开题报告-金融畸形波的数学模型与求解-改

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1、北京交通大学毕业设计（论文） 开题报告题 目： 金融畸形波的数学模型与求解 学院： 理学院 专业： 信息与计算科学 学生姓名： 訾垚垚 学号：12274060 文献综述：一 孤立波的概念和研究历史1834年英国工程师J.S.Russell骑马在爱丁堡附近的一条运河旁看见两匹马拉着一条船在运河中快速行驶着,当这条船突然停止时,河道中因船前进所推动的水团并没有停止，而是在船头附近产生了一个光滑的、像小山包一样的水波。这个水波最初大约30英尺长，1至1.5英尺高，离开船头后以每小时8-9英里的速度向前运动,并且它的形状和速度保持不变。他骑马追出了1-2英里后才看到这个水波的高度逐渐减少, 最后在运河

2、的一个拐弯处消失掉。1844年9月他在英国科学促进会第14次会议上作了Report on waves的报告,生动形象地描述了他所观察到的现象1.之后他在实验室里进行了许多实验,也观察到了这样的水波,并称之为孤立波(Solitary waves).这是公认的有关孤立波的首次报道。从那以后，许多人都尝试通过建立其数学模型从理论上来解释这种现象，但一直末获成功。直到1895年,荷兰阿姆斯特丹大学的著名教授Korteweg和他的学生de Vries2仔细研究了浅水波运动,在长波近似和小振幅假定下建立了单向运动的浅水波运动方程,才解决了这个问题。但当时对孤立波的认识还不够全面，有许多问题仍无法回答。如孤

3、立波是否稳定;两个孤立波碰撞后波速和波形是否改变;孤立波是否存在于流体以外的其他领域.20世纪50年代,Fermi,Pasta和Ulam提出了著名的FPu问题.1965年,美国Princeton大学的应用数学家Martin D.Kruskal和NormanJ.Zabusky3从连续统一体的观点出发解释了FPu间题中的现象.在连续的情况下,FPu间题近似地可用KdV方程来描述.他们对KdV方程两个波速不同的孤波解进行数学模拟,他们发现两个孤立波碰撞后,不改变波形和传播速度。由于这两个孤立波的碰撞是弹性碰撞,又类似于粒子,因此他们称之为孤立子.孤立子有时也称为孤立波,它是指一大类非线性偏微分方程的

4、许多具有特殊性质的解,以及与之相应的物理现象。具体来说，孤立波解只存在于非线性色散方程之中，亦即非线性与色散是孤立波存在的必要条件。色散是指波的传播速度与波的频率和波长有关，它导致波包散开，而非线性却导致波阵面卷缩，两者共同作用的结果便形成稳定的波包，即孤立波。这些波具有的物理性质是(l)能量比较集中于狭小的区域;(2)两个孤立子相互作用时出现弹性散射现象,即波形和波速能恢复到最初。这准确地揭示了孤立波的本质.。之后,很多领域的科研工作者都开始对孤立子进行研究,许多关于孤立子的专著也相继问世。现在孤立子理论的研究已经渗透到了很多领域,如物理学的许多分支(基本粒子，凝聚态物理，流体物理，等离子物

5、理，超导物理，激光物理，生物物理，大气物理等)，生物学，天文学，化学，天文学，光学，海洋学等等。二 畸形波简介畸形波（rogue wave）又被称作奇异波(freak wave)，巨型波(giant wave)，怪物波(monster wave)或者杀手波（killer wave）等。这种波是由于在传播过程中其非线性和色散的相互作用而产生的。现在，畸形波还没有唯一的定义，但是一种波被称作畸形波意味着这种波的高度H（即波峰到波谷的距离）或者波峰高度c（从海平面到波峰的距离）超过了某一确定阀值，这一值与海洋类型有关。大体而言，巨型波的通用标准是H 2Hs 或 c 1.5Hs，这里Hs指有效波的高度

6、。英国科学家Draper4于1965年首次在科学文献中提出畸形波（freak rouge waves）的概念之后，这一现象引起了非线性科学领域的研究者的关注，例如海洋学，非线性光学，BoseEinstein凝聚，大气学，甚至金融领域。自20世纪六七十年代起，海洋学家便开始相信怪波的存在。科学家们与欧洲航天局，德国航空航天中心以及其他几个欧洲的研究机构合作，在1991年和1995年发射雷达卫星用于测量波高。1995年元旦，北海中某一石油平台承担了激光测量波浪高度的任务，并成功记录了一个波高约26米的巨波，这证明了怪波的存在。2000年，科学家们在布雷斯特聚会，制定计划在全球范围内追踪怪波的现象，

7、用雷达卫星进行怪波探测，这一计划被称作MaxWave。对于怪波，由于观测条件的限制，人类至今还没有完全了解这种现象，科学家们一直没有对怪波事件达成共识，既不能给其下定义，也不能计算怪波发生的概率。目前对怪波的研究状态基本上是初步的，并且是欠深入的。怪波可以被认为是自孤子以后，在非线性科学领域掀起的又一场新的“非线性科学革命”。2007年，Solli,Ropers,Koonath等人9在Nature期刊上发表了研究成果。在分析非线性光纤中超连续谱的产生过程时，在特定波长处观察到了某些幅度特别高的峰值，他们将其与海洋中的畸形波类比，称之为“光学畸形波”（optical rogue waves）.在

8、非线性光学中，非线性薛定谔方程可以很好的描述单模光纤中光孤子的传播行为，而且可以传播无限长的距离而不会有信息失真和波形畸变，具有很高的传输码率。光学畸形波与海洋畸形波在形态和成因方面均有一定的相似性，而光学领域的研究可以在更为便利的实验环境和条件下开展，其研究结果对海洋中的畸形波研究具有较高的参考价值 11 。三 金融畸形波介绍近年来的研究表明，畸形波现象在金融领域也存在。2010年，Yan 12首次给出了非线性期权定价模型的金融畸形波（financial rouge wave）解。这个模型可以代替非线性波的Black-Scholes 模型的期权定价模型。这些怪波解可以被用来描述金融市场及相关

9、领域的怪波现象的物理机制。自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来，学者们即一直致力于对期权定价问题的探讨。1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black和Myron Scholes发表期权定价与公司负债13一文，提出了著名的Black-Scholes期权定价模型，在学术界和实务界引起强烈的反响。与此同时，MIT 的教授 Merton 也独立地提出了相同的模型。14 这个模型已经引起了广泛关注并在金融数学和金融工程中开启了一个新的研究领域。BlackScholes模型可以被广泛用于欧式期权的定价，但是不能用在其他国家期权的定价，例如美式期权和亚洲期权，因为他无法将这类期权的

10、运动特征或运动轨迹的相关性涵盖进来。B-L公式告诉我们，期权价格是时间，股票价格和波动的函数，经验主义的研究说明公式计算得出的价格与观察价格非常接近。然而，也有证据表明，基于波动是常量这一假设的B-L模型，无法解释波动率偏离现象。为了更精确的给衍生品定价，一些研究人员宣称，根据长期的数据观察，波动会随着执行价格和时间而变化。如果假定波动是一个随机过程而非固定值，他们建立一个包含二维扩散过程，波动以及期权价格的新模型，并且更能解释经验主义观察结果。不过，这个新模型距离代表复杂的现实金融市场还很远，并且当在市场受到一些冲击时，无法很好的预测期权价格。为了使B-L期权定价公式能更有效地适应于不同的金

11、融市场，人们对它进行了很多方面的发展。 基于现代适应性市场假设、 Elliott 波市场理论和量子神经系统计算等理论，2010 年，澳大利亚学者 Ivancevic 提出用非线性的期权定价模型，即非线性 Schrodinger 方程来描述金融市场波动性的变化规律。为了满足有效行为市场和他们必要的非线性复杂性，这里( S , t )表示期权价格波动函数，分布频率系数是波动的(他是常量或者随机过程)，Landau系数=(r,w)代表自适应市场的潜在需求量。15四 研究内容及价值论文中我们分析了耦合非线性波动，并研究了Ivancevic近期提出的期权定价模型。得出的结论是，股票波动和股票收益存在（负

12、）相关性，并且股票波动可以被当做一种耦合非线性波动用于替代BlackScholes期权定价模型。我们用解析的方法分析了耦合非线性波动的矢量金融畸形波和不含w-learning 的期权定价公式。此外，我们通过选取不同的参数展示了他们的动态行为。研究的结果可能在解释一些实际的金融风暴中起到重要作用（例如1997亚洲金融危机和现在的全球金融危机）。此外，这些结果可能会进一步刺激相关研究，在金融市场和其他相关的非线性科学领域，矢量金融畸形波现象也有潜在的应用价值研究方案：本论文主要基于非线性偏微分方程求解方法，探讨金融畸形波的数学模型与求解。通过阅读相关文献，运用所学的微分方程基础知识，完成金融畸形波

13、数学模型的研究，设计求解算法并对畸形波进行模拟。首先，我们会总结有关文献，对金融畸形波产生的背景，原理进行介绍；然后，针对金融市场中的价格问题，我们会给出具体的数学模型来描述金融畸形波，最后求解该模型并用计算机进行模拟。该论文会在金融畸形波的数学建模上进行详细的分析，能推导具体求解过程，对方程解给出对应金融解释，最后进行计算机模拟，并通过选取不同的参数展示他们的动态行为。主要参考文献：1Russell J S. Report on waves. Report of the 14th Meeting of the British Association for the Advancement o

14、f Science. London :1844 ,311-3902Korteweg D J, de Vries G. On the change of rorm of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves.Philos. Mag. Ser., 1895, 39(5): 422-4433Zabusky N J, Kruskal M D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and t

15、he recurrence of initial states. Phys. Rev. Lett., 1965, 15: 240-2434Draper L. Freak wavesJ . Marine Observer , 1965 , 35: 193 - 195.5 Mallory J K. Abnormal waves on the south east coastJ . South Africa. Int. Hydrog. Rev. , 1974 , 51: 99 - 129.6 ILavrenov. The wave energy concentration at Agulhas cu

16、rrent of South AfricaJ . Nat. Hazards , 1998 , 117 - 127.7 Sand S E, Ottesen N E, K linting P , et al . Freak wave kinematicsM. Water Wave K inematics. K luwer , Dordrecht , 1990 , 535 -548 Paul C Liu , N Mori. Characterizing freak waves with wavelet transform analysisM. Rogue Waves 2000 , 2001 , 15

17、1 - 156.9Solli D R,Ropers C,Koonath P,et al.Optical rouge wavesJ.Nature,2007,450(7172):1054-105710Kibler N,Fatome J,Finot C,et al.The Peregrine soliton in nonlinear fibre opticsJ.Nature Physics,2010,6(10):790-79511 AKHMEDIEV N, DUDLEY J M, SOLLI D R, et al. Recent progress in investigating optical r

18、ogue wavesJ. J. Opt., 2013, 15(6):1-9.12 Z. Y. Yan, Financial rogue waves, Commun. Theor. Phys., 54 (2010) 947.13.F. Black, M. Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, J. Pol.Econ, 81, 637 (1973) 637.14. R.C. Merton, Theory of Rational Option Pricing, Bell J. Econ. and Management S

19、ci. 4 (1973) 141.15 V.G. Ivancevic, T. Ivancevic, Quantum Neural Computation, Springer, New York,2009.16. 孤立子理论中若干精确求解方法的研究及应用17.（2+1）-维非线性薛定谔方程组的Lie对称、一维优化系统及约化18. Hirota方程的怪波解及其传输特性研究19. 非线性Schrdinger方程 Bose-Einstein凝聚和怪波现象20. 光学畸形波及其一些特性毕业设计（论文）进度安排：序号毕业设计（论文）各阶段内容时间安排备注1阅读并翻译文献，了解金融畸形波1.15-1.312追踪文献附录，学习相关知识2.1-2.293构建金融畸形波模型并求解3.1-3.314 编程实现和算法分析4.1-4.305撰写论文5.1-5.106论文修改5.11-5.20指导教师意见：查阅资料较全面，前期准备工作已经非常完善。研究内容主要包括三方面，其中第二部分和第三部分是重点，思路比较清晰。研究方案可行，下一步注重求解方法与过程的学习，准备计算机编程实现。指导教师（审核签名）： 审核日期： 年 月 日7