浙教版八年级上册特殊三角形综合训练课(1)

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1、(一一) 等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定 1.1.性质性质(1)(1)：等腰三角形的两个底角相等。：等腰三角形的两个底角相等。(2)(2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。底边上的高互相重合。2.2.判定判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。形。等腰三角形等腰三角形: : 1 , 1 , 三个角都相等的三角形是等边三三个角都相等的三角形是等边三角形。角形。 2 , 2 , 有一个角等于有一个

2、角等于6060的等腰三角形是等的等腰三角形是等边三角形。边三角形。 3 , 3 , 在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于3030，那么它所对的直角边等于斜边的一半，那么它所对的直角边等于斜边的一半(一一)v等腰三角形性质与判定的应用等腰三角形性质与判定的应用（1 1）计算角的度数）计算角的度数利用等腰三角形的性质，结合三角形利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。三角形性质的重要应用。已知角的度数，求其它角的度数已知角的度数，求其它角的度数已知条件中有较多的等腰三角形（此时已知条件

3、中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）到含这些未知数的方程或方程组）（2 2）证明线段或角相等）证明线段或角相等v以等腰三角形为条件时的常用辅助线以等腰三角形为条件时的常用辅助线: :v如图：若如图：若AB=ACAB=ACv作作ADBCADBC于于D D，必有结论，必有结论:1=2:1=2，BD=DCBD=DCv若若BD=DCBD=DC，连结，连结ADAD，必有结论：，必有结论：1=21=2，ADBCADBCv作作ADAD平分平分BACBAC必有结论：必有结论：ADBCADBC，BD=DCBD=DCv作辅

4、助线时，一定要作满足其中一个性质作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作这样作：作ADBCADBC，使，使1=2.1=2.ABCD1 2v例例1 1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程和求作并构思整个作图过程已知：线段已知：线段a a、h h求作：求作：ABCABC，使，使AB=AC=AB=AC=a a，高，高AD=AD=h h作法：作法

5、：1 1、作、作PQMNPQMN，垂足为，垂足为D D2 2、在、在DMDM上截取上截取DA=DA=h h3 3、以点、以点A A为圆心，以为圆心，以a a为半径作弧，交为半径作弧，交PQPQ于点于点B B、C C4 4、连结、连结ABAB、ACAC则则ABCABC为所求的三角形。为所求的三角形。ABCDahABCDMNhaPQ例例2.2.如图，已知在如图，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BDACBDAC于于D D，CEABCEAB于于E E，BDBD与与CECE相交于相交于M M点。求证：点。求证：BM=CMBM=CM。v证明：证明：AB=ACAB=ACvABC=ACBABC

6、=ACB（等边对等角）（等边对等角）vBDACBDAC于于D D，CEABCEAB于于E EvBEC=CDB=90BEC=CDB=90v1+ACB=901+ACB=90，2+ABC=902+ABC=90（直角三角形两（直角三角形两个锐角互余）个锐角互余）v1=21=2（等角的余角相等）（等角的余角相等）vBM=CMBM=CM（等角对等边）（等角对等边）ABCD12EM说明：本题易习惯性地用全等来说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。的性质和判定定理的应用。例例3.3.已

7、知：如图，已知：如图，A=90A=90，B=15B=15，BD=DC.BD=DC.请说明请说明2AC=BD2AC=BD的理由的理由. .v解解BD=DCBD=DC，B=15B=15vDCB=B=15DCB=B=15（等角对等边）（等角对等边）vADC=B+DCB=30ADC=B+DCB=30v（三角形的外角等于和它不相邻的（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）两个内角的和）vA=90A=90vAC= DCAC= DCvAC= BD AC= BD 即即2 2AC=BDAC=BD2121ABCD例例4.4.已知：如图，已知：如图，C=90C=90，BC=ACBC=AC，D D、E E分别在分

8、别在BCBC和和ACAC上，上，且且BD=CEBD=CE，M M是是ABAB的中点的中点. .求证：求证：MDEMDE是等腰三角形是等腰三角形. .v分析：要证分析：要证MDEMDE是等腰三角形，只需证是等腰三角形，只需证MD=MEMD=ME。连结。连结CMCM，可，可利用利用BMDBMDCMECME得到结果。得到结果。证明：连结证明：连结CMCMC=90C=90，BC=ACBC=ACA=B=45A=B=45MM是是ABAB的中点的中点CMCM平分平分BCABCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）MCE=MCB=BCA=45MCE=MCB=

9、BCA=45B=MCE=MCBB=MCE=MCBCM=MBCM=MB（等角对等边）（等角对等边）在在BDEBDE和和CEMCEM中中BDMBDMCEMCEM（SASSAS）MD=MEMD=MEMDEMDE是等腰三角形是等腰三角形CMBMMCEBCEBDABCDEM例例5.5.如图，在等边如图，在等边ABCABC中，中，AF=BD=CEAF=BD=CE，请说明请说明DEFDEF也是等边三角形的理由也是等边三角形的理由. .v解：解：ABCABC是等边三角形是等边三角形vAC=BCAC=BC，A=CA=CvCE=BDCE=BDvBCBCBC=ACBC=ACCECEvCD=AECD=AEv在在AEF

10、AEF和和CDECDE中中vAEFAEFCDECDE（SASSAS）vEF=DEEF=DEv同理可证同理可证EF=DFEF=DFvEF=DE=DFEF=DE=DFvDEFDEF是等边三角形是等边三角形CEAFCACDAEABCDEF说明：证明等边三角形有三种思路：说明：证明等边三角形有三种思路：证明三边相等证明三边相等证明三角相等证明三角相等证明三角形是有一个角为证明三角形是有一个角为6060的等腰三角形。的等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式进行求具体问题中可利用不同的方式进行求解。解。例例6 .6 .如图如图2-8-1,2-8-1,中，中，AB=ACAB=AC，D D为为ABAB上一点，

11、上一点，E E为为ACAC延长线延长线上一点，且上一点，且BD=CEBD=CE，DEDE交交BCBC于于G G请说明请说明DG=EGDG=EG的理由的理由. .v思路 因为GDB和GEC不全等，所以考虑在GDB内作出一个与GEC全等的三角形。说明说明 本题易明显得出本题易明显得出DGDG和和EGEG所在的所在的DBGDBG和和ECGECG不全等，故要构造三角形不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过的全等，本题的另一种证法是过E E作作EFBDEFBD，交，交BCBC的延长线于的延长线于F F，证明，证明DBGDBGEFGEFG，同学们不妨试一试。，同学们不妨试一试。例例7. 7.

12、如图如图2-8-62-8-6，在，在ABCABC中，中，AB=AC=CBAB=AC=CB，AE=CDAE=CD， ADAD、BEBE相交于相交于P P，BQADBQAD于于Q.Q. 请说明请说明BP=2PQBP=2PQ的理由的理由. .v思路思路 在在RtRtBPQBPQ中，本题的结论等价于证明中，本题的结论等价于证明PBQ=30PBQ=30 证明证明 AB=CAAB=CA，BAE=ACD=60BAE=ACD=60，AE=CDAE=CD，BAEBAEACDACDABE=CADABE=CADBPQ=ABE+BAPBPQ=ABE+BAP=CAD+BAP=60=CAD+BAP=60又又BQADBQA

13、DPBQ=30PBQ=30BP=2PQBP=2PQ说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。例例8 8：如图、在：如图、在ABCABC中，中，D D，E E在在直线直线BCBC上，且上，且AB=BC=AC=CE=BDAB=BC=AC=CE=BD，求求EACEAC的度数。的度数。探索：探索：如图、在如图、在ABCABC中，中，D D，E E在直线在直线BCBC上，且上，且AB=AC=CE=BDAB=AC=CE=BD，DAE=100DAE=100，求，求EACEAC的度数。的度数。DECBADECBAv1.1. 下列结论叙述正确的个数为（下列结论叙述正

14、确的个数为（ ）v（ 1 1）等腰三角形高、中）等腰三角形高、中 线、角平分线重合；线、角平分线重合；v（ 2 2）等腰三角形两底角）等腰三角形两底角 的外角相等；的外角相等； v（ 3 3）等腰三角形有且只有一条对称轴；）等腰三角形有且只有一条对称轴；v（ 4 4）有一个角等于）有一个角等于6060的等腰三角形是等边三角的等腰三角形是等边三角形。形。v （A A）0 0个个 （B B）1 1个个 （C C）2 2个个 （D D）3 3个个2.2.等腰三角形顶角为等腰三角形顶角为3636，底角为，底角为_。3.3.等腰三角形顶角和一个底角之和为等腰三角形顶角和一个底角之和为100100，则顶角

15、度，则顶角度数为数为_。4.4.等腰三角形两个角之比为等腰三角形两个角之比为4:14:1，则顶角为，则顶角为_，底角为底角为_。5.5.等腰三角形两边长为等腰三角形两边长为4 4、6 6，这个三角形周长为，这个三角形周长为_。6.6.已知已知ABCABC中中AB=ACAB=AC，ABAB垂直平分线交垂直平分线交ACAC于于E E，交，交ABAB于于D D，连结，连结BEBE，若，若A=50A=50，EBC=_EBC=_。7.7.ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADBCADBC于于D D，若，若ABCABC的周长为的周长为5050，ABDABD的周长为的周长为4040，则，则AD=_A

16、D=_。8.8.若等腰三角形顶角为若等腰三角形顶角为n n度，则腰上的高与底边的夹角度，则腰上的高与底边的夹角为为_。9.9.如图，线段如图，线段ODOD的一个端点的一个端点O O在直线在直线a a上，以上，以ODOD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线线a a上，这样的等腰三角形能画多少个上，这样的等腰三角形能画多少个? ?150a9.9.已知等腰三角形一腰上的中线将三角已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成：两部分，已知三角形形周长分成：两部分，已知三角形底边长为，求腰长？底边长为，求腰长？解：如图，令解：如图，令CDCDx x，则，则AD

17、ADx x，ABAB2 2x x底边底边BCBC5 5BCBCCDCD5 5x x ABABADAD3 3x x(5+(5+x x) )：3 3x x2:12:1或或3 3x x：(5+(5+x x)=2:1)=2:1xx2x51010、如图，、如图，D D是正是正ABCABC边边ACAC上的中点，上的中点，E E是是BCBC延长线上一点，且延长线上一点，且CE=CDCE=CD，诬蔑说明，诬蔑说明BD=DEBD=DE的理由的理由. .AB C ED1 12 2解解: ABCABC是正三角形是正三角形 ABC= ACB=600 （ ） D D是是ACAC边上的中点边上的中点 1= ABC=300

18、（ ）12CE=CDCE=CD2= E2= E（ ） 2+ E= ACB=60 2+ E= ACB=600 0（ ） E=30 E=300 0， 1= E 1= EBD=DEBD=DE（ ）3 3、如图，在、如图，在RtRtABCABC中，中，ACBACB=90=900 0， CABCAB的平分线的平分线ADAD交交BCBC于于D D，ABAB边上的高线边上的高线CECE交交ABAB于于E E，交，交ADAD于于F F，求证：，求证：CD=CFCD=CFBACED123F分析：分析：CD=CFCD=CF1=21=21=B+BAD2=3+DAC3=B1=901=90BADBAD=90=90CADCADACB ACB =90=90，CECE是是ACAC边上高边上高小结小结 1 1、等腰三角形的有关概念。、等腰三角形的有关概念。 2 2、等腰三角形的识别。、等腰三角形的识别。 3 3、应用等腰三角形的性质定理和三线、应用等腰三角形的性质定理和三线合一性质解决有关问题。合一性质解决有关问题。 4 4、通过习题，能总结代数法求几何角、通过习题，能总结代数法求几何角的大小、线段长度的方法。的大小、线段长度的方法。v课本第课本第51页页(目标与评定目标与评定)