离散型随机变量及其分布律

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1、 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量分布律的定义离散型随机变量表示方法三种常见分布小结 布置作业一、离散型随机变量分布律的定义有些随机变量,它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量.例如1例2中的随机变量X，它只可能取0,1,2,3四个值,它是一个离散型随机变量.又如某城市的120急救电话台一昼夜收到的呼唤的次数也是离散型随机变量.若以T记某元素的寿命,它所可能取的值充满一个区间,是无法按一定次序一一列举出来的，因而它是一个非离散型的随机变量.本节只讨论离散型随机变量.容易知道,要掌握一个离散型随机变量X的统计规律,必须且只需知道X的所有可能取的值以

2、及取每一个可能值的概率.设离散型随机变量X的所有可能取的值为1,2,kxk X取各个可能值的概率,即事件kXx的概率,为,1,2,.kkP Xxp k由概率的定义,kp满足如下两个条件: 110,1,2,;21.kkkpkp 121112,11.jkkkkkkkXxXxXxXxkjPXxP Xxp是由于是必然事件，且，故，即我们称(2.1)式为离散型随机变量X的分布律.分布律也可以用表格的形式来表示:Xx1x2xnpkp1p2pn(2.4)直观地表示了随机变量X取各个值的概率的规律.X取各个值各占一些概率,这些概率合起来是1.可以想象成:概率1以一定的规律分布在各个可能值上.这就是(2.4)称

3、为分布律缘故.二、三种常见分布1、（0-1）分布：（也称两点分布）设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律是 101 , 0,11 pkppkXPkkX01pk1-pp对于一个随机试验,如果它的样本空间只包含两个元素,即S=e1,e2,我们总能在S上定义一个服从(0-1)分布的随机变量 120,1,.eeXX eee当当来描述这个随机试验的结果.例如,对新生婴儿的性别进行登记,检查产品的质量是否合格,某车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验等都可以用(0-1)分布的随机试验来描述,(0-1)分布是经常遇到的一种分布. EBernoul .011.EAAP AppP A

4、pEnn 设试验 只有两个结果： 及 ，则称 为伯努利试验设，此时，将 独立地重复进行次，则称这一串重复的独立试验为 重伯努利试验这里“重复”是指在每次试验中P(A)=p保持不变；“独立”是指各次试验的结果互不影响，即若以Ci记第i次试验的结果，Ci为A或 ,1,2, .A in“独立”是指 1212nnP CCCP CP CP Cn重伯努利试验是一种很重要的数学模型,它有广泛的应用,是研究最多的模型之一.例如,E是抛一枚硬币观察得到正面或反面.A表示得正面,这是一个伯努利试验.如将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.又如抛一颗骰子,若A表示得到“1点”, A伯努利试验.再如在袋中装有a只白球,b

5、只黑球.试验E是在袋中任取一只球观察其颜色.以A表示“取到白球”,P(A)=a/(a+b).若连续取球n次作放回抽样,这就是n重伯努利试验.然而,若作不放回抽样,虽则每次每次试验都有P(A)=a/(a+b)(见第一章4例5),但各次试验不再相互独立,因而不再是n重伯努利试验了.表示得到“非1点”.将骰子抛n次,就是n重以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数,X是一个随机变量,我们来求它的分布规律.X所有可能取的值为0,1,2,n,由于各次试验是相互独立的,因此事件A在指定的k(0kn)次试验中发生，在其它n-k次试验中A发生（例如在前k次试验中发生，而后n-k次试验中不发生）的概率为 111

6、1n kkkn kp ppppppp 个个11n kknnknAkppqpk 这种指定的方式共有种，它们是两两互不相容的，故在 次试验中 发生 次的概率为，记，即有1,0,1,2,n kknP Xkppknk 显然000,0,1,2, ;1.nnnkn kkkP XkknnP Xkp qpqk 2.22.3 .,.kn knknP Xkp qkpqpXn pXb n p 即满足条件，注意到刚好是二项式的展开式中出现 的那一项，故我们称随机变量 服从参数的二项分布 记为特别,当n=1时二项分布化为,0,1kn kP Xkp qk这就是(0-1)分布.例2按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过15

7、00小时的为一级品.已知某一在批产品的一级品率为0.2,现在从中随机地抽查20只.问20只元件中愉有k只(k=0,1,20)为一级品的概率是多少？解这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查的元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而可以当作放回抽样来处理,这样做会有一些误差,但误差不大,我们将检查一只元件看它是否为一级品看成是一次试验,检查20只元件相当于做20重伯努利试验.以X记20只元件中一级品的只数,那么,X是一个随机变量,且有X(20,0.2).由(2.6)式即得所求概率为 20200.20.8,0,1,20kkP Xkkk将计算结果列表如下：为了对本题的结果有一个直观了解,我

8、们作出上表的图形,如图2-3所示.从图2-3中看到,当k增加时，概率PX=k先是随之增加,直至达到最大值(本例中当k=4时取到最大值),随后单调减少,我们指出,一般,对于固定的n及p,二项分布b(n,p)都具有这一性质.OkP Xk1 2 3546 7 8 9例4设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由4人维护,每人负责处理20台;其二是由3人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.解按第一种方法。以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”，以Ai(i

9、=1,2,3,4)表示事件“第i人维护的20台中发生故障不能及时维修”，则知80台中发生故障不能及时维修的概率为123412P AAAAP AP X20,0.01Xb而，故有 101200212010.010.990.0169.kkkkP XXkk 12340.0169P AAAA即有按第二种方法,以Y记80台中同一时刻发生故障的台数.此时,Yb(80,0.01),故80台中发生故障而不能及时维修的概率为 380080410.010.990.0087kkkP Yk 我们发现,在后一种情况尽管任务重了(每人平均维护约27台),但工作效率不仅没有降低,反而提高了.3. 泊松分布设随机变量X所有可能

10、取的值为0,1,2,而取各个值的概率为 ,0,1,2,!keP Xkkk 0.XX 其中是常数，则称 服从参数为 的泊松分布，记为0,0,1,2,P Xkk易知，且有0001!kkkkkeP Xkeeekk 2.2 , 2.3 .P Xk即满足条件参数的意义将在第四章说明,有关服从泊松分布的随机变量的数学模型将在第十章中讨论.具有泊松分布的随机变量在实际应用中是很多的.例如,一本书一页中的印刷错误、某地区在一天内邮递遗失的信件数、某一医院在一天内的急诊病人数、某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数、在一个时间间隔内某种放射性物质发生的、经过计数器的粒子数等都服从泊松分布.泊松分布也是概率论中的一种重要分布. 对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律,也就知道了该随机变量取值的概率规律. 在这个意义上，我们说 这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布律，并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重要离散型随机变量.离散型随机变量由它的分布律唯一确定.四、小结五、布置作业概率统计标准化作业（二） 一、1；三、1，4；