动方程，求解链的振动模式。此等同于依据分析力学原理，引入简正坐标。最后再说明倆者之间的关系。对于图中第n个原子来说，它受到左右俩个原子的作用力，由于这俩个力的方向相反，所以 = (2-3)每个原子对应一个方程，若原子链中有个原子，则有个方程，式(2-3)实际上代表着个联立的线性齐次方程。下面将验证方程具有下列格波形式的解： （2-4）其中、为常数。代入方程（2-3），有 （2-5）从而得到 （2-6）式(2-6)与无关，表明个联立的方程都归结为同一个方程。也就是说，只要与

40、之间满足(2-6)式的关系，（2-5)式就表示了联立方程的解。通常把与之间的关系称为色散关系。图2-2画出了之间的函数曲线。因为格波的特性，取值在到之间，由于周期性边界条件的允许值是这一区间中均匀分布的个点。图22 一维单原子链的关系一维单原子就像一个低通滤波器，它只能传播的弹性波，高于频率的弹性波被强烈衰减。（2-4）式与一般连续介质波具有完全类似的形式。其中是波的圆频率，是波长，波数是。区别在于连续介质波中，表示空间中任意一点，但是在（2-4）式中只取格点的位置，这是一系列成周期性排列的点，所以一个格波解表示所有原子同时做频率为的振动，不同原子之间有位相差。相邻原子之间的位相差为。第个原子

41、振动的位相因子即为式中的。如果把式中的改变一个的整数倍，所有原子的振动实际上是完全相同的。因为要满足波函数单值性的要求，我们能够把限制在下面的范围内: （27）或 （28）这个范围以外的值，并不能提供其他不同的波。这时，我们通常把的取值范围称为布里渊区。格波的这种特点可以用图2-3来说明(为了便于图示，以下的图中把每个原子的位移画在垂直于链的方向)。图中实线表示把原子振动看成波长的波，虚线表示完全相同的原子振动，同样可以当作是=的波，二者相差。按照前一种方式，两相邻原子振动位相差是，后一种方式相当于认为他们的相位差为，效果当然是完全一样的。图2-3 格波不唯一性的图示2.3 一维双原子链中的晶

42、格振动2-4 一维双原子链对于一维双原子链，设两原子之间的相互作用能为U(r)，其中r为两原子间的距离；把U(r)在平衡位置r0附近作泰勒展开： (2-9)在平衡位置合力为零，即 ，当很小时，作二级近似，有： (2-10) 故恢复力 ，这就是胡克定律，为屈强系数；以上近似叫简谐近似。取质心坐标系，则有，故其固有频率为。 考虑第n个粒子的受力情况，它只受最近邻粒子的相互作用，即分别受到来自第n-1个粒子及第n+1个粒子的弹性力：;和；从 ，及合力，得： (2-11) 在列出(2-11)式时已假设晶格中足够长，忽略边界，故以行波作试探解，即以 代入(2-11)式， ，利用 ，和 ，有： ，即： (

43、2-12)由此看出，格波的波速一般是波长的函数。(2-12)式代表一维布喇菲格子的色散关系，它正是我们所要的结果。如图2-5所示。 这条色散关系曲线所具有的特征，不仅适用于一维情况，还可以推广到二维和三维。对于一个质量为M的独立的一维简谐振子，如果弹簧的刚度系数为k，则振动动力学方程是Md2x/dt2=kx；这个方程的解为 x=Acos(k/M)1/2t；振子的能量包括动能Ek和势能Ep，E=Ek+Ep=kA2/2。设想一条弹簧被截成二段，其屈强系数则变成原来的二倍，如果物体两端各有一条弹簧相连，则其屈强系数还要加倍，此时 ，设想把两弹簧的另一端分别固定在两面镜子上，则上述物体及其象的振动将构

44、成一维晶格的某一振动模式。 图2-5讨论：(1)长波极限 因为色散关系曲线是周期性的且关于原点对称的，我们暂时把注意力集中在0的区间内，我们看到，频率仅覆盖在 的范围内。这就像机械低通滤波器，仅在这一范围内的频率可以通过。 在长波极限时，,利用，色散关系(2-12)式可近似为： (其中) (2-13)则：. 可见,与之间是线性关系，这就是连续介质的情形。把(2-13)式与(2-9)式比较，考虑棒中的介质具有立方结构，并所有原子面作一维纵向振动，则：;利用和，可得到有用的关系式： (2-14) 对值作一估计：=(310-10)(1011)=30N/m. 请注意当增加时，色散曲线偏离直线往下弯，并

45、在=时达到最大，最大频率为： .这正是简谐振子（上一个脚注）的振动频率，可估算出其值位于红外区(1014秒-1)。 图2-6 定性讨论 和的两种极限情况：q=0波长无穷大，整个晶格象刚体一样作整体运动，因而恢复力为0，故 。相反，当=时,，邻近原子反向运动(位相相反)，所以，恢复力和频率取极大值（见图2-6）。(2)位相和群速度波速，相速（phase velocity）：群速（group velocity）：； (2-15)对三维情况。 这些速度的物理差异是，相速是指频率和波矢q精确确定的（单色）一个纯波动或理想波的传播速度，这一波动延伸至正负无穷远；而群速则描述平均频率为和平均波矢为q的波包

46、（wave packet）的速度，它在空间上相对集中，是能量和动量在介质中的传播速度，因而物理上群速更有意义*。 对非连续的晶格，在长波极限时，群速等于相速，且它们都等于声速；此时，点阵的行为象一个连续体，没有色散发生。随着波长的变短，群速减少，到短波极限=时减至0。那么，导致群速为0的波矢的物理意义何在呢? 由于邻近原子振动的位相差为qa，即邻近原子散射的子波的位相差为，故被B反射的子波到达被A反射的子波时，它们的位相相同（或相差2的整数倍）。这种情形适用于被其它晶格点所反射的子波，在=处，所有的散射子波相长地干涉，结果反射取极大。这与X射线中的布拉格条件相同，只不过这里是弹性波。从物理上看

47、，由于反射极大，它与入射波形成驻波，当然它的群速为零。可见，它是波动性与晶体结构的周期性结合的必然结果。布里渊区边界并非晶界，布里渊区边界的反射（布啦格反射）实际上发生在每一个原子身上，这与晶界反射截然不同。一般而言，任何一个实际的波，在空间上都不可能延伸至无穷远，而是有限的.因而，它的频率也不可能是严格单色的，即一个实际的波是由若干个单色纯波的迭加（并相干涉）而成，是个波包，某个理想单色波的波速会比波包的群速高。这是因为速度高的这些单色波在空间上相互干涉，那些跑到波包前面去的波因干涉而相消，能量实际上并没有传播到前面去，它们所传递的能量是那些干涉相增强的波，即波包，所携带的。(3)周期性边界

48、条件、第一布里渊区中的模数（periodic boundary condition）我们在列出方程(3-5)时，是忽略了第1个原子和第N个原子的影响，这是平移对称性所要求的。其中N为晶格中的晶胞数。引入周期性边界条件，即第1个原子和第N+1个原子的振动完全相同：；即，或，有 n=0，1，2，等的整数。在第一布里渊区，对应于，故n只能取N个值。我们把它称为模数，最后我们得出结论，在第一布里渊区内的q值唯一地描述了所有的晶格振动模式，因此，这些值的数目必须等于晶格的自由度数N。那么，为什么要引入周期性边界条件呢?对格波及声子的详细讨论的意义并不局限于晶格振动的本身，在固体物理中，很多物理现象及运动

49、规律都涉及到波动性，如电子在晶格中的运动，铁磁相中的自旋波等。对晶格，格波产生于相邻原子的相对位移；对铁磁相，自旋波产生于相邻自旋的相对取向差。2.4 周期性边界条件前面所考虑的运动方程实际上只适用于无穷长的链，因为，所有的原子都假设有相同的运动方程，而一个有限的链两端的原子显然应和内部的原子有所不同。例如，他们将有与其他原子形式不同的运动方程。虽然仅少数原子的运动方程不同，但由于所有原子的方程都是连立的，具体解方程就复杂得多。为了避免这种情况，玻恩卡曼(Born-Karman)把边界对内部原子振动状况的影响考虑成如下所述的周期性边界条件。设在一长为的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体

50、，并且各块晶体内部相对应的原子的运动情况一样，即第个原子和第个原子的运动情况一样，其中。在上述假定的周期性边界条件下，对于一维有限的单原子链，第一个元胞的原子应该和第个元胞的原子振动情况相同，即 （216）而 （217） （218）因此 （219）要上式成立，必须有 （220）即描写晶格振动状态的波数只能取一些分立的值。因为介于，所以介于。把限制在 （221）则限制在 （222）由此可知，只能取个不同的值，因而也只能取个不同的值。2.5本章小结这一章我们讨论了完整一维原子链中的晶格振动。首先对一维单原子链中的晶格振动进行讨论，得到了一维单原子链的色散关系，以及波数的取值范围。然后对周期性边界条

51、件进行讨论，进一步对波数的取值范围进行讨论。3.自由边界条件下一维单原子链下的晶格振动3.1自由边界问题的意义在晶体理论中，循环边界条件和自由边界条件本来是研究不同问题时不能互相取代的独立方法。只因历史发展原因先出现循环边界条件，并且在利用平移群理论中获得了重大成就，造成了一种偏见，误认为再无其他选择。比如在研究电介质问题时，如果采用循环边界条件将会带来严重的错误，在这种情况下就应该用自由边界条件。又比如在研究电导效应时，晶体必须借助于外电路形成一个闭合回路，才能测量其中的稳定电流，这时采用循环边界在许多问题上取得的重大成就，绝非偶然。图31示出了四方钛酸钡铁电单晶中平行于平面的TiO2面(a

52、)和BaO面(b)上原子核的位置；小黑点代表电子云的分布.图中黑线按结晶学习惯划出一个昌胞；根据这种习惯,常称晶胞有一个非零的自发极化强度Ps,并且传统的这种习图31 四方钛酸钡铁中的电荷分布惯确认了Ps沿(+Z)方向。然而，这种习惯纯粹是为了结晶学描述的方便，在采用得循环边界条件下，昌胞的划分并无客观标准。在进行理论计算时，结晶学习惯显得不方便。因为很难说清晶胞界面上的原子核属于哪一个晶胞。因此，又可为新的方便而出现另一种习惯：令晶胞界面沿（x,y,z）方向平稳格子常数的14,得到图31短线示出的新晶胞。在新晶胞中Ps的大小和方向仍相同于结晶学晶胞。 此外，如果只是为了方便，还可令新晶胞沿(

53、+Z)方向继续作若干位移而得到图中点线所示晶胞，若能找到一种理论用循环边界条件计算出短线晶胞中的电偶的电偶极矩不仅数值不同，甚至方向也可相反，因此比之短线晶胞，点线晶胞在(+Z)方向多了负电荷而(Z)方向少了同样多的负电荷。因此，循环边界条件必然导致铁电体的Ps无确定值。而只有采用自由边界条件，才能解决这个矛盾。3.2自由边界条件下一维单原子链的晶格振动波思卡曼同期性边界条件下的晶格振动色散关系和振动模波矢的分立取值，在第一部分已经进行了详细了讨论，这里就不再介绍了。下面讨论在自由边界条件下分析一维单原了链的振动模和色散关系。在自由边界条件下的一维单原了链，边界上的两个原了的运动方程略有变化：

54、 (3-1) (3-2)其余原子的运动方程均与方程（1-3）相似。为了分析晶格振动的振动模，将试探解写为 (3-3)代入运动方程组(3-1)(3-2)(1-3)，即可将上面的式子改写为本征方程： （3-4）其中：。所组成的列矩阵，方阵： (3-5)对于这样的一个方阵，可由软件metlab计算出它的本征矢量和本征能量。与本征能量对应的本征矢量就是在某一时刻一维单原子链中各个原子的振动位移。通过振动曲线，确定各个的振动模的相应的波矢，得到色散关系。3.3结果与讨论图3-2给出了的原子链在自由边界条件下的振动曲线，其对应着，。它的特征是一个弹性波，与周期性边界条件下中的波型类似。通过振动曲线，确定各

55、个原子的位移，从而确定，得到色散关系，如图3-3所示。 图3-2 自由边界条件下振动模的振动曲线 图3-3 自由边界下的一维单原子链的色散关系由上图我们可以知道，自由边界条件下得到的色散关系与周期性边界条件下得到的色散关系基本上是一致的。 实际的晶体大小总是有限的，存在着与体内原子环境不同的少数边界原子；在晶格振动的分析中，为了数学处理的简便，周期性边界条件中假想存在无穷多个相同的晶体，由于原子间的相互作用主要是短程的，实际的有限晶体中只有边界上极少数原子的运动才受到相邻的假想晶体的影响；对于一维原了链，通常晶体的原子线密度为，边界上的原子只有两个，晶体中绝大部分原子的运动实际上不会受到这此假

56、想晶体的影响。这也说明了周期性边界条件的合理性。4.单个杂质对晶格振动的影响上一章中我们详细的讨论了完整晶体中的晶格振动情况，但是，在实际情况下，一般的晶体都不会具有那么完整的周期性，而是含有一定量的杂质或缺陷。而且，为了对材料的性质进行调控，我们一般也会向材料中添加杂质。含有杂质或缺陷的晶体，由于平移对称性被破坏，其晶格振动谱将不同于完整晶格，且会产生以杂质、缺陷为中心的局域振动模式。2.1单个杂质对晶格振动频率的影响设质量为的原子组成一维简单晶格，原胞数为,在原点处有一个质量为的杂质原子，近邻互作用的弹性力常数为。如图2-1所示。图2-1含单个杂质的一维单原子链系统的哈密顿量为 （2-1）

57、动能部分为 （2-2）在简谐近似下，势能部分为 （2-3）其中表示第格上原子的位移。由于杂质原子的存在，晶格的平移对称性受到破坏，不能直接用布洛赫定理来确定系统的振动模式，但可以将理想晶格的格波解作为完备基进行傅里叶展开，晶格振动的位移可表示为： （2-4）其中限于布里渊区。将（2-4）代入(2-2)和(2-3)，得到 (2-5) (2-6)其中（） (2-7) 代表完整晶格的本征振动频率，属于简正模。下面就这一过程进行详细推导。在推导的过程中需要利用以下两个关系式第一个关系式(2-8)可以从原子位移为实数的条件得到，因为 (2-10)也可以写成 (2-11)若把(2-10)式两端取复共轭 (

58、2-12)因为为实数，比较(2-11)式与(2-12)式，可知第二个关系式(2-9)，实际上是线性变换系数的正交条件，当时，(2-9)式显然是正确的，当时，令，注意到，为整数。有 (2-13)(2-9)式得以证明。下面我们利用这二个关系式，化简系统动能和势能的表达式。动能：势能：，由于杂质原子的出现，系统的本征频率将发生改变。由拉格朗日方程得到 (2-14)再由正则方程 (2-15)于是可以从式(2-14 ) , ( 2-15)得出系统的运动方程: (2-16)设 (2-17)当时，代表“轻杂质”情况，而时，则代表“重杂质”情况。令6，其中为待求频率，并由式(2-16)，(2-17)得到 (2-18)设 (2-19)将(2-19)代入(2-18)得 (2-20)