北京一模二模导数大题

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1、2016北京一模二模导数大题 （2017届北京市高三入学定位考试理）已知函数.()若曲线在点处的切线经过点(0,1),求实数的值;()求证:当时,函数至多有一个极值点;()是否存在实数,使得函数在定义域上的极小值大于极大值?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由. （2017届北京市高三入学定位考试理）已知函数.()当时,求证:函数的图像关于点对称;()当时,求的单调区间. （2016年北京高考（理）设函数,曲线在点处的切线方程为,(1)求,的值;(2)求的单调区间. （2016年北京市海淀区高三二模理）已知函数. ()当时,求函数的单调区间;()若关于的不等式在上有解,求实数的取值范围

2、;()若曲线存在两条互相垂直的切线,求实数的取值范围.(只需直接写出结果) （2016年北京市西城区高三二模理）设,函数.()若函数在处的切线与直线平行,求a的值;()若对于定义域内的任意,总存在使得,求a的取值范围. （2016年北京市东城区高三二模理）已知,.()求的单调区间;()当时,求证:对于,恒成立;()若存在,使得当时,恒有成立,试求的取值范围. （2016年北京市朝阳区高三二模理）已知函数,.()当时,求曲线在点处的切线方程;()当时,若曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内,试求的取值范围. （2016年北京市丰台区高三二模理）设函数.()当时,求函数在区间内的最大值;()若

3、函数在区间内有两个零点,求实数的取值范围. （2016年北京市房山区高三二模理）已知函数.()当时,求函数的单调区间;()设,若在区间上有两个极值点,求实数的取值范围.（2016年北京市昌平区高三二模理）已知函数,且曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线. 设.(I)求的值,及的关系式;(II)求函数的单调区间;(III)设,若对于任意,都有,求的取值范围.（2016年北京市顺义区高三一模理）已知函数. ()求曲线在点处的切线方程;()设,若函数在上(这里)恰有两个不同的零点,求实数的取值范围.（2016年北京市石景山区高三一模理）已知函数.()求曲线在点处的切线方程;()求证:当时,;()若对

4、恒成立,求实数的最大值.（2016年北京市丰台区高三一模理）已知函数.()求曲线在点处的切线方程;()求证:;()若在区间上恒成立,求的最小值.（2016年北京市朝阳区高三一模理）已知函数.()求函数的单调区间;()当时,都有成立,求的取值范围;()试问过点可作多少条直线与曲线相切?并说明理由.（2016年北京市海淀区高三一模理）已知函数,()求函数的最小值;()求函数的单调区间;()求证:直线不是曲线的切线.（2016年北京市西城区高三一模理）已知函数,且.()求的值及的单调区间;()若关于x的方程存在两不相等个正实数根,证明:.（2016年北京市东城区高三一模理）设函数,.()当时,求的单

5、调区间;()当时,恒成立,求的取值范围;()求证:当时,.单元检测卷设置参考答案 ()解: ()证明:当时, 当时,函数在上单调递增,无极值; 当时,令,则. 由得,则 当,即时,在上单调递减, 所以在上至多有一个零点,即在上至多有一个零点. 所以函数在上至多有一个极值点. 当,即时,及随的变化情况如下表: 因为, 所以在上至多有一个零点,即在上至多有一个零点. 所以函数在上至多有一个极值点. 综上,当时,函数在定义域上至多有一个极值点 ()存在实数,使得函数在定义域上的极小值大于极大值. 的取值范围是. 由()可知当时,函数至多有一个极值点,不可能同时存在极大值与极小值. 当时,无极值; 当

6、时,及随的变化情况如下表: 下面研究在上的极值情况: 因为, 所以存在实数,使得, 且时,即,在上递减; 时,在上递增; 所以在上的极小值为,无极大值. 下面考查在上的极值情况: 当时,; 当时, 令,则,令, 因为在上递减, 所以,即. 综上,因为, 所以存在实数, 且时,即,在上递减; 时,在上递增; 所以在上的极大值为,无极小值. 又因为,且, 所以, 所以,当且仅当时,函数在定义域上的极小值大于极大值 ()证明:当时,. 将函数的图像向左平移个单位,得到函数的图像. 因为对任意,且, 所以函数是奇函数. 所以函数的图像关于原点对称. 所以函数的图像关于点对称 ()解:由,得 当时,.

7、所以的递减区间是. 当时,及随的变化情况如下表: 所以的单调递增区间是,单调递减区间是,. 当时,及随的变化情况如下表: 所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是, 解: ()函数的定义域为. 当时, 当变化时,的变化情况如下表:极大值极小值 函数的单调递增区间为, 函数的单调递减区间为 ()解:因为在区间上有解, 所以在区间上的最小值小于等于. 因为, 令,得 当时,即时, 因为对成立,所以在上单调递增, 此时在上的最小值为 所以, 解得,所以此种情形不成立, 当,即时, 若, 则对成立,所以在上单调递增, 此时在上的最小值为所以, 解得,所以 若, 若,则对成立,对成立. 则在上单调递减,

8、在上单调递增, 此时在上的最小值为 所以有,解得, 当时,注意到,而, 此时结论成立 综上,的取值范围是 法二:因为在区间上有解, 所以在区间上的最小值小于等于, 当时,显然,而成立, 当时,对成立,所以在上单调递增, 此时在上的最小值为, 所以有, 解得,所以 综上, ()的取值范围是 ()证明:函数的定义域, 由题意,有意义,所以. 求导,得 由题意,得,解得. 验证知符合题意 ()“对于定义域内的任意,总存在使得”等价于“不存在最小值” 当时, 由,得无最小值,符合题意 当时, 令,得 或 随着x的变化时,与的变化情况如下: 不存在0不存在极大 所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.

9、 因为当时,当时, 所以只要考虑,且即可. 当时, 由在上单调递减,且, 得, 所以存在,使得,符合题意; 同理,当时,令, 得,也符合题意; 故当时,对于定义域内的任意,总存在使得成立 当时, 随着x的变化时,与的变化情况如下表:0不存在极小 不存在 所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为. 因为当时,当时, 所以. 所以当时,不存在使得. 综上所述,a的取值范围为 解:()所以 单调增区间为,单调减区间为 () 设, 当时,由题意,当时,恒成立. , 当时,恒成立,单调递减. 又, 当时,恒成立,即. 对于,恒成立 () 因为 . 由(II)知,当k = 2时,f (x) 1,2 ln

10、(x + 2) (x + 1)2 2时,对于x 1,x + 1 0,此时2 (x + 1) k (x + 1). 2 ln (x + 2) (x + 1)2 2 (x + 1) k (x + 1),即f (x) g (x)恒成立, 不存在满足条件的x0; 当k 2时,令t (x) = 2x2 (k + 6)x (2k + 2),可知t (x)与h (x)符号相同, 当x (x0 , +)时,t (x) 0,h (x) h (1) = 0,即f (x) g (x) 0恒成立. 综上,k的取值范围为( , 2) 解:() . ()依题意当时,曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内,等价于当时,恒

11、成立. 设,. 所以. (1)当,即时,当时,为单调减函数, 所以. 依题意应有 解得所以. (2)若 ,即时,当,为单调增函 数, 当,为单调减函数. 由于,所以不合题意. (3)当,即时,注意到,显然不合题意. 综上所述, 解: ()当时, 与、之间的关系如下表:1+0-增函数极大值减函数 函数在区间内只有一个极大值点,所以这个极值点也是最大值点, 最大值 ()(1)当时,显然在区间内没有两个零点,不合题意. (2)当时, 当且时,函数区间上是增函数,所以函 数 区间上不可能有两个零点,所以不合题意; 当时,在区间上与、之间的关系如下表:+0-增函数极大值减函数 因为,若函数区间上有两个零

12、点, 则,所以,化简 因为, , 所以. 综上所述,当时,函数在区间内有两个零点. 解:()当时, 令 得 变化情况2+-+增减增所以 函数增区间为,减区间为 ()方法一: 当时, 若在上有两个极值点,在上至少有两零点, 即方程在上至少有两个不等实根, 即方程在上至少有两个不等实根 设, 解的 在上单增,在上单减 所以 在上的最大值为 又 所以 要使方程有两个不等实根,的取值范围为 设, 解得 当时, 且在单调递减;在单调递增. 设为方程的两个不等实根, 则在上,在上,在上 所以在上,在上,在上 即为的两个极值点 综上所述, 在内存在两个极值点时,的取值范围为. 方法二: (), 因为在上有两

13、个极值点,所以在上至少有两零点, 所以方程,即方程在上至少有两个不等实根, 所以直线与曲线在上有两个不同的交点 因为,所以过点和的直线的斜率 设过点的直线与曲线相切于点 因为,所以直线的斜率 所以直线的方程为 因为直线过点,所以,所以 因为直线与曲线在上有两个不同的交点 所以,即 设为直线与曲线在上两个交点的横坐标,显然在上,在上,在上 所以在上,在上,在上 即为的两个极值点 所以当在内有两个极值点时,的取值范围为. 方法三: 当时,在区间上, 所以 从而在区间上是增函数,故在区间上无极值点; 当时,设, 若在上有两个极值点,在上至少有两零点, 即在上至少有两零点 令得 当 即时, 所以在单调

14、递增, 故在内不存在两个极值点. 当即时, , 所以在单调递减, 所以 在上只有一个零点 , 所以,单调增,单调减 所以在上只有一个极值点(在内不存在两个极值点) 当即时, 时, 所以 时,函数单调递减; ,函数单调递增. 所以函数的最小值为. 函数在内存在两个极值点 当且仅当 解得. 综上所述,函数在内存在两个极值点时,的取值范围为. 解:(I)因为函数,所以函数,.又因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以,即 (II)由已知,.所以.设,所以,R,所以在上为单调递增函数 由(I)得,所以,即0是的零点.所以,函数的导函数有且只有一个零点0 所以及符号变化如下,-+极小值 所以函数的

15、单调递减区间为,单调递增区间为 (III)由(II)知当 时,是增函数.对于任意,都有等价于,等价于当时,因为,所以在上是增函数,又,所以 解:()函数定义域为 , 又,所求切线方程为,即 ()函数在上恰有两个不同的零点, 等价于在上恰有两个不同的实根, 等价于在上恰有两个不同的实根, 令则 当时,在递减; 当时,在递增. 故,又. , 即 解: (),.所以切线方程为 ()令,则, 当时,设,则,所以在单调递减,即, 所以 所以在上单调递减,所以, 所以 ()原题等价于对恒成立,即对恒成立, 令,则 易知,即在单调递增, 所以,所以, 故在单调递减,所以.综上所述,的最大值为 解:()设切线

16、的斜率为 因为,切点为. 切线方程为,化简得: ()要证: 只需证明:在恒成立, 当时,在上单调递减; 当时,在上单调递增; 当时 在恒成立 所以 ()要使:在区间在恒成立, 等价于:在恒成立, 等价于:在恒成立 因为= 当时,不满足题意 当时,令,则或(舍). 所以时,在上单调递减; 时,在上单调递增; 当时 当时,满足题意 所以,得到的最小值为 解:()函数的定义域为. (1)当时,恒成立,函数在上单调递增; (2)当时, 令,得. 当时,函数为减函数; 当时,函数为增函数. 综上所述,当时,函数的单调递增区间为. 当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为. ()由()可知, (1)当时

17、,即时,函数在区间上为增函数, 所以在区间上,显然函数在区间上恒大于零; (2)当时,即时,函数在上为减函数,在 上为增函数,所以. 依题意有,解得,所以. (3)当时,即时,在区间上为减函数, 所以. 依题意有,解得,所以. 综上所述,当时,函数在区间上恒大于零 ()设切点为,则切线斜率, 切线方程为. 因为切线过点,则. 即. 令 ,则 . (1)当时,在区间上, 单调递增; 在区间上,单调递减, 所以函数的最大值为. 故方程无解,即不存在满足式. 因此当时,切线的条数为. (2)当时, 在区间上,单调递减, 在区间上,单调递增, 所以函数的最小值为. 取,则. 故在上存在唯一零点. 取,

18、则. 设,则. 当时,恒成立. 所以在单调递增,恒成立.所以. 故在上存在唯一零点. 因此当时,过点P存在两条切线. (3)当时,显然不存在过点P的切线. 综上所述,当时,过点P存在两条切线; 当时,不存在过点P的切线 解: ()函数的定义域为, 当变化时,的变化情况如下表:极小值 函数在上的极小值为, 所以的最小值为 ()解:函数的定义域为, 由()得,所以 所以的单调增区间是,无单调减区间 ()证明:假设直线是曲线的切线 设切点为,则,即 又,则 所以, 得,与 矛盾 所以假设不成立,直线不是曲线的切线 ()解:对求导,得, 所以,解得 故,. 令,得. 当变化时,与的变化情况如下表所示:

19、00所以函数的单调减区间为,单调增区间为 ()解:方程,即为, 设函数 求导,得. 由,解得,或 所以当变化时,与的变化情况如下表所示:0所以函数在单调递减,在上单调递增 由,得. 又因为, 所以. 不妨设(其中为的两个正实数根), 因为函数在单调递减,且, 所以 同理根据函数在上单调递增,且, 可得, 所以, 即 解:()当时,则, 则. 令得-+ 所以 当时,在上单调递减; 当时,在上单调递增; 当时, ()因为, 所以恒成立,等价于恒成立. 设, 得, 当时, 所以 在上单调递减, 所以 时,. 因为恒成立, 所以 ()当时,等价于. 设,. 求导,得. 由()可知,时, 恒成立. 所以时,有. 所以 . 所以在上单调递增,当时,. 因此当时, 第22页，共22页