集成光学第二章第3节

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1、2.3 平板光波导的波动方程分析平板光波导的波动方程分析2.3.1TE和和TM波方程波方程对于正弦电磁场对于正弦电磁场()0,itEE e k r麦克斯韦方程组的第一、二个方程可以表示为麦克斯韦方程组的第一、二个方程可以表示为 0i,i EHHE分量方程可以写为分量方程可以写为000iiiyzxxzyyxzEEHyzEEHzxEEHxy iiiyzxxzyyxzHHEyzHHEzxHHExy对于平板波导，由于波导结构在对于平板波导，由于波导结构在y方向视为无限，波沿方向视为无限，波沿z轴方向传播，则所有的场分量都可以写为轴方向传播，则所有的场分量都可以写为 ( , )( )i zu x zu

2、x e式中式中 01sink n因而因而0iyz ，于是分量方程可以写为于是分量方程可以写为：（忽略了（忽略了 因子）因子）i te000iiiyxzxyyzEHEEHxEHx iiiyxzxyyzHEHHExHEx 以上以上6个方程可以分为两组，分别相应于横电波与个方程可以分为两组，分别相应于横电波与横磁波，它们是横磁波，它们是00iTEiiyxyzxzyEHEHxHHEx 波0iTMiiyxyzzxyHEHExEEHx波不论不论TE波中的波中的 yE还是还是TM波中的波中的 yH都遵守同一方程：都遵守同一方程： 222202d0dk nx上式称为上式称为TE波和波和TM波的标量亥姆霍兹方程

3、，亦称波的标量亥姆霍兹方程，亦称波动方程。满足波动方程以及边界条件的线性独立波动方程。满足波动方程以及边界条件的线性独立解，称为平板波导的解，称为平板波导的本征模本征模，亦称，亦称简正模简正模。边界条件：边界条件：dTEdyEx模：（=）及连续-2dTMdyHnx模：（=）及连续2.3.2 TE波的波动方程解波的波动方程解222030cxk n 23（覆盖层），22221010ccwxk n2（波导层），222202cxwk n 2（衬底层），各层相位常数为：各层相位常数为： 波在三种介质中的波动方程为：波在三种介质中的波动方程为：223200ycyd ExEdx 22200ycyd EwxE

4、dx22220ycyd ExwEdx 它们的解分别为它们的解分别为33(3)330,( )ccixixyxExAeB e 0,( )ccixixywxExAeBe22(2)22,( )ccixixyxwExA eB e 为了使导入波导层为了使导入波导层n1中的波中的波Ey沿着波导层传播，由沿着波导层传播，由上式可知上式可知c应该为实数，而应该为实数，而c2和和c3则必须为虚数，则必须为虚数，以使以使 (2)(3)yyEE和成为衰减波，振幅沿成为衰减波，振幅沿x衰减。衰减。 222222222222303013iiiccqk nknn2222201010chk nk n或222222222222

5、202012iiiccpk nknn此时三种介质中的场解应为此时三种介质中的场解应为(3)330,( )qxqxyxExA eB e 0,( )cos()sin()yccwxExAxBx(2)22,( )pxpxyxwExA eB e (3)(2)23,0yyExExAB由于当 趋向和当 趋向-场值不可能无穷大这一物理条件，则有 ，因此得(3)30,( )qxyxExA e 0,( )cos()sin()yccwxExAxBx(2)2,( )pxyxwExB e 2.3.3 边界条件和色散方程边界条件和色散方程x在 =0边界上，电场切向分量连续，则有(3)3(0)yyEEAA得yyxwEwEw

6、(2)在 =- 边界上:(- )=(- )得2cos()sin()pwccBAwBw e这样含有这样含有A、B常数的场的表达式为常数的场的表达式为(3)0,( )qxyxExAe 0,( )cos()sin()yccwxExAxBx(2)(),( ) cos()sin()p w xyccxwExAwBw e TE波磁场分量的场解为波磁场分量的场解为 (3)0i0,( )qxzqxHxAe 0i0,( )sin()cos()czccwxHxAxBx (2)()0i,( )cos()sin()p w xzccpxwHxAwBw e 在在x=0和和x=-w界面，磁场切向分量连续有界面，磁场切向分量连

7、续有(3)(0)(0)zzHH(2)()()zzHwHw0sin()cos()cos()sin()0cccccccqABAwpwBwpw所以有所以有消去消去A、B有有sin()cos()cos()sin()0cccccccwpwqwpw 2)sin()()cos()ccccpqwpqw（或或者者22()()cccpqh pqtgwtg hwpqhpq为求出积分常数为求出积分常数A、B的值，令的值，令x=0处，电场处，电场Ey(0)=E0（入射波电场初始值），所以有（入射波电场初始值），所以有000,cqqAE BEEh 于是得到于是得到TE波场分布为波场分布为0,x 覆盖层(3)()0(3)(

8、)00(3)()00( , , , )( , , , )( , , , )qxitzyqxitzxqxitzzEx y z tEeeHx y z tEeeqHx y z tiEee 0,wx波导层-()0()00()00( , , , )cos(sin()( , , , )cos(sin()( , , , )sin(cos()itzycccitzxcccitzczcccqEx y z tExxeqHx y z tExxeqHx y z tiExxe ）-）-）+,xw 衬底层-(2)()()0(2)()()00(2)()()00( , , , )cos(sin()( , , , )cos(si

9、n()( , , , )cos(sin()p x witzycccp x witzxcccp x witzzcccqEx y z tEwweeqHx y z tEwweepqHx y z tiEwwee ）+）+）+2.3.4 电磁理论与射线分析的一致性电磁理论与射线分析的一致性利用电磁理论得到的场解以可以分解为两个平面波。利用电磁理论得到的场解以可以分解为两个平面波。以波导层电场以波导层电场Ey为例。为例。()0( , , , )cos(sin()itzycccqEx y z tExxe）-()0()()022ccccixixitzitzxitzxEqqeeeEqqeecccc1-i1+i1

10、-i1+i取实部取实部202( , , , )Re()1cos()cos()2yycccEx y z tEEqtzxtzx式中式中 波导层中传导模，确实是由等幅、沿波导层中传导模，确实是由等幅、沿z方向和沿方向和沿x方向方向传播的两个平面波叠加的结果。传播的两个平面波叠加的结果。 arctancq2.3.5 TE波的模式分析和截止条件波的模式分析和截止条件1. 导入和截止导入和截止导波传播的条件为导波传播的条件为0201,k nk n截止条件为截止条件为02k n截止或写为或写为21arcsincnncc当入射角时为导波，时导波被截止。2.导模分析导模分析2()()()()()ccccwpwq

11、wtgwFwwpw qw令11222222222020121122222222203013ccpk nknnqk nknn1 21 2222222221201301 21 2222222222120130()()()()()cccccccwnnk wwnnk wwFwwnnk wwnnk ww123nnnFwwwwcccc其 、 、 为定值，可以在同一图中作出 ()和tan()关系曲线，两条曲线的交点即为平板波导的传导模。图解本征方程（色散方程）图解本征方程（色散方程）wctanwF2wFc截止波长截止波长pk n02截止=0（即=）时，导波被截止。此时有1222222222013012232

12、222212012()()()()ccqwknnknnnntgwwnnknn截止截止截止1222232212arctannnwmnnc截止所以当截止条件满足时有当截止条件满足时有11222222012122ccknnnn截止122223222212TE121arctan2cnnwmnnnn波导截止厚度为波导截止厚度为12222322221212arctan2cnnwmnnnn截止频率为截止频率为122223222212121arctancnncmwnnnn对于对称波导对于对称波导 22122cTEwmnn0m c当（基模），说明基模不存在截止频率，任何频率均可传播。effnwneff2.3.6

13、 TM波的模式分析和截止条件波的模式分析和截止条件122222312222231212arctan2cnnnwmnnnnn1222223122222312121arctancnnncmwnnnnn2221232224231()()()ccccnn qn ptgwFwn nn pq222123222312()cnnntgwnnn截止1222223122222312TM121arctan2cnnnwmnnnnn波导的归一化参数波导的归一化参数1.波导的有效折射率波导的有效折射率0effnk2.定义归一化频率定义归一化频率V为为22012Vk w nn3.定义归一化波导有效折射率定义归一化波导有效折

14、射率P2为为2222202222221212effnnknPnnnn4.波导结构的非对称程度的参量波导结构的非对称程度的参量 22232212nnnn 利用以上定义的参量，利用以上定义的参量，TE模的本征方程可以写作模的本征方程可以写作 222221arctan(1)arctan1VPmPPPP截止厚度为截止厚度为2212arctan2cwmnnTM模的本征方程可以写作模的本征方程可以写作 222222211231arctan(1)arctan1nnVPmPPPPnn截止厚度为截止厚度为2122312arctan2cnwmnnn2P052P1. LiNbO3平板波导的折射率平板波导的折射率n1=2.30，厚度为，厚度为2m，工作波长为，工作波长为0.6328m；衬底折射率衬底折射率n2=2.21；覆盖层为空气，其折射率为；覆盖层为空气，其折射率为n3=1。问此平板波导能。问此平板波导能传输哪几个模式？传输哪几个模式？ 2. 如图所示的平板波导中，如图所示的平板波导中，n1=2.0，n2=1.6，n3=1。当截止出现时最低阶。当截止出现时最低阶模的传播角度模的传播角度 为多大？这是最大角还是最小角？为多大？这是最大角还是最小角？003n1n2n